第三章 连续信号与系统的频域分析3.1信号的正交分解3.2J周期信号的连续时间的傅立叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的连续时间傅立叶变换3.5傅立叶变换的性质3.6周期信号的傅立吐变换3.7连续信号的抽样定理3.8连续系统的频域分析BACK
3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间的傅立叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅立叶变换 3.5 傅立叶变换的性质 3.6 周期信号的傅立叶变换 3.7 连续信号的抽样定理 3.8 连续系统的频域分析 第三章 连续信号与系统的频域分析
3.1信号的正交分解3.1.1 失量的正交分析1.正交矢量两量正交，在几何意义数学定义上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。7V2两矢量相互垂直时的夹角为90度，即：该式可为两矢量正交的定义式Vi.V2 = Vil.V2cos90° = 0V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2另外一种理解成比例的矢量C12V2，使得当用C12V2近長示V1时，其误差矢量Ve的模最小Ve = V -C12V2这个问题的实质1C12V2就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最小。如左上图所示，知Vi垂直于V2时，Ve的模才能最小
3.1 信号的正交分解 V1V2 = V1 V2 cos90 = 0 该式可为两矢量正交的定义式。 另外一种理解 V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2 成比例的矢量C12 V2，使得当用C12V2近 似表示V1时，其误差矢量Ve 的模最小。 Ve =V1 − c12V2 就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最 小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。 这个问题的实质 3.1.1 矢量的正交分析 1.正交矢量 数学定义 两矢量正交，在几何意义 上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。 两矢量相互垂直时的夹角为90度，即：
此时，C2V2=Vicos6Vi|cos 0ViV2cos 0Vi.V2所以最佳系数为C12[V2][V2/V2]V2.V2随着角的增加，直至V1V,时，θ-90，cosθ-0，ci2=0结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的失量C12V2近V～V的模V似V1，要求误差失量最小，（此时的C12称为最佳），当C12=0时，Ve的模最小，此时Vi和V2正交
所以最佳系数为 此时， c12V2 = V1 cos 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 cos cos V V V V V V V V V V c = = = 随着角的增加，直至V1 ⊥V2 时，＝90 ，cos＝0，c1 2 = 0 结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12 V2近 似V1，要求误差矢量 的模 最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的 模最小，此时V1和V2正交。 Ve V1 − c1 2V2
2.矢量分解C2V2在平面空间里，相互正交的矢量V2V1和V2构成一个正交失量集，而且为9291完备的正交矢量集。平面空间中的任ViC.Vi一矢量V都可表示为Vi和V2的线性组合（如上图）。即：V=CiV1+C2V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1-V2=0。其中：V|cos0iV.VicVi =VcosO1,c[Vi]Vi.ViV|cos02V.V2C3V3c,V2 =Vcos02,C, =V2V2.V2V3同样，对于一个三维的空间矢量，要精ViCiNi确地表示它，就必须用一个三维的正交V2矢量集。如左图，三维矢量空间可精确C2V2地表示为：V=c1V1+c2V2+c3V3
2.矢量分解 在平面空间里，相互正交的矢量 V1和V2构成一个正交矢量集，而且为 完备的正交矢量集。平面空间中的任 1 1 1 1 1 1 1 cos cos , 1 1 V V V V V V cV V c = = = 一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即： V=C1V1+C2V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其 中： 同样，对于一个三维的空间矢量，要精 确地表示它，就必须用一个三维的正交 矢量集。如左图，三维矢量空间可精确 地表示为：V=c1V1+c2V2+c3V3 2 2 2 2 2 2 2 cos cos , 2 2 V V V V V V c V V c = = =
推广到n维空间，则有V = ciVi+c2V2 +...+ cnVn =ciVi其中，Ci=V-Vi/Vi-Vii=13.1.2信号的正交分解1.正交信号（函数）*定义:设 f1(t)和f2(t)为定义在（t1，t2）区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数C12f2(t)近似地代表fi(t)，其误差信号为 f。(t)= f(t)一Cizfz(t)平方误差定义为： Ee = [" If (t) dt改变C12的大小，如果使Ee为最小时相应的C12=0，称f1（t）和f2（t)在区间（t1,t2）上正交。判定两信号正交的条件：f' Ji(t)fe*(t)dt = o
推广到n维空间，则有 其中，Ci= V·Vi/Vi·Vi = = + ++ = n i V c V c V cnVn ciVi 1 1 1 2 2 3.1.2 信号的正交分解 1.正交信号（函数） *定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两个函 数，现在要用与 f 2(t)成比例的一个函数C12f 2(t)近似地代表 f 1(t)，其误差信号为 ( ) ( ) ( ) 1 12 2 f t f t c f t e − 平方误差定义为： E f t dt t t e e 2 2 1 ( ) 改变c12的大小，如果使Ee 为最小时相应的c12＝0，称 f 1(t) 和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。 判定两信号正交的条件： ( ) ( ) 0 * 1 2 2 1 = f t f t dt t t
