第七章第七章离散信号与系统的Z域分析7.1 z 变换7.2z变换的性质7.3z逆变换7.4离散系统的Z域分析7.5离散系统的z域分析7.6离散系统的表示和模扣77离散系统的表示与模拟7.8系统函数与系统特性BACK
第七章 离散信号与系统的Z域分析 第七章 7.1 z 变 换 7.2 z 变换的性质 7.3 z 逆变 换 7.4 离散系统的Z域分析 7.5 离散系统的 z 域分析 7.6 离散系统的表示和模拟 7.7 离散系统的表示与模拟 7.8 系统函数与系统特性
引言：LTI连续系统，离散系统的分析思想都是基于信号的分解理论和系统的LTI特性系统分析方法如下表基本分析方法数学工具响应计算信号连续系统时域法卷积积分8(t)yr(t) = h(t)* f(t)频域法eiar傅氏变换Y,(jo)= H(j@).F(j)S域法拉氏变换esrY,(s)= H(s)·F(s)离散时域法卷积和S(k)y,(k)= h(k)* f(k)Z域法Z变换ZkY,(z) = H(z)·F(z)7
引言：LTI连续系统，离散系统的分析思想都是基于信号的 分解理论和系统的LTI特性。 系统分析方法如下表 分析方法 基本 信号 响应计算 数学工具 连 续 系 统 时域法 卷积积分 频域法 傅氏变换 S 域法 拉氏变换 离 散 ～ 时域法 卷积和 Z 域法 Z 变换 j t e (t) st e (k) k Z y (t) h(t) f (t) f = Y ( j) H( j) F( j) f = Y (s) H(s) F(s) f = y (k) h(k) f (k) f = Y (z) H(z) F(z) f =
7.1 Z变换7.1 Z 变 换7.1.1从拉普拉斯变换到z变换对连续信号f（t）进行理想抽样，得到抽样信号f,(t)= f(t)Sr(t)= f(t) Es(t-kT)=Ef(kT)S(t-kT)k=-80k=-80取双边拉氏变换得f(kT)e-skrF,(s) = L[f,(t)I=-80=esTA并用f(k)表示f(kT)(s =ln z)F(z)= Zf(k)z-k = z[f(k)称F(z)为序列f(k)的双边z变换，由复变函数理论可得_F(z)zk-idz = Z-1[F(z)]f(k) =2元
7.1 z 变 换 7.1.1 从拉普拉斯变换到 z 变换 对连续信号f ( t )进行理想抽样，得到抽样信号 f (t) f (t) (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT) k k s = T = − = − =− =− 取双边拉氏变换得 =− − = = k skT s s F (s) L[ f (t)] f (kT)e ( ln ) 1 z e s z T s T 令 = = 并用f (k)表示f (kT) F(z) f (k)z Zf (k) k k = = =− − 称F(z)为序列f (k)的双边 z 变换，由复变函数理论可得 ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 1 F z z dz Z F z j f k C k− − = = 7.1 z 变 换
7.1 Z变换称为F(z)的双边z.逆变换f(k) αF(z)表示f (k)和F(z)间的对应关系。收敛域7.1.2F()是的无穷级数。使级数收敛的z的取值范围称为F(2)的收敛域。F（z)存在或级数收敛的充要条件是l(k)z-*|0k=0k=0k=0
0,0,3,4,5 0,0,3,4,5 3 4 5 0 1 2 2 0 = = + + − − = − Z z z z z k k f (k) F(z) 称为F(z)的双边z逆变换。 表示f (k)和F(z)间的对应关系。 7.1.2 收敛域 F (z)是z -1的无穷级数。使级数收敛的 z 的取值范围 称为F (z) 的收敛域。 F (z)存在或级数收敛的充要条件是 =− − k k f (k)z 绝对可和条件 1.有限长序列 a .有限长因果序列 k = 0 k = 0 7.1 z 变 换
7.1 Z变换z[6(k)]= 8(k)z-k =1|>080b.有限长反因果序列Z(1,2,0,0/z-k = z2 + 2zz[(1,2,0,0]] =z<8k=-2k=0k=0C.有限长双边序列z[1,2,3,4,5]- (1,2,3,4,5)2-k = 22 + 22+3+4z- +52-2k=-2k=0k=0<<82.因果序列k<0f(k)=ae(k) :k≥0
