知识点回顾 1.何谓动态电路？ 描述电路的方程为微分方程，则该电路为动态电路。 动态电路阶数=微分方程阶数 2.如何求解动态电路方程？ 经典方法：常微分方程求解，完全解=齐次解+特解y1)=y,()+y,() 一阶直流激励动态电路 齐次解 yh(t)=Ke 时常数 t=RC或L/R (形式与激励无关) 特解A 代入原方程求解 特解 yp(t)=A 待定系数K代入初始值求解 (形式与激励相同)
齐次解 （形式与激励无关） ( ) t hy t Ke t - = 特 解 （形式与激励相同） y t p( ) = A 知识点回顾 1 1. 何谓动态电路？ 描述电路的方程为微分方程，则该电路为动态电路。 动态电路阶数=微分方程阶数 2. 如何求解动态电路方程？ 经典方法：常微分方程求解，完全解=齐次解+特解 ( ) ( ) ( ) h p y t y t y t = + 一阶直流激励动态电路 时常数 t = RC L R 或 / 特解A 代入原方程求解 待定系数K 代入初始值求解
知识点回顾 ☆举例如图RC电路，Us为直流电压源，当t=0时开关闭合，电容的初 始电压uc(O)=Uo,求20时的uc(①。 解(1)建立电路方程。前面已得 1 dt RC RC串联电路 (2)求齐次解uCh()。特征方程为s±1/RC)三Q 其特征根s=-1/(RC),故， iuch K es K e RC! 1.写出负指数形式齐次解， 并确定时常数 (3)求特解。：激励0s为常数，二特解也是常数。 令1=A,将它入上面薇分方程，得月 -1-1 A= &得特解0A=s- RC RC 2.根据特解形式代入原方 程，确定特解取值 (4)求完全解uc()。lc()=uch()+lc(t)=KeRC+U 常数K由初试条件ucO)=U确定：c(0)=K+Us=U0,解得K=U,-Us1 - luc(t)=Uo-Us)e RC+Us ,t 0 最终得完全解 3.根据初始值确定系数K
☆举例如图RC电路，Us为直流电压源，当t = 0时开关闭合，电容的初 始电压uC(0) = U0，求t≥0时的uC(t)。 解（1）建立电路方程。前面已得 （2）求齐次解uCh(t)。特征方程为s + 1/(RC) = 0 其特征根 s = - 1/(RC)，故 （3）求特解uCp(t)。∵激励Us为常数，∴特解也是常数。 令 uCp(t) = A，将它代入上面微分方程，得 故得特解 uCp(t) = A = Us （4）求完全解uC (t)。 uC (t) = uCh(t) + uCp(t) = 常数K由初试条件uC (0) = U0确定： uC(0) = K + Us = U0 ,解得 K = U0 - Us C S C U RC u t RC u 1 1 d d + = 1 e e t st R C C h u K K - = = 1 1 A US RC RC = 1 e t R C K US - + 1 0 ( ) ( ) e , 0 t R C C S S u t U U U t - = - + ? S US uR uC R C i RC串联电路 知识点回顾 1. 写出负指数形式齐次解， 并确定时常数 2. 根据特解形式代入原方 程，确定特解取值 最终得完全解！ 3. 根据初始值确定系数K
知识点回顾 3.为何要确定初始值，初始值分类？ 为了确定齐次解的待定系数K ·独立初始值：4C,2,特征：不能跃变 。 非独立初始值：除，外的电压/电流，特征：可能跃变 4.如何求初始值（@0+时刻)？ ·独立初始值：换路定律一c(0,)=c(0.),(0,)=i(0.) 其中“(0)，(0)可通过分析换路前响应得到（电容开路、电感短路) ·非独立初始值：(1)使用换路定律确定独立初始值，(2)将独立初始 值使用对应独立源替代，(3)再通过电阻电路分析可得非独立初始值 无 无 us(t uc(t) s(0- )hc(0) 电 阻 is(t) iu(t) is(0+) 电 电 路 i(0-)7 (a)t)>0时的原电路 (b)0+等效电阻电路
