第十三章拉普拉斯变换及其应用 分析步骤: 时域 正变换 S项 求得域的响应一反变时域响应 闪四 西南交通大学
西南交通大学 第十三章 拉普拉斯变换及其应用 分析步骤： ¾正变换 ¾¾® s域 ¾反变换 ¾¾® 时域响应 时域 求得s域的响应
§13-1拉普拉斯变换 、拉普拉斯变换的定义(简称拉氏变换) 复数S=σ+ji0 σ一使f(0)在区间0,∞)内积分 收敛而选定的常数 0一角频率,变量 s一称复频率、广义频率 闪四 西南交通大学
西南交通大学 一、拉普拉斯变换的定义（简称拉氏变换） 复数 s = s + jw s — 使 f(t) 在区间[0－，¥）内积分 收敛而选定的常数 w — 角频率，变量 s — 称复频率、广义频率 §13-1 拉普拉斯变换
1、拉氏正变换的定义 F(s)=f(test Fs)称为(的象函数 f(k称为F的原函数 F(S=LIf(OI 闪四 西南交通大学
西南交通大学 1、拉氏正变换的定义 ò ¥ - - = 0 F (s) f (t)e dt st F(s)称为f(t)的象函数 f(t)称为F(s)的原函数 F s( ) = L[ f t( )]
2、拉氏反变换的定义 0+100 f(t)= f(se ds 2丌jJ f()=L[F(S) 拉氏变换对:f(t)(>F(S) 闪四 西南交通大学
西南交通大学 2、拉氏反变换的定义 拉氏变换对： F s e ds j f t st j ò j + ¥ - ¥ = s p s ( ) 2 1 ( ) f (t) « F(s) f t( ) = L [F s( )] -1
、拉氏变换存在的条件 (1)在t≥0的任一有限区间内,f()分段连续 2)在垸充分大时,f(1)满足不等式 f()≤Mea 其中M和c都是实常数,即(0为指数级函数。 则F(s)=f()cah 在σ>C的范围内存在。 闪四 西南交通大学
西南交通大学 二、拉氏变换存在的条件 分段连续 ⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式 ct f (t ) £ Me ⑴ 在 t ³ 0 的任一有限区间内，f (t) 其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。 ò ¥ - - = 0 F(s) f (t)e dt st 在s > c 的范围内存在。 则
证明条件(2): 若(d收敛,则/(也收敛。 f(te oldt M 00 0>C 0-C 0-C 闪四 西南交通大学
西南交通大学 证明条件⑵： ò ¥ - 0- f (t)e dt st 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 ò ¥ - - = 0 f (t)e dt st 若 ò ò ¥ - - ¥ - - - = × 0 0 f (t)e dt f (t)e e dt st st jwt c c M e c M c t > - = ¥ - = - - - - s s s s 0 ( ) ò ¥ - - £ × 0 Me e dt ct st
例:f(t)=e′·ε(t),求其拉氏变换 解:F(s)=L[f(=e0eh 0)t e o dt 其拉氏变换不存在。 三、拉氏变换的唯一性 f()与F()一对应。 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例： ( ) ( ) 2 f t e t t = × e ，求其拉氏变换 解： F s f t e t e dt t -st ¥ = = × e ò - ( ) [ ( )] ( ) 0 2 L e e dt t s t - jwt ¥ - = × ò0 - ( ) 其拉氏变换不存在。 三、拉氏变换的唯一性 f (t) 与F(s) 一一对应