海南大学：《数字信号处理》课程教学资源（PPT课件）第6章 IIR数字滤波器的设计

第6章尸数字滤器的计 全通系统 ■最小相位系统 ■模拟低通滤波器设计 脉冲响应不变法 双线性变换法 模拟域频率变换

§ 全通系统 § 最小相位系统 § 模拟低通滤波器设计 § 脉冲响应不变法 § 双线性变换法 § 模拟域频率变换

全通滤波器的定义 定义:如果用An(2)表示m阶实系数全通滤波器的系统函数,则 Am(2)Am(2)= (e)=An(2)An(-)=1

定义：如果用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则 ( ) ( ) 1 1   A z A z m m ( ) ( ) ( ) 1 1 2       j m m z e j m A e A z A z 全通滤波器的定义

阶复系数全通滤波器 d A1(=) 1-dz a)阶全通滤波器的极点和零点 记:d=re0 极点为: 1=a re 零点为: z1=1/d*=(1/r)e

1 1 1 1 ( )       dz z d A z d 1 a)一阶全通滤波器的极点和零点 j 记：d  re 极点为： j p  d  re 1 零点为： j z 1/ d* (1/r)e 1   一阶复系数全通滤波器

b)阶全通滤波器的频率响应 A1(=) e I-dz d 1-d A1(e2) e I-=de de i j32 02 A(el=e re e I-re/e iQ p(2)=-2-2tan rsin(22-0) 1-rcos(2-0) dy(_2 <0 d(1-rcos(2-0)2+r2sin2(2-0) 故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的

b)一阶全通滤波器的频率响应 1 1 1 1 ( )       dz z d A z    j j j de e d A e       1 ( ) 1    j j j de d e e       1 1 ( ) 1 1  j A e       j j j j j j re e re e A e e       1 1 ( ) 1 1 cos( ) sin( ) ( ) 2 tan 1               r r 0 (1 cos( )) sin ( ) ( ) 1 2 2 2 2                r r r d d 故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的

m阶实系数全通系统 d+d-,z-+….+a.,z (m-1) +2 Am(2) -"Dn(二 1+d,z-+…+d +d Dn(=) a)m阶全通滤波器的极点和零点 如z为一个极点, 则z*也是一个极点, 1/=k和1/*必为系统零点 b)m阶全通滤波器的频率响应 由于:An(z)An(x-) ZDM(2)2D(2) Dm(2) Dm(2) m)=A(2)4()==1

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 D z z D z d z d z d z d d z d z z A z m m m m m m m m m m m m                         a)m阶全通滤波器的极点和零点 如zk为一个极点， 则zk * 也是一个极点, 1/zk和1/zk *必为系统零点。 b)m阶全通滤波器的频率响应 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1       D z z D z D z z D z A z A z m m m m M m 由于： m m ( ) ( ) ( ) 1 1 2       j m m z e j m A e A z A z m阶实系数全通系统

由于 所以:0(0)=0 m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积,由于 -阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的 2阶实系数全通滤波器的相位响应 (a)相位响应的主值(b)解卷绕后的相位响应

: ( ) 1 0  j m 由于 A e 所以： (0)  0 m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于 一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。 2阶实系数全通滤波器的相位响应 (a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应

最小相位系统 定义:零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相 位系统。记为Hmin(=) 任一实系数因果稳定系统的H()都可表示为 H(z)=Hmn(=)n(=) 设系统H()只有一个零点在z=1a*在单位圆外,(a<1, 那么H()就能表示成 H(=)=H1(=)(=1-a*) 按定义H1(=)是一个最小相位系统。H()也可等效的表示为a H1(=)(1-az H(z)=H1(=)(-a) I-az I-az 故 H()=Hmin(2)A(=)

定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小相 位系统。记为Hmin(z)。 任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为 ( ) ( ) ( ) min H z H z A z  m 设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1， 那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z)(z 1  a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。H(z)也可等效的表示为 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( )         az az H z H z z a 1 1 1 1 1 ( )(1 )         az z a H z az 故 H(z) =Hmin(z) A1(z) 最小相位系统

例一实系数因果稳定系统的系统函数H()为 b+z H(z)= I+az a<1<1 由于系统的零点为z=-1/b,故这不是一最小相位系统 6+=1+bz1+bz6+z H(2 1+a-1+bz-1+az-1+bz 和H(=)具有相同幅度响应的最小相位系统为 1+bz Hmin(z)= I+az

例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为 , 1, 1 1 ( ) 1 1        a b az b z H z 由于系统的零点为z = 1/b，故这不是一最小相位系统。 1 1 1 1 1 1 1 ( )          bz bz az b z H z 1 1 min 1 1 ( )      az bz H z 1 1 1 1 1 1 1          bz b z az bz 和H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为

H min H -3 0.2丌 0.4丌 0.6丌 0.8丌 a=0.9,b=0.4时H(z)和Hmm(z)的相位响应 最大相位系统( maximum-phase system 个稳定的的因果系统,零点全在单位圆外

0 -3 -2 -1 0 1 p h a s e H min H 0.2 0.4 0.6 0.8   a=0.9，b=0.4时H(z)和Hmin(z)的相位响应 最大相位系统(maximum-phase system): 一个稳定的的因果系统，零点全在单位圆外

有理系统函数的稳定性 一设有理系统函数H(2)的分母多项式为 n(=)=1+∑dk2 k=1 构造全通滤波器An(=) A (2) z"Dn(2-) 由H()稳定的充要条件 k|<:1=1.2,…,m

有理系统函数的稳定性 设有理系统函数H(z)的分母多项式为 k k m k m D z d z     1 ( ) 1 构造全通滤波器Am(z) ( ) ( ) ( ) 1 D z z D z A z m m m m    由H(z)稳定的充要条件 {k 1;l 1,2, ,m} l   