第四章 不定积分与定积分 §4.1不定积分的概念 微分学 函数 导数 不定积分 原函数与不定积分的概念 1、原函数的概念 定义 对于给定的函数f(x),如果存在一个函数F(x),使得 F(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx 则称F(x)是f(x)的一个原函数
第四章 不定积分与定积分 §4.1 不定积分的概念 函数 导数 不定积分 微分学 一、原函数与不定积分的概念 1、原函数的概念 定义 则称 是 的一个原函数。 或 对于给定的函数 ，如果存在一个函数 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F x f x dF x f x dx f x F x = =
f(x)=cosx F(x)=sin x f(x)=2x F(x)=x2x2+3x2-V5 定理 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C 是f(x)的全部原函数。其中c为任意常数。 2、不定积分 定义 f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作[f(x)d ∫fx)=F(x)+c 各部分的名称 注 (1) 原函数与不定积分的关系一c不能丢
f (x) = cos x F(x) = sin x f (x) = 2x 2 F(x) = x 3 2 x + 5 2 x − 定理 是 的全部原函数。其中 为任意常数。 若 是 的一个原函数，则 f x c F x f x F x c ( ) ( ) ( ) ( ) + 2、不定积分 定义 f (x)的全体原函数称为f (x)的不定积分, 记作 f (x)dx f (x)dx = F(x) + c 注 (1) 原函数与不定积分的关系—— c 不能丢 各部分的名称
(2)不定积分由原函数构造一c合并缀在最后 cosxdx =sin x+c [2xdx=x2+c=(x2+3)+C (3)检验积分是否正确的方法 例1 ex的一个原函数是(C) A.ex B.ex C.-ex D.-e* 例2 设∫f(x)dk=cos2x+c,则f(x)=-2sin2x f(x)=(cos2x)'=-2sin 2x f(x)=-4cos2x
（2）不定积分由原函数构造 —— c 合并缀在最后 = sin x+c xdx = x + c 2 2 1 2 = (x +3) + c （3）检验积分是否正确的方法 cos xdx 例1 x x x x x A e B e C e D e e − − − − − . . . . 的一个原函数是（ ） 例2 = + = 设 f (x)dx cos 2x c，则 f (x) f (x) = (cos 2x) = −2 sin 2x f (x) = C − 2sin 2x − 4 cos 2x
3、不定积分的几何意义 定义 如果F(x)是f(x)的原函数，则称 y=F(x)的图形为f(x)的积分曲线。 不定积分的几何意义是f(x)的全部积分曲线所组成的 积分曲线族，其表达式为：y=F(x)+c :[F(x)+c]'=F'(x)=f(x) ∴.曲线族中的各条积分曲线 在横坐标相同的点处切线 彼此平行
3、不定积分的几何意义 定义 的图形为 的积分曲线。 如果 是 的原函数，则称 ( ) ( ) ( ) ( ) y F x f x F x f x = y F x c f x = ( ) + ( ) 积分曲线族，其表达式为： 不定积分的几何意义是 的全部积分曲线所组成的 [F(x) + c] = F(x) = f (x) 彼此平行。 在横坐标相同的点处切线 曲线族中的各条积分曲线
例3 求过(L,2)点，各点处的切线斜率为2x的曲线方程。 解 设所求曲线方程为y=f(x) 依题设y=2x 则y=∫2xdk=x2+c ·曲线过(1,2)点 .2=12+c 解得c=1 从而所求曲线方程是y=x2+1
例3 解 求过(1, 2)点，各点处的切线斜率为2x的曲线方程。 设所求曲线方程为y = f (x) 依题设 y = 2x y = xdx = x + c 2 则 2 = + c 2 2 1 曲线过(1,2)点 解得 c =1 1 2 从而所求曲线方程是 y = x +
