第一章鞭难解答 通解是否一定包含了全部解？ 不是，例如，文字教材11节中的方程 业-y d在1-x 有通解y=血（℃如x+C),，另外该方程还有常数解y=1不包含在通解中。 是否任何一个方程都有通解？ 不是.例如炉+少=0，方程，只有解y=0,而无含任意独立常数的通解 一般情况下，一阶非齐次方程的通解可以用常数变导法，而二阶线性丰齐次方程可用常 数变易法或特定系数法求其特解，然后由它对应的齐次线性方程的通解与该特解之和，得到 它的通解， 学习一阶隐式微分方程应该注意什么？ 学习新隐式微分方程时，首先要判断隐式方程（玉八y)=0,能香把》”解出，若能解 得一个成几个是式方程 y=(红， G=12.…,) 基么用初等积分法求出这些鼎式方程的解，可得到原方程的解 如果不能解出，则了解一阶隐式微分方程的可积类型，然后要拿捉隐式方程类型【，川 的参数解法，对应两种可积类型的参数形式及其通解公式如下： 类型1P(x,=0,(F0y=0 x=4) x=) 若参数形式少=)， 则参数形式通解为： y-Joo)+c y=t) -c 若参数形式广=0， 则参数形式通解为： y=4P0 类型Ⅱy=(x,y.(伍=f0yy》
第一章疑难解答 通解是否一定包含了全部解？ 不是．例如，文字教材 1.1 节中的方程 有通解 ，另外该方程还有常数解 不包含在通解中． 是否任何一个方程都有通解？ 不是．例如 ，方程，只有解 ，而无含任意独立常数的通解． 一般情况下，一阶非齐次方程的通解可以用常数变易法，而二阶线性非齐次方程可用常 数变易法或待定系数法求其特解，然后由它对应的齐次线性方程的通解与该特解之和，得到 它的通解． 学习一阶隐式微分方程应该注意什么？ 学习一阶隐式微分方程时，首先要判断隐式方程 ，能否把 解出，若能解 得一个或几个显式方程 那么用初等积分法求出这些显式方程的解，可得到原方程的解． 如果不能解出，则了解一阶隐式微分方程的可积类型，然后要掌握隐式方程类型 I、II 的参数解法．对应两种可积类型的参数形式及其通解公式如下： 类型Ⅰ 若参数形式 ，则参数形式通解为： ； 若参数形式 ，则参数形式通解为： ． 类型Ⅱ
X=X y=p (x.p.C)=0 若参数形式少=(x,P）. 则参数形式解为： y=f(xP） y=y y=p 0y,p,C)=0 若参数形式K=以，)， 则参数形式解为： x=f(y.p) 常微分方程第一章的愿型比较复条，求解方法也很多，希望老师将一些常见的圈 蛋的求解方法做一个日钠。 在本章学习过程中，请你首先要学会准确判断方程的可机类型，在判断题型时，经验告诉我 们，可以按如下顺序判断，即： 线性方程 伯务利方程 显式方程 不欣方程 非线性方程 变量可分离方程 阶方程 全微分方程 阶 (积分因子) 人隐式方程 入阶方程 判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后如以考感
若参数形式 ，则参数形式解为： 若参数形式 ，则参数形式解为： 常微分方程第一章的题型比较复杂，求解方法也很多，希望老师将一些常见的题 型的求解方法做一个归纳． 在本章学习过程中，请你首先要学会准确判断方程的可积类型，在判断题型时，经验告诉我 们，可以按如下顺序判断，即： 判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后加以考虑．
4=ax+6y6=1或2) 变量可分离方程 y y y=Cx)e他 -f(x)e(y) dx 齐次方程 线性方程 1 W=- dy_M卫 业 g白 y) =P(动y+( d 4= 全激分方程 xM+yN M(x,y)dx+N(a,y）dy-0 4=e aM aN d=0 dy dx 移 0 4= 4y_a1x+y+9 伯雾利方程 dr azx+bay+c y =y ci+c0 dx -p(y+y”g() 特≠0,1 阶显式方程可积类型关系图 然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，即分离变量法，常数变易法，积分因子 法（或全微分法），参数法降阶法。最后在学习指导的帮助下，总结一下初等积分法中的各 种解法的特点与内在联系，以提高白己的解题能力与技巧。 第1章重点内容是什么？ 本章重点内容是初等积分法中的5种基本解法，即 (1)分离变量法，主要求解： 变量可分离方程 史=寸)e0).闪Mo女+M,(国40冲=0， -f4+6y+9 ψ 齐次方程数 ax+by+c (2)常数变易法，主要求解：
然后要熟练掌握针对不同可积类型的 5 种解法，即分离变量法，常数变易法，积分因子 法（或全微分法），参数法降阶法．最后在学习指导的帮助下，总结一下初等积分法中的各 种解法的特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧． 第 1 章重点内容是什么？ 本章重点内容是初等积分法中的 5 种基本解法．即 （1）分离变量法，主要求解： 变量可分离方程 ， ； 齐次方程 ， （2）常数变易法，主要求解：
线性方程少+P(团y=f() 伯努利方程y+p(y=f(xy,(a≠0，) (3)积分因子法一首先将方程化成全微分方程，再求其原函数 因此，大家首先要会判断常微分方程的类型，然后再针对各种类型的常微分方程，正确 运用3种基本解法，要求大家能熟练地求解， 当然，除这三种方法外，还有两种方法也要掌星： 《4)参数法，主要求解隐函数方程的两种类型： 类型1F(x门=0(0，y=0 x■) x=) 若参数形式少=0， 则参数形式通解为： y=wo+c y=t) -0+c 若参数形式少=@， 则参数形式通解为： y=0 类型川y=f(xn(伍=f0yy》 x=x y=p G(x.p.C)=0 若参数形式D=(x刊， 则参数形式解为： y=(x,) yay y'mp 0y,pC)=0 若参数形式x=0,P),则参数形式解为： x■f0.p (5)降阶法，主要求解高阶方程： 第一种可降阶的高阶方程P(xy,…,网=0 k>0, 第二种可降阶的高阶方程P以，广，…y)=0 假如方程(x…y=0的左恰为装一函数少少…，对×的号 数，期称该方程为恰当导数方程
线性方程 伯努利方程 （3）积分因子法——首先将方程化成全微分方程，再求其原函数． 因此，大家首先要会判断常微分方程的类型，然后再针对各种类型的常微分方程，正确 运用 3 种基本解法，要求大家能熟练地求解． 当然，除这三种方法外，还有两种方法也要掌握； （4）参数法，主要求解隐函数方程的两种类型： 类型Ⅰ 若参数形式 ，则参数形式通解为： ； 若参数形式 ，则参数形式通解为： 类型Ⅱ 若参数形式 ，则参数形式解为： 若参数形式 ，则参数形式解为： （5）降阶法，主要求解高阶方程： 第一种可降阶的高阶方程 ； 第二种可降阶的高阶方程 ； 假如方程 的左端恰为某一函数 对 x 的导 数，则称该方程为恰当导数方程．