四、模糊集合的模糊程度 模糊熵 A的模糊熵E(A),在单位超立方体I中从0到1，其中顶点的熵为 0,表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐 渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 任2}=(0) X=(11) E(A)= 1(A,Area) 三 X2 1'(A,Arr) 6=(00) 红=(10) 4=3A=0.14o=1.0.a-3+42 1,17 b 23_17 3412 E(A)= 1
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵 A的模糊熵E(A)，在单位超立方体I n中从0到1，其中顶点的熵为 0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐 渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式： 1 1 ( , ) ( ) ( , ) near far a l A A E A b l A A = = 1 3 1 1 7 2 3 17 7 ( , ), (0,1), (1,0), , , ( ) 3 4 3 4 12 3 4 12 17 A A A a b E A = = = = + = = + = = near far
四模糊集合的模糊程度 模糊熵 了 熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 了模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 了一般的定义[山： (1)分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； (2)[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 （3)模糊集A与A距[1/2]的1远近程度是相同的，则 要求A与A的模糊程度一样 (4)模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A 越接近[1/2]，A的模糊性越大；A越远离[1/2]，A的模 糊性越小
熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或 一段信息的不确定性。 模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。 一般的定义[1]： （1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0； （2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊 性应最大 （3）模糊集A与 距[1/2]的1远近程度是相同的，则 要求A与 的模糊程度一样 （4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A 越接近[1/2],A的模糊性越大； A越远离[1/2],A的模 糊性越小 。 C A C A 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度模糊熵 2}=01) X=(11) 模糊熵定理： M(A∩A) E(A) M(AA) X2 M(AUA) AAAE A- M(A 中=(00) {}=(10) 23 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。( M(404)=0,M(A04)=n,E(4)=0
模糊熵定理： ( ) ( ) ( ) c c M A A E A M A A = 模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各 自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西 方逻辑”的终止。（ ） ( ) 0, ( ) , ( ) 0 c c M A A M A A n E A = = = 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
四、模糊集合的模糊程度模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义) E(A0=-k∑[Ax,)nA(x)+(1-Ax,》(1-Ax,川 k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵
= = − + − − n i i i i i E A k A x A x A x A x 1 ( ) [ ( )ln ( ) (1 ( ))ln(1 ( ))] k>0是常数 很多文章是用这个定义来求模糊熵 另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义） 四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
五、 模糊集合间的包含关系二包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship): AcB if and only if m(x)<mp(x)for all x 如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9),那么A就是 B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然 这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的 是二值定义下的子集性(Zadeh's1965)
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)： ( ) ( ) A B if and only if m x m x for all x A B 如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是 B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然， 这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的, 是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)
五、； 模糊集合间的包含关系—二包含度定理 1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合 模糊幂集F(2),它构成了 在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各 隶属度值m(x)。可以用Lebesguei测度或体积V(B)来度量 F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积： 2z}=(0) X=(11) 23 B V(B)=Πm(x) i=1 F(2) 中=(00) }=(10) 号马 图7.7
1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B)，它构成了 在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各 隶属度值mB(xi ) 。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量 F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积： 1 ( ) ( ) n B i i V B m x = = 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 图7.7
五、； 模糊集合间的包含关系—包含度定理 2.包含度定理： 在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长 方形(2)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定 义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2)的不同 程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(A,B)=Degree(AC B) =mr29,(A) S(,)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包含 度)，是模糊理论中的基本的、标准的结构
2.包含度定理： 在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长 方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定 义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同 程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(.,.)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包含 度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。 (2 ) ( , ) ( ) B ( ) F S A B Degree A B m A = = 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
五、 模糊集合间的包含关系—包含度定理 度量S()的两种方法： (1)代数方法：即失配法(fit-violation strategy） 假定X包含有100个元素：X={x1,x100。而只有第一个 元素违背了主导隶属度函数关系，使得ma(X1)>mB(x1)。直 观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性 为S(A,B)=0.99,并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全 是B的子集了。可见失配的幅度ma(1)-mg(1)越大，失配的 数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子 集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有 SUPERSETHOOD(A.B)-1-S(A,B)
度量S(.,.)的两种方法： (1)代数方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定X包含有100个元素：X={x1 ,…,x100}。而只有第一个 元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1 )>mB(x1 )。直 观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性 为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全 是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1 )-mB(x1 )越大，失配的 数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子 集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有： SUPERSETHOOD A B S A B ( , ) 1 ( , ) = − 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
五、； 模糊集合间的包含关系—二包含度定理 失配数的计算：Σmax(0,mA(x)-mB(X) 归一化之后得到超集的最小度量： ∑max(0,m4(x)-mg(x) SUPERSETHOOD(A,B)= M(A 包含度为： ∑max(0,m4(x)-mm(x》 S(A,B)=1-x M(A)
失配数的计算： max(0,mA(x)-mB(x)) 归一化之后得到超集的最小度量： max(0, ( ) ( )) ( , ) ( ) A B x m x m x SUPERSETHOOD A B M A − = max(0, ( ) ( )) ( , ) 1 ( ) A B x m x m x S A B M A − = − 包含度为： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
五、模糊集合间的包含关系 —包含度定理 这种包含度满足主导隶属度函数关系，当m(x)≤m(x,时 S(A,B)=1。如果S(A,B)=1,则分子被加数应都为0，因此主导隶属 度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时，S(A,B)=0。而 空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两 种极端情况之间，包含度的大小为： 00 所 以， S(A,B)=1- 0.110 1.1 类似可得： S(B,A)=1- 1.310 2.3 23
这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 时， S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属 度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而 空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两 种极端情况之间，包含度的大小为： 0 < S ( A, B ) < 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子 集，但不完全是，因为 所 以， 类似可得： ( ) ( ) m x m x A i B i 3 3 ( ) ( ) .4 .3 .1 0 m x m x A B − = − = 0.1 10 ( , ) 1 1.1 11 S A B = − = 1.3 10 ( , ) 1 2.3 23 S B A = − = 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理