第3章离散傅立叶变换 1 DES DFS的性质 I DET DFT的性质 圆周卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样
第3章 离散傅立叶变换 ▪ DFS ▪ DFS的性质 ▪ DFT ▪ DFT的性质 ▪ 圆周卷积 ▪ 利用DFT计算线性卷积 ▪ 频率域抽样
有限长序列的傳叶分浙 四种信号傅里叶表示 1.周期为T的连续时间周期信号 x()=∑X(m0)e X(n00) x(t)·endt Tn 频谱特点:离散非周期谱
有限长序列的傅里叶分析 一、四种信号傅里叶表示 1. 周期为T0的连续时间周期信号 =− = n n t x t X n e 0 j 0 ( ) ( ) ~ x t e dt T X n n t T 0 0 j 0 0 ( ) 1 ~ ( ) − = 频谱特点： 离散非周期谱
2.连续时间非周期信号 x(t)= 2丌 厂x()-ed X(jo)=x(te odt 频谱特点:连续非周期谱
2. 连续时间非周期信号 x t X e d j t (j ) 2 1 ( ) = + − X x t e dt j t (j ) ( ) − + − = 频谱特点： 连续非周期谱
3.离散非周期信号 x[]=①DTFT[X(e)= 2(a9):eag2 2 X(e)=DTFT(x[k])=2x[k]e 频谱特点:周期为2π的连续谱
3. 离散非周期信号 = = − x k X e X e e d j j jk ( ) 2 1 [ ] IDTFT[ ( ) =− = = k k X e x k x k e j -j ( ) DTFT{ [ ]} [ ] 频谱特点： 周期为2的连续谱
4.周期为N的离散周期信号 2I mk xk=IDFSiXIml ∑Ⅺm ∑Ⅺml mk N m=0 N m=0 2 mk Xm]=DFS{xk]}=∑小]e=∑ W k=0 频谱特点:周期为N的离散谱
4. 周期为N 的离散周期信号 m k N N m m k N N m X m W N X m e N x k X m − − = − = = = = 1 0 2 j 1 0 [ ] 1 ~ [ ] 1 ~ [ ]} ~ [ ] IDFS{ ~ km N N k m k N N k X m = x k = x k e = x k W − = − = 1 0 2 -j 1 0 [ ] ~ [ ] ~ [ ] DFS{ [ ]} ~ 频谱特点：周期为N的离散谱
离散傅里吐级数(DFS) 为了便于更好地理解DHT的概念,先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数(DFS)表示 个周期为N的周期序列,即 3()=3(n+kN),k为任意整数,N为周期 周期序列不能进行Z变换,因为其在n=-∞到+∞都周而 复始永不衰减,即z平面上没有收敛域。但是,正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达,周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示,也即用周期为N的正弦序列来表示
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数（DFS）表示。 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 ( ) ~ ( ) ~ x n = x n + k N 离散傅里叶级数（DFS）
周期为N的正弦序列其基频成分为: er( n=e (2T/N)n K次谐波序列为:e()=e j(2/N)kn 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的, 这是与连续傅氏级数的不同之处, e/(2T/N(k+N)n) j(2T/N)kn 因此 ekin(n=e(n)
j( N )n e n e 2 / 1 ( ) = j( N )kn ek n e 2 / ( ) = 周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为： j( N )( k N n) j( N )kn e e 2 / ( ) 2 / = + 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此 e (n) e (n) k+N = k
将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取k=0到 (N-1)这N个独立的谐波分量,所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数, x(m)= ∑X()e12x1N N K=0 利用正弦序列的周期性可求解系数X(k)。 将上式两边乘以e(2元1N 并对一个周期 求和
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期 求和 ( ) − = = 1 0 2 / ( ) 1 ~ ( ) ~ N K j N kn X k e N x n ( ) ~ X k j N rn e − (2 / )
N-IN 2丌 fk-rin 1 k-r)n ∑(m)e ∑∑X(6)e∑X(4) N n=0k=0 N j2丌(k=r) ∑X(k) NI 2I(k-p/N k=0 2丌 jG(k-r)n k=r+sN N n=0 0k≠r
− = − = − − = − = − = − − = = 1 0 1 0 ( ) 2 1 0 1 0 1 0 ( ) 2 2 ( ) 1 ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ N k N n k r n N j N n N n N k k r n N r n j N j X k e N X k e N x n e ] 1 1 1 ( )[ ~ 1 0 2 ( )/ 2 ( ) − = − − − − = N k j k r N j k r e e N X k k r k r sN e N N n k r n N j = + = − = − 0 1 1 1 0 )( ) 2 (
上式中[]部分显然只有当k=时才有值为1,其他任意k值时均为 零,所以有 Fn x(1)e X(r 或写为X(k)=∑x(m)2n0≤k≤N-1 1)可求N次谐波的系数X(k) 2)X(k)也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3)X(k)为周期序列,周期为N
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为 零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。 ( ) ~ ( ) ~ 1 0 2 x n e X r N n r n N j = − = − ( ) 0 1 ~ ( ) ~ 1 0 2 = − − = − X k x n e k N N n kn N j ( ) ~ X k ( ) ~ X k ( ) ~ X k