)通大 网络教育资源建设工程 信号与系统 Signls And Systemd 第六章拉普拉斯变换
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 本章基本内容: 双边拉普拉斯变换; 2.双边拉普拉斯变换的收敛域; 3.常用信号的拉氏变换; 4.零极点图与系统函数; 5.双边拉普拉斯变换的性质; 6.单边拉普拉斯变换; 7.利用单边拉氏变换分析增量线性系统 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 常用信号的拉氏变换； 4. 零极点图与系统函数； 5. 双边拉普拉斯变换的性质； 6. 单边拉普拉斯变换； 7. 利用单边拉氏变换分析增量线性系统； 本章基本内容：
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 60引言( Introduction 傅里叶分析方法在信号与LT系统分析中如此有 用,很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成 复指数信号的线性组合,而复指数函数是一切LT系 统的特征函数。 第六章:拉普拉斯变换 傅 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 6.0 引言 (Introduction): jn e 傅 里 叶 变 换 是 以 复 指 数 函 数 中 的 特 例， 即 以 和 为 基 底 分 解 信 号 的。 而 对 于 更 一 般 的 复 指 数 函 数 和 也 理 应 能 够 以 此 为 基 底 对 信 号 进 行 分 解。 jt e ,( ) stesj,( ) n j zzre 傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中如此有 用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成 复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系 统的特征函数
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 章要讨论的中心问题。 通过本章及下一章,会看到拉氏变换和Z变换不仅 具有很多与傅里叶变换相同的重要性质,不仅能适用 于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问 题,而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方 拉氏变换与Z变换的分析方法是傅里叶分析方法的 推广,傅里叶分析是它们的特例 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅 具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用 于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问 题，而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方 面。 拉氏变换与Z变换的分析方法是傅里叶分析方法的 推广，傅里叶分析是它们的特例。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 61拉普拉斯变换( The Laplace Transform): 复指数信号e是一切连续时间LT系统的特征 函数。如果LTI系统的单位冲激响应为h(),则系 统对e产生的响应是: y(t)=h(s)e 其中H(s)=」MD)"b 当S=j时,就是连续时间傅里叶变换。 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 6.1 拉普拉斯变换 （ The Laplace Transform）: st e 复指数信号 是一切连续时间LTI系统的特征 函数。如果LTI系统的单位冲激响应为 ，则系 统对 产生的响应是： h(t) st e ( ) ( ) st y t H s e ( ) ( ) st H s h t e dt 其中 当 s j 时，就是连续时间傅里叶变换
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 定义: X(s)= x(te sdt 称为x()的双边拉氏变换。其中S=+2 若a=0,S 入2则 X(jg2)=|x()epdt就是x()的傅里叶变换。 表明:连续时间傅里叶变换是拉氏变换在O=0, 或是在j2轴上的特例 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 一. 定义： ( ) ( ) st X s x t e dt 称为 x(t)的双边拉氏变换 。其中 s j 若 0 ，s j则: ( ) ( ) j t X j x t e dt 就是x(t)的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 , 或是在 轴上的特例。 0 j
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 由于 X(S)= ot-j9t小t三 x(te e Lx(te le Qt dt -FLx(te 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,x(t)的拉 氏变换就是x(t)e的傅里叶变换。只要有合适的 存在,就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号, 在引入后騰足该条件。即有些信号的傅氏变换不 收敛而它的拉氏变换存在。因此,拉氏变换比傅里叶 变换有更广泛的适用性。 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 ( ) ( ) [ ( ) ] t j t t j t X s x t e e dt x t e e dt [ ( ) ] t x t e F[ 由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉 氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号， 在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不 收敛而它的拉氏变换存在。因此，拉氏变换比傅里叶 变换有更广泛的适用性。 x(t) t e ( ) t x t e
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 如果X(s)在s=j收敛,则有: X(2) x(te X(s)s2=X(2) 表明傅立叶变换就是拉氏变换在j2轴上的表现。 由傅立叶反变换有: x(t)e X(O+jQ2)e jEt 2丌 x(t X(o+jQ2eedQ2 2丌 X(sedQ2 2兀 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 如果 X (s) 在 s j 收敛，则有： ( ) ( ) j t X j x t e dt ( ) ( ) X s j s X j 表明傅立叶变换就是拉氏变换在 j 轴上的表现。 由傅立叶反变换有： 1 ( ) ( ) 2 t j t x t e X j e d 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 t j t st x t X j e e d X s e d
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 由=a+j2得ds=jd2 当g从-0→>+0时,S从a-j→>G+j O+10 xt X(se ds 2兀J 拉氏反变换 拉氏变换的物理含义: x(t)可以被分解成复振幅为 X(sds 2丌j 的复指数信号e”的线性组合 + X(s)=x(t)estdtx(t)= se as 2丌j 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 由s j得 ds jd 当 从 时, s从 j j 1 ( ) ( ) 2 j st j x t X s e ds j 拉氏反变换 拉氏变换的物理含义： 可以被分解成复振幅为 的复指数信号 的线性组合。 x(t) 1 ( ) 2 X s ds j st e X s x t e dt st ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 j st j x t X s e ds j
卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 62拉氏变换的收敛域( Region of Convergence 收敛域Roc: 使X(s)存在的s的取值范围称为X(s)的收敛域。 由于X(s)=F[x(t)e],ROC与σ有关,它就是 使x()e绝对可积的那些O的取值范围。这表明 Roc由Re[S]决定。 例1.x(t)=etu(t X(s)=Lees dt=le S+1)t Id t 0> s+1 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:消霖搜葭朝教奖
第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 6.2 拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ): 一．收敛域ROC： 使X (s)存在的 s 的取值范围称为X (s)的收敛域。 由于 ( ) [ ( ) ], t X s F x t e ROC与 有关，它就是 t x t e 使 ( ) 绝对可积的那些 的取值范围。这表明 ROC由Re[s]决定。 例1．x(t) e u(t) t ( 1) 0 0 ( ) 1 1 t st s t X s e e dt e dt s ( 1) j