§13-3拉普拉斯变换的性质 1.线性叠加性 f()F1( f2()<>F2(3) 那么Af(O)+A,/1()AF(s)+42F() 例1:求f(1)= sin ot:E(t) f2(t)=K(1-e")e(t)的象函数 闪四 西南交通大学
西南交通大学 §13-3 拉普拉斯变换的性质 1. 线性叠加性 ( ) ( ) 1 1 f t « F s ( ) ( ) 2 2 f t « F s 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 A f t + A f t « A F s + A F s 例1：求 ( ) sin ( ) 1 f t = wt × e t ( ) (1 ) ( ) 2 f t K e t t e -a = - 的象函数
A: F,(s)=L[sin ot. 8(0)=L/eyot-e-jou 8(t js-jo 2jS+j F2(S)=LL2() LI KE( a(t) KK Ka sS+a s(s+a 闪四 西南交通大学
西南交通大学 2 2 1 2 1 1 2 1 w w w w + = + - - = j s j j s j s ( ) L[ ( )] 2 2 F s = f t L[ K (t)] L[ Ke (t)] t e e - a = - ( a ) a a + = + = - s s K s K s K 解： ú û ù ê ë é × e - = w × e = w - w ( ) 2 ( ) [sin ( )] 1 t j e e F s t t j t j t L L
2.延时特性: f()(t)(>F(s) 则f(t-10)(t-t6)>F(S)e 证明:[f(-4)(=10)]=[(-1)(-1=d 1-0=po f(t-toe dt h f(t)estor - st f(tes dt= fuse so 闪四 西南交通大学
西南交通大学 2. 延时特性： f (t)e (t) « F (s) 则 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 st f t t t t F s e « - - e - 证明： [ ] ò ¥ - - - e - = - e - 0 0 0 0 0 f (t t ) (t t ) f (t t ) (t t )e dt st L 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 st s st s t t t t st e f e d F s e f t t e dt f e d - - ¥ - - + ¥ - = ¥ - = = = - ò ò = ò - - - t t t t t t t
例2:求矩形脉冲的象函数 f( A 解 A f(1)=A8(t)-AE(t-7) ∴.F(S)=L[f(t)]= e sS 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例2：求矩形脉冲的象函数 f (t) A T t 0 = + A 0 t T －A t 0 f (t) = Ae (t) - Ae (t - T ) ∴ ( ) [ ( )] (1 ) sT sT e s A e s A s A F s f t - - = L = - = - 解：
例3:求F(s)=L[f( E 解:f()=-l()-E(t-10) E E tE(t)--(t-t0)E(t-t0)-E8(t-t0) F(S=LIf(o) E1E E E l1-(1+st0)e 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例3：求 F(s) = L[ f (t)] t t 0 0 f(t) E 解： [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 t t t t E t t t E t t t E t t t t t E f t = - - - - - = - - e e e e e [1 (1 ) ] 1 1 1 ( ) [ ( )] 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 st st st st e s t E e s e E t s E t s E F s f t - - - = - + = L = × - × -
3、复频域位移 f()分F(s)f(1)e分F(S+a) 证明:L()e]=f(le"dh o f(e sadt=f(s+a) 例:已知f()=e2 sin o1,求Fs) 解:": LIsin oot S-+0, F(S)=L[f(1) S+2)+0 闪四 西南交通大学
西南交通大学 3、复频域位移 f (t) « F(s) ( ) « ( + a) -a f t e F s t 证明： ò ¥ -a -a - - = 0 [ f (t)e ] f (t)e e dt t t st L ( ) ( ) 0 ( ) = = + a ò ¥ - +a - f t e dt F s s t 例： 已知 f t e t t 0 2 ( ) = sin w - ，求 F(s) 解：∵ 2 0 2 0 0 [sin ] + w w w = s L t ∴ 2 0 2 0 ( 2) ( ) [ ( )] + + w w = = s F s L f t
4、时域微分性质 f(1)<>F(S) f(t d f(t d f(t L[f()=L["]=sF(S)-f(0) =sF(s)-2f(0)-s2f(0)-……-s2(0)-fn(0 闪四 西南交通大学
西南交通大学 4、时域微分性质 f (t) « F(s) dt df t f t ( ) ¢( ) = n n n dt d f t f t ( ) ( ) = ] ( ) (0 ) ( ) [ ( )] [ = = - - ¢ sF s f dt df t L f t L [ ] ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) 1 2 2 1 - - - - - - - - = - - ¢ - - - n n n n n n n s F s s f s f sf f dt d f L LL
证明: d t d t f (tcse at f0)+sf)e“dt f(0)+sF(s) 证毕 闪四 西南交通大学
西南交通大学 证明： ò ¥ - - = 0 [ ] e dt dt df dt df st L f t e f t s e dt st -st ¥ - - - - ¥ = ò - ( )( ) 0 ( ) 0 f ( ) s f ( t )e dt - st ¥ - ò - = - + 0 0 = - f (0 ) + sF(s) - 证毕
对于二阶微分: df d f t=0 f(0 S[SF(s)-f(0)-f(0) s2F(s)-sf(0)-f(0 对于m阶微分类推 闪四 西南交通大学
西南交通大学 对于二阶微分： ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é dt d dt d f dt df L L 2 2 2 s F (s) sf f (0 ) (0 ) - - = - - ¢ 对于n阶微分类推 L 0 L (0 ) t df df df s s f dt dt dt = - - é ù é ù = - = - ¢ ê ú ê ú ë û ë û s[sF (s) f f (0 )] (0 ) - - = - - ¢
例:应用导数性质求以下函数的象函数 f(t)=coste(t) f2(t)=6(t) 解:① 已知 sin ot(t)< 2 S+0 Irdsin atE(t) L[cos otE(t)=-Ll 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例： 应用导数性质求以下函数的象函数 ( ) cos ( ) 1 f t = wte t ( ) ( ) 2 f t = d t 解：① 2 2 sin ( ) w w w e + « s t t ∴ 1 sin ( ) L[cos ( )] L[ ] d t t t t dt w e w e w = 已知