知识点回顾 3 3. 为何要确定初始值，初始值分类？ 4. 如何求初始值（@0+时刻）？ 为了确定齐次解的待定系数K！ • 独立初始值： ，特征：不能跃变 • 非独立初始值：除 外的电压/电流，特征：可能跃变 , C L u i , C L u i • 独立初始值：换路定律—— 其中 可通过分析换路前响应得到（电容开路、电感短路） • 非独立初始值：(1)使用换路定律确定独立初始值，(2)将独立初始 值使用对应独立源替代，(3)再通过电阻电路分析可得非独立初始值 (0 ) (0 ), (0 ) (0 ) C C L L u u i i + - + - = = (0 ), (0 ) C L u i - - 无 源 电 阻 电 路 uS(t) iS(t) uC(t) iL(t) C L (a) t>0 时的原电路 无 源 电 阻 电 路 uS(0+) iS(0+) uC(0+) iL(0+) (b) 0+等效电阻电路
知识点回顾 ☆非独立初始值计算举例 3 例：电路如图(a)所示，已知t<0时，开关 10A 29 i7 S是处于位置1，电路已达稳态。在t=0时， 开关S切换至位置2，求初始值(04)、 22R uc 2H3 uL ic(0+)和u(0)。 423F 解(1)计算u(0)和i(0)。t=0-时的等效 (a) 电路如图b)。可得1.分析换路前独立初始值对应响应 S 32 0二)=2x0723=4A 10 29 uc0-=3i0)=12Y」 22 uc(0-） i(0- (2)根据换路定律得_ 4Ω uc(0)-uc(0)=12V:iL(0)=in(0-)-4Ai 2.换路定律确定独立初始值 (3)计算非独立初始值。画出0+等效电路， 32 如图0。可得- R(0+)=12/4=3A R(0十0+) iic(0+)=-iR0+)-4=-7A 74 -4A L40)=12二3x4=0Y 4.电阻电路分析， 3.画0+时刻等效电路，其中 得非独立初始值 独立初始值替换为独立源
4 ☆非独立初始值计算举例 例：电路如图(a)所示，已知t < 0时，开关 S是处于位置1，电路已达稳态。在t = 0时， 开关S切换至位置2，求初始值iR(0+ )、 iC(0+ ) 和uL(0+ ) 。 1 S 2 3F 2H 3Ω 2Ω 4Ω 10A iR iC uC iL uL (a) 解 (1)计算uC(0- ) 和iL(0 - ) 。t = 0-时的等效 电路如图(b)。可得 iL(0-) 1 S 2 3Ω 2Ω 4Ω 10A iR (b) uC(0-) iL (0 - ) = 2×10/(2+3) = 4A uC(0- ) = 3 iL(0 - ) = 12 V (2)根据换路定律得 uC(0+ )= uC(0- ) =12V， iL (0 + ) = iL (0 - ) = 4A (3)计算非独立初始值。画出0+等效电路， 如图(c)。可得 uL(0+) iC(0+) 1 S 2 3Ω 2Ω 4Ω 10A (c) 12V 4A iR(0+) iR(0+ ) = 12/4 = 3A iC(0 + ) = - iR(0+ ) – 4 = -7A uL(0+ ) = 12 - 3×4 = 0V 知识点回顾 1. 分析换路前独立初始值对应响应 2.换路定律确定独立初始值 3.画0+时刻等效电路，其中 独立初始值替换为独立源 4.电阻电路分析， 得非独立初始值
