《电路》课程学习指导（含题解，d220d25ec3d145f995e5a52aaa4cab20）第十一章 非正弦周期电流电路

电路学习指导 第十一章非正弦周期电流电路 第十一章非正弦周期电流电路 一.基本要求 1.掌握非正弦周期函数分解为谐波的概念 2.会根据波形的对称性判断各次谐波的成份。 3.会计草非正弦周期量的有效值和平均功率。 4.会运用叠加定理分析计算非正弦周期电流电路。 5.了解非正弦周期信号频谱的概念。 二.本章要点 1.非正弦周期函数可以分解为傅立叶级数 f)=ao+∑(coskt+b sin kont=4+∑Am cos(kt+4)式中，A称为f(0的直 流分量，4oso1+%)称为f0)的基波分量，Amc0s@1+)称为f0的二次谐波， 余类推。 2.非正弦周期函数波形对称性分析 (1)当f)=f(-),为轴对称，是偶函数，f()分解后只含常数项和余弦项。 (2)当f)=-f(-),为原点对称，是奇函数，f0分解后只含正弦项。 (③)当f0=-化+子，为半波对称，是奇谐波函数，f0)分解后只含奇次谐波。 3.非正弦周期电流（或电压）的有效值，等于直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方 根值。 4.非正弦周期电流电路的平均功率等于各次谐波的平均功率之和，不同频率的电压和电流 只构成瞬时功率，而不能构成平均功率。 5.非正弦周期电流电路，可以应用叠加定理进行分析计算，首先将激励信号分解为各次谐 波之和，再分别计算各次谐波单独作用时的响应（住要的手段是采用相量法），最后将各次 谐波响应的瞬时值相加即可得所求的稳态响应。 6.感抗和容抗对各次谐波的反映不同，利用这种性质组成含有电感和电容的滤波器电路， 将这种电路接在输入和输出之间，可让某些所需频率顺利通过而抑制其他不需要的频率分 三.典型例题 例11-1判断图示波形的对称性质，并指出哪些系数为零。 解：1)对波形进行对称性分析，函数同时为偶函数和奇谐波函数（轴对称、半波对称）。 .a0=0,b=0,a2k=0: 2)对称性分析波形，函数为奇函数（原点对称）。 91

电路学习指导 第十一章 非正弦周期电流电路 91 第十一章 非正弦周期电流电路 一. 基本要求 1.掌握非正弦周期函数分解为谐波的概念。 2.会根据波形的对称性判断各次谐波的成份。 3.会计算非正弦周期量的有效值和平均功率。 4.会运用叠加定理分析计算非正弦周期电流电路。 5.了解非正弦周期信号频谱的概念。 二.本章要点 1 .非正弦周期函数可以分解为傅立叶级数 ( ) ( cosk b sin k cos(k ) k 1 k 1 0 k m 1 k k 1 0  k 1   =  = f t = a + a  t +  t = A + A  t +Ψ 式中， A0 称为 f (t) 的直 流分量， cos( ) 1m 1 Ψ1 A  t + 称为 f (t) 的基波分量， cos( ) 2m 1 Ψ2 A  t + 称为 f (t) 的二次谐波， 余类推。 2.非正弦周期函数波形对称性分析 (1)当 f (t) = f (−t) ，为轴对称，是偶函数， f (t) 分解后只含常数项和余弦项。 (2)当 f (t) = − f (−t) ，为原点对称，是奇函数， f (t) 分解后只含正弦项。 (3)当 ) 2 ( ) ( T f t = − f t + ，为半波对称，是奇谐波函数， f (t) 分解后只含奇次谐波。 3.非正弦周期电流(或电压)的有效值，等于直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方 根值。 4.非正弦周期电流电路的平均功率等于各次谐波的平均功率之和，不同频率的电压和电流 只构成瞬时功率，而不能构成平均功率。 5.非正弦周期电流电路，可以应用叠加定理进行分析计算，首先将激励信号分解为各次谐 波之和，再分别计算各次谐波单独作用时的响应(主要的手段是采用相量法)，最后将各次 谐波响应的瞬时值相加即可得所求的稳态响应。 6.感抗和容抗对各次谐波的反映不同，利用这种性质组成含有电感和电容的滤波器电路， 将这种电路接在输入和输出之间，可让某些所需频率顺利通过而抑制其他不需要的频率分 量。 三.典型例题 例 11-1 判断图示波形的对称性质，并指出哪些系数为零。 解：1) 对波形进行对称性分析，函数同时为偶函数和奇谐波函数(轴对称、半波对称)。 ∴ a0 = 0, bk = 0 , a2k = 0 ； 2) 对称性分析波形，函数为奇函数(原点对称)

