第2章乙变换 ■乙变换的定义与收敛域 Z反变换 系统的稳定性和H() 系统函数
第2章 Z变换 ▪ Z变换的定义与收敛域 ▪ Z反变换 ▪ 系统的稳定性和H(z) ▪ 系统函数
x(=)=∑12 收敛域(ROC):R0 k=0
k k X z x k z − =− ( ) = [ ] 收敛域(ROC): R−< |z|<R+ 1)有限长序列 k N k N X z x k z − = ( ) = [ ] 2 1 ROC 0 < z < [ ] 0 1 0 1 [ ] R k k N x k = N − = 其它 例： 1 1 0 1 1 ( ) − − − − = − − = = z z X z z N k N k z 0 z变换定义及收敛域
2)右边序列 X(2)=∑kz|>R k=N 例:xk]=au4k X(2)=∑az k=0 az
2)右边序列 k k N X z x k z − = ( ) = [ ] 1 R− z x[k] a u[k] k 例： = 1 0 1 1 ( ) − − = − = = az X z a z k k k z a
3)左边序列 X(2)=∑x[]z z< R k 例:xk]=-bu[-k-1 X()=∑-bk=∑-b2=1-∑bk=k < 1-b 1-bz
3)左边序列 k N k X z x k z − =− ( ) = [ ] 2 x[k] = −b u[−k −1] 例： k 1 1 1 − − = bz z < b = − − − =− = − = − 1 1 ( ) k k k k k k X z b z b z = − = − 0 1 k k k b z b z 1 1 1 1 − − = − < R+ z
4)双边序列 X(=)=∑ XII ROC R R k=-00 例:xk]=au4k]-b4-k-1 X(z)= I-az1-bz -10<2 b
4)双边序列 k k X z x k z − =− ( ) = [ ] − < < R+ ROC R z x[k] = a u[k]−b u[−k −1] 例： k k 1 1 1 1 1 1 ( ) − − − + − = az bz X z a < z < b
例:已知H(z) 求所有不同的收敛情况下的k (1-2=-)(1-32 2 H(=)= 1-2z11-3z 1)z>3非稳定,因果 k+1 h=(-2+3 k+1 2)2<z<3非稳定,非因果 hk]=-2k+1k]-3u4-k-1 )kk2稳定,非因果 hk]=2ku4-k-11-3ku4-k-1
[ ] (1 2 )(1 3 ) 1 : ( ) 1 1 h k z z 例 已知H z − − 求所有不同的收敛情况下的 − − = 1 1 1 3 3 1 2 2 ( ) − − − + − − = z z H z 1) |z|3 非稳定，因果 [ ] ( 2 3 ) [ ] 1 1 h k u k k+ k+ = − + 2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果 [ ] 2 [ ] 3 [ 1] 1 1 = − − − − + + h k u k u k k k 3) |z|<2 稳定，非因果 [ ] 2 [ 1] 3 [ 1] 1 1 = − − − − − + + h k u k u k k k 部分分式法求Z反变换
X(2)在C为X()的ROC中的一闭合曲线 27g =∑Res{X(2)}=
X z z dz j x k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − = C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 pl z k l X z z = − = Res{ ( ) } 1 留数法求Z反变换
例:X(z)= 求:1)ROC为时的xk 2)ROC为本时的x[k 1)x1=7 k-1 k+1 dz 2n(1-a-2) 2(z-a 1->yx1[k]=0 1的 (k+1) k dz x{k]=(k+1)ak+1=(k+1)a4u4k
1 2 (1 ) 1 ( ) − − = az 例：X z 求：1)ROC为|z||a|时的x[k] 2)ROC 为|z|<|a|时的x[k] dz az z j x k c k − − − − = 1 2 1 2 (1 ) 1 1) [ ] dz z a z j c k − = + 2 1 2 ( ) 1 时 1− k z a k dz dz x k = + = 1 [ ] x[k] (k 1)a u[k 1] (k 1)a u[k] k k = + + = + 时 1− < k x[k]=0 k = (k +1)a
2)xk=5 2(-a) k≥-1x[k=0 k≤-2令-k-1=m,m=1,2 I d xkl 2="(x-a)2(m-1)dm1(2-a)2 z=0 2+1 m (m+1) (k+1)a 0 x小]=-(k+1)au4-k-1
dz z a z j x k c k − = + 2 1 2 ( ) 1 2) [ ] k −1 x[k] = 0 k −2 令− k −1= m, m =1,2 dz j z z a x k c m − = 2 ( ) 1 2 1 [ ] 0 1 2 1 ( ) 1 ( 1)! 1 = − − − − = z m m dz z a d m 0 2 1 1 ( ) 1 ( 1)! ( 1) ! = + − − − − − = z m m m z a m −( +1) = m ma k = −(k +1)a x[k] = −(k +1)a u[−k −1] k
示A LT系统稳定的充要条件:》k]<∞ k (z)的收敛域包含单位圆 Im(z) 单位圆 A Im(z) 单位圆 Re(z) Re(z) 稳定因果系统 非稳定非因果系统
LTI系统稳定的充要条件： < =− h[k] k H(z)的收敛域包含单位圆 Re(z) Im(z) 单位圆稳定因果系统 Re(z) Im(z) 单位圆 非稳定非因果系统 系统的稳定性和H(z)