二、 不定积分的性质与积分基本公式 1、不定积分的性质 ①[fx)a'=fx)或dfx)dk=fx)d jea= (2)∫F'(x)d=F(x)+c或∫dF(x)=F(x)+c (3)∫[f(x)±g(xk=∫fx)d±∫g(x)d (4)∫kfx)ds=k∫f(x)ad (是非零常数) 注 *性质（①(2）表明：不定积分与微分确实互为逆运算； *①)中d的与(2)中的c都不能丢；
二、不定积分的性质与积分基本公式 1、不定积分的性质 (4) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 是非零常数 或 或 k f x dx k f x dx k f x g x dx f x dx g x dx F x dx F x c dF x F x c f x dx f x dx d f x dx f x d f x dx f x dx = = = + = + = = = 注 性质(1)、(2)表明：不定积分与微分确实互为逆运算； （1）中dx的与（2）中的c都不能丢；
米 性质(2)告诉我们，当被积函数=1时， 不定积分=积分变量+c; *(3)中的k≠0： *(3)(4)结合推广可得不定积分的线性性质： f[af(x)±bg(x)士…±ch(x]ds =af(x)d±bg(x)d±…±ch(x)dr *不定积分没有乘法法则和除法法则。 例4 设f(x)=smnx,则f'(x)d=sinx+C
= a f x dx b g x dx c h x dx a f x bg x ch x dx ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] 3 4 （ ）（ ）结合推广可得不定积分的线性性质： 不定积分没有乘法法则和除法法则。 不定积分 积分变量 ； 性质（ ）告诉我们，当被积函数 时， = + c 2 =1 例4 = = 设 f (x) sin x，则 f (x)dx sin x + c （3）中的k 0；
2、积分基本公式 ()∫0dk=c (2)∫xdk=1 xa+1+c(a≠-l) + ③)jk=h1xte (4∫ark=, -ax+c (⑤)∫ek=e*+c In (⑥)∫sin xdx=-cosx+c (7)cosxdx=sin x+c -dx=tan x+c coS-x 9∫ x=-cotx+c sin2x 注 （1)证明方法 (2)不定积分与求导互逆 (3)记本质结构(4)不要与导数的基本公式记混
2、积分基本公式 = + = − + = − + = + = + = + + − = + + = = + dx x c x dx x c x xdx x c xdx x c a c e dx e c a a dx dx x c x x dx x c dx c x x x x cot sin 1 tan (9) cos 1 (8) (6) sin cos (7) cos sin (5) ln 1 (4) ln | | 1 ( 1) (3) 1 1 (2) (1) 0 2 2 1 注 （1）证明方法 （2）不定积分与求导互逆 （3）记本质结构 （4）不要与导数的基本公式记混
积分基本公式是计算不定积分的基础，各种积分方法的共 同思想一将所求的不定积分转化为一个或几个积分公式的 代数和。 3、直接积分法—拆 直接用性质和基本积分公式计算不定积分的方法 例5计算下列不定积分 oja品 ara小+可可 x3 +G+5ln|x|+c2-4×2Wx+c3 3 x +5n|x|-8Wx+c
3、直接积分法 积分基本公式是计算不定积分的基础，各种积分方法的共 同思想——将所求的不定积分转化为一个或几个积分公式的 代数和。 —— 拆 直接用性质和基本积分公式计算不定积分的方法 例5 计算下列不定积分 dx x (1) 2 c x = + ln 2 2 + − dx x x x ) 5 4 (2) ( 2 x x c x = + 5ln | | −8 + 3 3 1 2 3 3 5ln | | 4 2 3 c x c x c x = + + + − + = + − dx x dx x x dx 1 4 1 5 2
(3)∫V(3-x2)d =∫3x2-x2)ak =3x2k-∫x2dk 3c 1+ 1+ 2 23 x2+c 7
= (3x − x )dx 2 5 2 1 = x − x + c 2 7 2 3 7 2 2 x x + c + − + = + + 2 5 1 2 1 1 2 5 1 1 2 1 1 1 3 = x dx − x dx 2 5 2 1 3 (3) x(3− x )dx 2