电路学习指导 第十一章非正弦周期电流电路 ∴.a0=0,ak=0 3)通过对波形进行对称性分析，函数同时为奇函数和奇谐波函数（原点对称、半 波对称)。 ∴a=0,a=0,b2=0 f(t) ) (h) 图11-1例题11-1图 例11-2将图示矩形波展开为傅氏级数。 图11-2例题11-2图 解：f)的表达式：f)={ 。0ss -Um 对波形进行对称性分析，()同时为奇函数和奇谐波函数（原点对称、半波对称）。 ∴.a0=0,a4=0,b2=0: 只含有奇次正弦项。 A-子.0-治aaad =20=Lc0skok=L35. kπ =4 kπ f0-g[mov+5na+gsor+ πL 例11-3图示非正弦周期电流电路，己知： u=10+141.4c0sa1+28.28cos(30mt+30)V,1=10cos(@11+45)+2cos(3o1-15)A。 92

电路学习指导 第十一章 非正弦周期电流电路 92 ∴ a0 = 0, ak = 0 , 3)通过对波形进行对称性分析，函数同时为奇函数和奇谐波函数(原点对称、半 波对称)。 ∴ a0 = 0, ak = 0 , b2k = 0 ； (a) (b) (c) 图 11-1 例题 11-1 图 例 11-2 将图示矩形波展开为傅氏级数。 图 11-2 例题 11-2 图 解： f (t) 的表达式：       −     = t T T U T U t f t 2 2 0 ( ) m m 对波形进行对称性分析， f (t) 同时为奇函数和奇谐波函数（原点对称、半波对称）。 ∴ a0 = 0, ak = 0 , b2k = 0 ； 只含有奇次正弦项。 sin k d( ) k 2 sin k d( ) 2 1 π 0 1 m 1 π 0 m 1 t k t U b U t t k         = =  cosk  1,3,5 k 2 1 0 m = − k = π t U   k 4Um =       = t + t + t + U f t 1 1 1 m sin 5 5 1 sin 3 3 1 sin 4 ( )     例 11-3 图示非正弦周期电流电路，已知： u =10 +141.4cos1t + 28.28cos(31t + 30)V ， i =10cos(1t + 45) + 2cos(31t −15)A

电路学习指导 第十一章非正弦周期电流电路 求电压表V,电流表A和功率表W的读数。 W) 无 图11-3例题11-3图 解：电压表读数是电压u的有效值：U=V102+1002+202=102.5V 电流电流有效侣 =7.21A 功率表的读数是该电路的平均功率： P=B+B+B=0+100×7.071×c0s(-45)+20×√2c0s(30°+15)=520W 例11-4图示非正弦周期电流电路，已知：o=50 rad/s ks=10+100√2 cos@t+50W2cos(30t+30)V。求输出电压u及其有效值。 12 1 12 12 ①us1n0.1H u U(o) p (a) (6) 12a12b 12a12b Us()10 iX L U Us(3)10 iX u3) U(a) ◆ (c) (d) 图11-4例题11-4图 解：非正弦周期电源电压的傅立叶级数己给出，分别计算直流，基波，三次谐波的响应。 (1)直流分量单独作用，电感相当于短路，如附图(b)示。Us0=10V,U(O)=0。 (2)基波分量单独作用Us=100∠0V，X0)=0L=50×0.1=52 如附图(c)示，列节点电压方程。 93

电路学习指导 第十一章 非正弦周期电流电路 93 求电压表 V ，电流表 A 和功率表 W 的读数。 图 11-3 例题 11-3 图 解：电压表读数是电压 u 的有效值： 10 100 20 102.5V 2 2 2 U = + + = 电流表读数是电流 i 的有效值： 7.21A 2 2 2 10 2 2 =         +         I = 功率表的读数是该电路的平均功率： P = P0 + P1 + P3 = 0 +1007.071cos(−45) + 20 2 cos(30 +15) = 520W 例 11-4 图示非正弦周期电流电路，已知： 1 = 50rad/s ， uS =10 +100 2 cos1t + 50 2 cos(31t + 30)V 。求输出电压 u 及其有效值。 (a) (b) (c) (d) 图 11-4 例题 11-4 图 解：非正弦周期电源电压的傅立叶级数已给出,分别计算直流,基波,三次谐波的响应。 (1)直流分量单独作用，电感相当于短路，如附图（b）示。 US(0) =10V , U(0) = 0。 (2)基波分量单独作用 U  S(1) =1000V ， XL(1) =1L = 500.1= 5。 如附图（c）示，列节点电压方程