知识点回顾 5.至此，我们得到了什么？ 1.时常数 2.特解 t=RC或LIR 齐次解 h)=Kef。 特解 代入方程确定 Yp(t)=A (形式与激励无关) (形式与激励相同) 3.初始值 y(0+) 6.特殊情形的响应 动态电路响应可视为初始储能（独立初始值）与独立源共同激励的 结果，因此，存在如下两种特殊情形的响应： ·无独立源激励，仅由初始储能激励一零输入响应y)，与初始 状态间满足齐次性，即零输入线性；零输入响应特解=0(wy?), 仅需（1)确定时常数，(2)并根据初始值确定待定系数K即可 ·无初始储能激励，仅由独立源激励—零状态响应'云)，即 4e(0,)=0z(0)=0时的响应（注意：不是y(0+)=0)
知识点回顾 5 5. 至此，我们得到了什么？ 6. 特殊情形的响应 齐次解 （形式与激励无关） ( ) t hy t Ke t - = 特 解 （形式与激励相同） y t A p( ) = 3.初始值 1.时常数 2.特解 t = RC L R 或 / 代入方程确定 y(0 ) + 动态电路响应可视为初始储能（独立初始值）与独立源共同激励的 结果，因此，存在如下两种特殊情形的响应： • 无独立源激励，仅由初始储能激励——零输入响应 ，与初始 状态间满足齐次性，即零输入线性；零输入响应特解=0(why?)， 仅需（1）确定时常数，（2）并根据初始值确定待定系数K即可 • 无初始储能激励，仅由独立源激励——零状态响应 ，即 时的响应（注意：不是y(0+)=0） zi y t( ) zs y t( ) (0 ) 0, (0 ) 0 C L u i + + = =
3.4一阶动态电路的响应 二、零状态响应 二、零状态响应 定义：当电路的初始储能为零（即初始状态 为零)时，仅由外加激励所引起的响应，称 R 为零状态响应，记为y()。 例：电路如图(a)所示，已知t<0时，开关S是闭合，电路已达稳态。在t= 0时，开关S断开，求≥0时，电容电压uc()(注意：该响应为零状态响应， 为何？)。 解：所求响应为零状态响应。≥0时，根据KCL有i心+=s 由于ic=C duc/dt,iR=ucR,代入上式得 duc 1 1 +-uc 式中=RC,初始值uc(0)=0 dtπ uc(t)uch(t)ucp(t) 对应的齐次解为uc,(t)=Ket 6
6 二、零状态响应 定义：当电路的初始储能为零(即初始状态 为零)时，仅由外加激励所引起的响应，称 为零状态响应，记为yzs(t)。 例：电路如图(a)所示，已知t < 0时，开关S是闭合，电路已达稳态。在t = 0时，开关S断开，求t≥0时，电容电压uC(t) （注意：该响应为零状态响应， 为何？）。 解： 所求响应为零状态响应。t≥0时，根据KCL有 iC + iR = Is 由于 iC= C duC/dt， iR = uC/R，代入上式得 C S C I C u t u 1 1 d d + = 式中τ=RC，初始值uC(0+ ) = 0 uC(t) = uCh(t) + uCp(t) 对应的齐次解为 t uCh t K − ( ) = e S uC IS iC iR C R 3.4 一阶动态电路的响应 二、零状态响应
3.4一阶动态电路的响应 二、零状态响应 其特解为常数，令uCp)=A,将其代入微分方程得 故得特解uc(①)=RIs 完全解为uc(t)=Ket+RIs 将初始状态uc04)=0代入确定K,有uc(0),=K+Rs,解得K=-RIs 于是得电路的零状态响应uc)=Rs(I-eT),t≥0 物理 过程： 电容电流 ie-Cduc -lye ic◆uc 充电 dt IsR 电容充电，当t→时，达到稳定状态，其稳态 值uc(o)=Rs。而电容电流i按指数规律衰减， 当达到稳态时，ic(o)=0。 零状态响应满足齐次性。若有多个激励，零状态响应与各激励之 间也满足可加性。这种性质称为零状态线性