2信号的正交分解(g(0))= (gi(t), g2(t).... g~(t)*正交函数集：设一函数集t E(t1,t2) 若f" g(0)g,(0)dt=(,ji, j =1,2,3...N则称g(t)为正交函数集，tE(ti,t2)当K=1时，称为归一化正交函数集。*信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f(t），即：c,g,(t)f(t) ~ Cigi(t)+C2g2(t)+... +Cng~(t) =i=1这种近似所产生的平方误差为:E。『"(t)-≥cig,(t)di可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数C为此时的平方误差为下式所示：("2 f(t)g,*(t)dt" If(t)[ dt -" [cg,(t)] dtE。='" Ig,(t)° dt
2 信号的正交分解 *正交函数集：设一函数集 ( ) ( ), ( ),., ( ), 1 2 g t g t g t g t = N ( , ) 1 2 t t t g t g t dt i j N i j j k i j t t i ( ) ( ) 0 i , 1,2,3 2 * 1 = = 若 = 当Ki=1时，称为归一化正交函数集。 *信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f (t)，即： g(t) ( , ) 1 2 则称 为正交函数集，t t t ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 1 1 2 2 f t c g t c g t c g t c g t i N i N N i = + + + = 这种近似所产生的平方误差为： E f t c g t dt t t N i e i i 2 1 2 1 ( ) ( ) = − = 可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为 = 2 1 2 1 2 * ( ) ( ) ( ) t t r t t r r g t dt f t g t dt c 此时的平方误差为下式所示： E f t dt c g t dt N i t t i i t t e 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) = = −
如果对于某一类(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零则称正交函数集对于（(t)这一类函数是完备的正交函数集。一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。3两个完备的正交函数集基本周期：T=2n/Q,正交（1）三角函数集区间（to，to+T）。是完备的cos nQt,sin nQttn=0,1,2...正交函数集。mtnrto+T1C正交性：cos n2t · cos m2tdt = (/2m=nJtomtnrto+T10sin nQ2t · sin m2tdt = (%/2m=ntomtn-to+TSocos nQt ·sin nQtdt =0m=nto完备性：无穷函数集
如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零， 则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。 cos nt,sin nt n=0,1,2. 3 两个完备的正交函数集 （1）三角函数集 基本周期：T=2л/Ω,正交 区间（t0 ，t0+T）。是完备的 正交函数集。 m n m n T t T t n t m tdt = + = 0 / 2 cos cos 0 0 正交性： m n m n T t T t n t m tdt = + = 0 / 2 sin sin 0 0 m n m n t T t n t n tdt = + = 0 0 cos sin 0 0 完备性：无穷函数集
(2)指数函数集：基本周期：T=2n/QjnQt正交区间（to，to+T）n=0,±1,±2..是完备的正交函数集。mtnCo+Tto+COej(n-m)t dt =正交性m=nJto1O完备性：无穷函数集
=0,1,2. n j n t e 基本周期：T=2л/Ω, 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。 ( ) ( ) m n m n T t T t j m t j n m t t T t j n t e e dt e dt = + − + = = 0 * 0 0 0 0 正交性 完备性：无穷函数集 (2)指数函数集：
3.2 周期信号的传立叶级数分解3.2.1 三角形式傅立叶级数分解1.三角函数集2元ff(@)= (cos nQt, sin nQ2tQ对周期信号，该函数在（to，to+T）上为完备的正交函数集。2.正交展开将任一周期函数信号展开为：00f (t) = Zcig;(t) =Z(a, cos n2t+ b, in n2t) = ao + E(a, cos n2t+b, sin n2t)n=0n=l该函数系数rto+Tf-(t)cos* nQtdtn=0fr(t)dta.r+Tto+1fr(t)cosn2tdt n = 1,2.cos nQt dt
3.2 周期信号的傅立叶级数分解 3.2.1 三角形式傅立叶级数分解 1.三角函数集 ( ) = = = 2 cos ,sin , f T t n t n t n 0,1,2. T 对周期信号，该函数在（t0，t0+T）上为完备的正交函数集。 2.正交展开 将任一周期函数信号展开为： ( ) ( ) ( cos sin ) ( cos sin ) 1 0 0 f t c g t a n t b n t a a n t b n t n n n n n T = i i = n + = + + = = 该函数系数 1,2. 0 cos ( ) cos 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( )cos 2 2 * = = = = + + + + n n n t dt f t n tdt a t T t T t T t T f t d t T f t n tdt T t T t t T t T n
Cto+Tf(t)sin* nQtdt2Cto+Tf(t)sin nQ2tdt5n =1,2..Ptot7TJt[sin nQ2t dt将ao包含在an中则有：8080doZ(ZA, cos(n2t + p,)(a, cosn2t + b, sin n2t)f.(t)22n=1n=l2rto+T其中an=f-(t)cos nQtdtn = 0,1,2.T2Cto+Tf-(t)sin nQtdtn = 1,2..hnT JtobAn =a?+bA = αoPn =-arctg10
( )sin 1,2. 2 sin ( )sin 0 0 0 0 0 0 2 * = = = + + + f t n tdt n T n t dt f t n tdt b t T t t T T t t T t T n cos( ) 2 ( cos sin ) 2 ( ) 1 1 0 0 n n n n T n n A n t A a n t b n t a f t = + + = + + = = ( ) cos 0,1,2. 2 0 0 = = + f t n tdt n T a t T t 其中 n T 将a0包含在an中则有： + = = t T t n T f t n tdt n T b 0 0 ( )sin 1,2. 2 n n n n n n a b A = a A = a + b = −arctg 2 2 0 0