电路学习指导 第十一章非正弦周期电流电路 节点a:30-0=100 i点：-心n+0*w-0 U8)=50∠30V,X8=30L=3×50×0.1=152 如附图(d)所示，列节点电压方程 节点①：30B-U8=50∠30° 节点②：-0)+(1+ 1 解得：Ua=U3)=24.88∠35.74V ∴.u=47.89√2(cost+16.7)+24.88V2cos(301+35.74)V 其有效值U=VU%+U6+U6,=V02+47.892+24.882=53.79V 四.习题 11-1己知某信号半个周期的波形如图所示，试在下列各不同条件下画出整个周期的 波形：(1)a6=0:(②)对所有的k,b:=0:(3)对所有的k,a4=0:(4)当k为偶数时 a,和b为零。 题11-1图 题11-2图 11-2试将图示非正弦周期电压分解为傅里叶级数。 1-3图示电路，已知R=12n.0L=2Q,0C=180, M=10+802(cos1+30)+182cos30W。求电流i及电流表、电压表、功率表读数。 A 题11-3图

电路学习指导 第十一章 非正弦周期电流电路 94 节点 a：3Ua(1) −Ub(1) =100   节点 b： ) 0 j5 1 −U a(1) + (1+ U b(1) = 解得： U  (1) =U  b(1) = 47.8916.7V (3)三次谐波分量单独作用，此时： U  S(3) = 5030V, XL(3) = 31L = 3500.1=15 如附图（d）所示，列节点电压方程 节点①： 3Ua(3) −Ub(3) = 5030   节点②： ) 0 j15 1 −U a(3) + (1+ U b(3) = 解得： U  (3) =U  b(3) = 24.8835.74V ∴ u = 47.89 2(cos1t +16.7) + 24.88 2 cos(31t + 35.74)V 其有效值 0 47.89 24.88 53.79V 2 2 2 2 (3) 2 (1) 2 U = U(0) +U +U = + + = 四.习题 11-1 已知某信号半个周期的波形如图所示，试在下列各不同条件下画出整个周期的 波形：(1) a0 = 0 ；(2)对所有的 k , bk = 0 ；(3) 对所有的 k , ak = 0 ；(4)当 k 为偶数时, k a 和 k b 为零。 题 11-1 图 题 11-2 图 11-2 试将图示非正弦周期电压分解为傅里叶级数。 11-3 图示电路，已知 R =12，1L = 2 , =18 1 1C ， u =10 +80 2(cos1t + 30) +18 2 cos31tV 。求电流 i 及电流表、电压表、功率表读数。 题 11-3 图

电路学习指导 第十一章非正弦周期电流电路 11-4RLC串联电路，R=112,L=0.015H,C=70uF,外施电压 u=11+141.4cos(1000)-35.4sn(2000)V,求电流i和电路消耗的功率。 11-5LC串联电路的端口电压和电流为： ()=100cos(314t)+50c0s(942t-30)V,i)=10cos(314r)+1.755cos(9421-03)A。 试求：(1)R、L、C的值：(2)03的值：(3)电路消耗的功率。 11-6图示电路，电源电压1s()=50+100sm(3141)-40c0s(6281)+10sm(9421+20)V, 试求电流()及电源发出的功率，电源电压和电流的有效值。 oRL Ug() 50fC 11 0.1H 题11-6图 题11-7图 11-7图示滤波器电路，要求41的谐波电流传送至负载，而使基波电流无法到达负载， 己知电容C=lμF,=1000rads。求L1和L2。 11-8图示电路is=5+10c0s101-20)+5sim(301+60)A,L1=L2=2H,M=0.5H 求2及电流表A,电压表V2的读数： A M、 1H L22 u(e) 题11-8图 题11-9图 11-9图示电路，4s()为非正弦周期电压，其中含有3和7的谐波分量，如果要求 在输出电压)中不含这两个谐波分量，问L、C应为多少？ 95

电路学习指导 第十一章 非正弦周期电流电路 95 11-4 RLC 串联电路， R =11 , L = 0.015H , C = 70μ F ，外施电压 u =11+141.4cos(1000t) −35.4sin(2000t)V ，求电流 i 和电路消耗的功率。 11-5 RLC 串联电路的端口电压和电流为： u(t) =100cos(314t) + 50cos(942t −30)V，i(t) =10cos(314t) +1.755cos(942t −3 )A 。 试求：(1) R 、 L 、C 的值；(2) θ 3 的值；(3) 电路消耗的功率。 11-6 图示电路，电源电压 uS (t) = 50 +100sin(314t) − 40cos(628t) +10sin(942t + 20)V , 试求电流 i(t) 及电源发出的功率，电源电压和电流的有效值。 题 11-6 图 题 11-7 图 11-7 图示滤波器电路，要求 4 1 的谐波电流传送至负载，而使基波电流无法到达负载， 已知电容 C =1μ F, =1000rad/s 。求 L1 和 L2 。 11-8 图示电路 iS = 5 +10cos(10t − 20) + 5sin(30t + 60)A ，L1 = L2 = 2H ，M = 0.5H 。 求 u2 及电流表 A ，电压表 V2 的读数。 题 11-8 图 题 11-9 图 11-9 图示电路， uS (t) 为非正弦周期电压，其中含有 31 和 71 的谐波分量，如果要求 在输出电压 u(t) 中不含这两个谐波分量，问 L 、C 应为多少?