7 其特解为常数，令uCp(t) = A，将其代入微分方程得 S I C A RC u 1 1 1 Cp = = 故得特解 uCp(t) = RIS 完全解为 S t uC t = K + RI − ( ) e 将初始状态uC(0+ ) = 0代入确定K，有 uC(0+ ) = K + RIS ，解得K = - RIS 于是得电路的零状态响应 ( ) = (1− e ), 0 − u t RI t t C S iC uC ISR IS 0 t 电容电流 t - C τ C S du i = C = I e dt 电容充电，当t→∞时，达到稳定状态，其稳态 值 uC(∞) = RIs。而电容电流iC按指数规律衰减， 当达到稳态时，iC(∞) = 0 。 零状态响应满足齐次性。若有多个激励，零状态响应与各激励之 间也满足可加性。这种性质称为零状态线性。 物理 过程： 充电 3.4 一阶动态电路的响应 二、零状态响应
3.4一阶动态电路的响应 三、全响应 三、全响应 定义：电路在外加激励和初始状态共同作用下所产生的响 应，称为全响应。 根据叠加定理，全响应又可以分解为 全响应=零输入响应+零状态响应，即y)=y)+y() 对于初始状态不为零，外加激励也不为零的电路。 。 初始状态单独作用时（独立源置0）时产生的响应 就是零输入响应分量； 而外加激励单独作用时[即令uc(0+)=0或(0+)=0]时 求得的响应就是零状态响应分量
8 三、全响应 定义：电路在外加激励和初始状态共同作用下所产生的响 应，称为全响应。 根据叠加定理，全响应又可以分解为 全响应 = 零输入响应+ 零状态响应，即 y(t) = yzi(t) + yzs(t) 对于初始状态不为零，外加激励也不为零的电路。 • 初始状态单独作用时（独立源置0）时产生的响应 就是零输入响应分量； • 而外加激励单独作用时[即令uC(0+ ) = 0或iL (0+ )=0]时 求得的响应就是零状态响应分量。 3.4 一阶动态电路的响应 三、全响应
回顾：微分方程分析一阶电路 微分方程求解一阶电路 1.时常数 2.特解 t=RC或L/R 齐次解 特解 Yp(t)=A 代入方程确定 yh(t)=Ke (形式与激励无关) (形式与激励相同) 3.初始值 y(0+) 太麻烦了！ 有没有简单方法？ ·有！三要素法！ 恰好造用于直流激励一阶电路分析！
回顾：微分方程分析一阶电路 微分方程求解一阶电路 齐次解 （形式与激励无关） ( ) t hy t Ke t - = 特 解 （形式与激励相同） y t A p( ) = 3.初始值 1.时常数 2.特解 t = RC L R 或 / 代入方程确定 y(0 ) + 太麻烦了！ 有没有简单方法？ • 有！三要素法！ • 恰好适用于直流激励一阶电路分析！
3.5一阶电路的三要素公式 一、三要素公式的推出 一阶电路只含一个动态元件，因此，换路后可利用戴维南定理，将任何 一阶电路简化为如图(a)b)两种形式之一。 电容电压uc()和电感电流()为响应 duc I di+RCc =RCus IL=-us dt L L (a) (b) y()表示响应uc或，f)表示外加激励s,上述方程可统一表示如下： dy④+0）=bf dt 微分方程的解为：yt)=M24码+y,(t) Yh(t)
一、三要素公式的推出 一阶电路只含一个动态元件，因此，换路后可利用戴维南定理，将任何 一阶电路简化为如图(a)(b)两种形式之一。 (a) (b) C uS uC R R uS L iL 电容电压uC(t)和电感电流iL (t)为响应 C S C u RC u t RC u 1 1 d d + = L S L u L i L R t i 1 d d + = y(t)表示响应uC或iL，f (t)表示外加激励uS，上述方程可统一表示如下： d ( ) 1 ( ) ( ) d y t y t bf t t t + = 3.5 一阶电路的三要素公式 / ( ) ( ) ( ) h t p y t y t e K y t - t 微分方程的解为： = + 1442 443