第9章 随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统9.0 引言9.1随机信号的概念9.2连续随机信号的统计特征9.3离散随机信号的统计特征9.4线性连续系统分析9.5线性离散系统分析9.6白噪声通过线性系统分析BACK
第9章 随机信号通过线性系统 第9章 随机信号通过线性系统 9.0 引言 9.1 随机信号的概念 9.2 连续随机信号的统计特征 9.3 离散随机信号的统计特征 9.4 线性连续系统分析 9.5 线性离散系统分析 9.6 白噪声通过线性系统分析
第9章随机信号通过线性系统9.0 引 言由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jの))求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）
第9章 随机信号通过线性系统 9.0 引 言 由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般 不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机 信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二 阶统计特征(或数字特征)之间的关系。 对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、 二阶 统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数） 和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jω)), 求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互 相关函数和互谱密度）
第9章随机信号通过线性系统对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jの)分别用 h(k)、H(z)、H(e jo)代替。由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值m，方差D，自相关函数Ru(t)，功率密度谱S，（jo），以及输入和输出间的互相关函数R(t)，互谱密度Sxy（jo）等
第9章 随机信号通过线性系统 对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分 别用 h(k)、H(z)、H(e jω)代替。 由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机 信号， 因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信 号分析， 此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经 过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。 分析任务是求输出 进入平稳状态后的均值my，方差Dy，自相关函数Ryy(τ), 功率密 度谱Sy（jω），以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ)，互谱密 度Sxy（jω）等
第9章随机信号通过线性系统9.1随机信号的概念9.1.1随机过程和随机信号的概念在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量则X的取值是随机的，通常用概率密度函数x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t.时：X(to)为一个随机变量
第9章 随机信号通过线性系统 9.1 随机信号的概念 9.1.1 随机过程和随机信号的概念 在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量， 则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上 述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随 机过程。 这就是随机过程概念的简单描述。 随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t=t0时， X(t0 )为一个随机变量
第9章随机信号通过线性系统设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x,(t)，乙观察得到的实验输出波形为x2(t)，xi(t)x2(t)，如图9.1所示。同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为xi(t)x2(t)，…，xn(t)。也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻t（例如t-to)可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X的取值，即时间给定时X(t)是一个随机变量
第9章 随机信号通过线性系统 设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做 实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1 (t)，乙观 察得到的实验输出波形为x2 (t)，x1 (t)≠x2 (t)，如图9.1所示。同理， 设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1 (t)， x2 (t)， ., xN(t)。也就是说，随机信号产生器产生的随机信号 X(t)，在同一时刻t (例如t=t0 )可能输出不同的值，若实验观察， 事先是不知道X的取值，即时间t给定时X(t)是一个随机变量
第9章 随机信号通过线性系统X(t)x.(t)x.(to)t011o2图9.1-1随机信号X(t)
第9章 随机信号通过线性系统 图 9.1-1 随机信号X(t)
第9章随机信号通过线性系统显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号
第9章 随机信号通过线性系统 显然，随机信号X(t)有如下两个特点： （1）在定义的观察区间内， X(t)是以时间t为参变量的随 机函数； （2） 给定t，它是一个随机变量， 即X(t)在t时刻的取值是 随机变化的。 现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某 区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流 量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号
第9章随机信号通过线性系统9.1.2随机信号的分布函数和概率密度定义9.1-1随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在时刻的取值小于x的概率，即Fx(x,t) = P(X(t)≤x)定义9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为aFx(x,t)f(x,t)= 9ax
第9章 随机信号通过线性系统 9.1.2 随机信号的分布函数和概率密度 定义 9.1-1 随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时 刻的取值小于x的概率， 即 F (x,t) P{X(t) x} X = 定义 9.1-2 随机信号X(t)的概率密度函数定义为 x F x t f x t X = ( , ) ( , )
第9章 随机信号通过线性系统为了描述随机信号在不同时刻t，t，…t,的内在联系，同理，可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数：Fn(xi,X2,...,Xn;ti,t2,*.-,tn)= P[X(t)≤ xi, X(t2)≤ x2, , X(tn) ≤ xnlfn(Xi,X2,*.", Xn;ti,t2,.,tn)O"F,(X1,X2,**,Xn;t,t2,",tn)Oxi,Ox2,..",Ox
第9章 随机信号通过线性系统 为了描述随机信号在不同时刻t1 , t2 , ., tn的内在联系，同 理, 可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率 密度函数： [ ( ) , ( ) , , ( ) ] ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n P X t x X t x X t x F x x x t t t = n n n n n n n n x x x F x x x t t t f x x x t t t = , , , ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
第9章随机信号通过线性系统9.2连续随机信号的统计特征9.2.1 均值均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。定义9.2-1E[X(t)] = ( xf(x,t)dx = mx(t)当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：fn(xi,X2,.,xn,ti,t2,...,tn) = fn(xi,X2,..,xn,ti +t,t +t,...,tn +t)
第9章 随机信号通过线性系统 9.2 连续随机信号的统计特征 9.2.1 均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本 取值的统计平均值。它可以定义如下。 定义 9.2-1 − E[X(t)] = x f (x,t)dx = m (t) x 当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件： ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + + n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t