§13-4拉普拉斯反变换 反变换公式: f(se" ds 2丌 部分分式展开法,又称海维赛展开定理 N(s)an"+an5"+…+a+a D(s)sy+bny"-+…+bs+b 对于电路分析,总有n≥m。 闪四 西南交通大学
西南交通大学 §13-4 拉普拉斯反变换 反变换公式： F s e ds j f t j j st ò + ¥ - ¥ = s p s ( ) 2 1 ( ) 部分分式展开法，又称海维赛展开定理 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n N s a s a s a s a F s D s s b s b s b - - - - + + + + = = + + + + L L 对于电路分析，总有n ³ m
N(s ans"+ams t+a,s+a D +b.,n-1 +…+b.+b ①当n>m时,F() N(S) 为真分式 D(S 当n=m时,F(s)=A+ D(S) D(s)=0有n个单根(F(S为单极点) 即D(s)=0的根为,2…,P,那么 N(s)k,k2 ∴+ kn D(ss-p, s-p2 s-p 闪四 西南交通大学
西南交通大学 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n N s a s a s a s a F s D s s b s b s b - - - - + + + + = = + + + + L L ① 当n > m时， ( ) ( ) ( ) D s N s F s = 为真分式 ② 当n =m时， ( ) ( ) ( ) 0 D s N s F s = A + 一、 D(s) = 0 有n个单根（F(s)为单极点） 即 D(s) = 0 的根为p1 , p2 , …, pn，那么 n n s p k s p k s p k D s N s F s - + + - + - = = L 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )
方法1:方程两边乘(-p1) (s-p1)F(s)=k1+-"2(s-p)+…+—-(S-p1) s-Pn k1=(S-n1)F( p1 ∷k=(8-P)F(S)= 其中i=1,2,,n 闪四 西南交通大学
西南交通大学 方法1：方程两边乘 ( ) p1 s - ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 s p s p k s p s p k s p F s k n n - - - + + - - = + L 1 ( ) ( ) 1 1 s p k s p F s = - = ∴ i i i s p k s p F s = - = ( ) ( ) 其中 i = 1, 2, …, n
方法2:因k=(-B/.() [S-p)) m i 5-P: W D( N(S)+(s-p)N(s) N(p,) m D'(S) D'(p, N(S) D'( s) s-Pi 闪四 西南交通大学
西南交通大学 方法2： i i i s p D s N s k s p = = - × ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) [( ) ( )] lim D s N s s p N s D s ds d s p N s ds d k i s p i s p i i i ¢ + - ¢ = - = ® ® ( ) ( ) i i D p N p ¢ = 即 因 i i s p D (s) N(s ) k = ¢ =
f(t)=LIF(SI=L-Irk K2 s-Ps-p2 L[]+L["2-]+…+L[ s-p ke+k2e+…k,"t≥0 闪四 西南交通大学
西南交通大学 ( ) [ ( )] [ ] 2 2 1 1 1 1 n n s p k s p k s p k f t F s - + + - + - = = L - L - L L [ ] L [ ] L [ ] 1 2 1 2 1 1 1 n n s p k s p k s p k - + + + - + - = - - L - 0 1 2 = k1 e + k2 e + k e t ³ p t n p t p t L n
例:求F(s) 4s+5 的原函数 s2+5s+6 解:DS)=S2+5s+6=(S+3)(s+2)=0 根 s+3s+2 k1=(s+3)F(S (4s+5) S k2=(s+2)F()=2=3 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例：求 5 6 4 5 ( ) 2 + + + = s s s F s 的原函数 解： ( ) 5 6 ( 3)( 2) 0 2 D s = s + s + = s + s + = 根 p1 = -3 p2 = -2 3 2 ( ) 1 2 + + + = s k s k F s 7 ( 2) (4 5) ( 3) ( ) 1 3 3 = + + = + s=- = s=- s s k s F s ( 2) ( ) 3 k2 = s + F s s=-2 = -
4s+5 12+5 或k N(S) D(s)=32+5)=32-3)+5 4s+5 (2s+5) 4+5 s+3s+2 f()=L[F(S)]=7 t20 闪四 西南交通大学
西南交通大学 或 7 2( 3) 5 12 5 (2 5) 4 5 ( ) ( ) 1 3 3 = - + - + + + = ¢ = s=- s=- s s D s N s k 3 4 5 3 (2 5) 4 5 2 2 = - - + - = + + = s=- s s k ∴ 2 3 3 7 ( ) + - + + = s s F s ( ) [ ( )] 7 3 0 1 3 2 = = - ³ - - - f t F s e e t t t L
s+1 例:求F(S) 的原函数 2s3+2s2-4s s+1 s+1 解:F()= 2s(S2+s-2)2s(S+2(s-1) + s 5+2 s-1 s+1 k,=SF(S) 2(s+2s-1) 闪四 西南交通大学
西南交通大学 例：求 s s s s F s 2 2 4 1 ( ) 3 2 + - + = 的原函数。 解： 2 ( 2)( 1) 1 2 ( 2) 1 ( ) 2 + - + = + - + = s s s s s s s s F s 2 1 1 2 3 - + + = + s k s k s k 4 1 2( 2)( 1) 1 ( ) 1 0 0 = - + - + = s= = s= s s s k sF s
s+1 k2=(s+2)F(s)=22-1)/=212 s+1 k3=(-1)F() 2s(s+2)3 得F(S)=-+-24+ ss+ 2s-1 f(1)=L[F(s) e+-et≥0 闪四 西南交通大学
西南交通大学 12 1 2 ( 1) 1 ( 2) ( ) 2 2 2 = - - + = + s=- = s=- s s s k s F s 3 1 2 ( 2) 1 ( 1) ( ) 3 1 1= + + = - s= = s= s s s k s F s 得 2 1 ( ) 3 1 12 1 4 1 - + + - + - = s s s F s 0 3 1 12 1 4 1 ( ) [ ( )] 1 2 = = - - + ³ - - f t F s e e t t t L
、D(s)=0时存在共轭复根 as +a S4+b,s+bo 方法1:P1=-0+10P2=P1=--10 则F(s) kk2 + S-P1S-P2S-(-+j0)s-(--j0) 或Ns) s-(=a+(o)F(s)-0+1e=D(x+ 或 =[s-(--0)F(S)=-0=D(s)1=- 闪四 西南交通大学
西南交通大学 二、D(s) = 0 时存在共轭复根 1 0 2 1 0 s b s b a s a F(s) + + + = 方法1： p1 = -a + jw = = -a - w * p p j 2 1 则 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 a w s a jw k s j k s p k s p k F s - - - + - - + = - + - = =-a+ w =-a+ w ¢ = - -a + w s j s j D s N s k s j F s ( ) ( ) [ ( )] ( ) 1 ＝ 或 =-a- w =-a- w ¢ = - -a - w s j s j D s N s k s j F s ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 ＝ 或