( ) = ( ) = 1 0 =− − Z k k z z k k b .有限长反因果序列 = = + − =− − Z z z z z k k 1,2,0,0 1,2,0,0 2 2 1 2 k = 0 k = 0 c .有限长双边序列 = = + + + + − − =− − z Z z z z z z k k 0 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5 2 3 4 5 2 1 2 2 2 k = 0 k = 0 2.因果序列 0 0 0 ( ) ( ) = = k k a f k a k k k 7.1 z 变 换
7.1 Z变换Za*z- =-(az-)F(z)=k=0kl1-(az-')N+1NZ(az-1)* = limlim1-az-1NN8k=0az-a%,不定即az-=1 =a无界，不存在az->1 即z[aa()7-Re[?]C
1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) − − + → = − → = − = − − − = = = = az az az F z a z az N N N k k N k k k k k az z a az z a az z a z a z = = = − − − − 即 即 即 无界，不存在 不 定 1 1 1 , 1 1 1 0 0 z a z a z a k k − ( ) , 7.1 z 变 换
7.1 Z变换3.反因果序列-bkk1 即 |>[
3.反因果序列 − =− − − =− − = − = − 1 1 1 ( ) ( ) k k k k k F z b z bz 0 0 0 ( ) ( 1) − = − − − = k b k f k b k k k 令k= - m，有 b z b z b z b z F z bz b z N N N m m N m m m m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) − − − → = − → = − = − − − − = − = − = − = − b z z b b z z b b z z b z b z = = = − − − − 即 即 即 无界，不存在 不 定 1 1 1 , 1 1 1 0 0 7.1 z 变 换
7.1 z变换AIm[2]16]-b*ε(-k-1)a且 a<<b-hz-a7
z b z b z b k k − − (− −1) , 4.双边序列 f (k) f (k) f (k) b ( k 1) a (k) k k l r = + = − − + F(z) Zf (k) Zf (k) = l + r b a a z b b a z a b a z b z z a z = = − = − − 且 且 不存在 0 7.1 z 变 换
7.1 z变换结论：(1).有限长序列双边z变换的收敛域因果序列：z>0反因果序列：1zKo0双边序列：0<z<o0(2).无限长序列双边变换的收敛域因果序列：zzo，收敛半径为z的圆外区域。反因果序列：zzo，收敛半径为zo的圆内区域。双边序列z，以为收敛半径的环状区域。(3).不同序列的双边z变换可能相同，即f(k)和F(z)不是一一对应的。只有考虑其收敛域时，两者才是一一对应的！
结论： (1).有限长序列双边 z 变换的收敛域 因果序列： | z |>0 反因果序列： | z || z0 |，收敛半径为| z0 |的圆外区域。 反因果序列：| z |>| z0 |，收敛半径为| z0 |的圆内区域。 双边序列：| z1 || z2 | ，以| z1 |、| z2 | 为收敛半 径的环状区域。 (3).不同序列的双边 z 变换可能相同，即f (k)和F(z)不 是一一对应的。只有考虑其收敛域时，两者才是 一一对应的！ 7.1 z 变 换
7.1 变换（4).收敛域由z平面上以原点为中心的同心圆为边界的圆环组成。一定条件下，内边界可延伸至原点，外边界可延伸至无穷大。7.1.3单边变换定义 : F(z) =Z F(k)z-kk=00k<0f(k)=2f,F(z)zk-1dzk≥0说明：(1).求和下限k=0，z逆变换结果为因果序列。(2). 序列f (k)的单变z变换=因果序列f (k)c(k)的双边z变换(3).单边z变换的收敛域与因果序列双边z变换的收敛域相同。单边z变换的收敛域一般为zα，序列f (k)与其单边 z 变换F(z)一一对应
(4). 收敛域由 z 平面上以原点为中心的同心圆为边界的 圆环组成。一定条件下，内边界可延伸至原点，外 边界可延伸至无穷大。 7.1.3 单边z 变换 定义： = − = 0 ( ) ( ) k k F z f k z 0 0 ( ) 0 ( ) 1 2 1 = − k k F z z dz f k c k 说明： j (1).求和下限k=0，z 逆变换结果为因果序列。 (2). 序列f (k)的单变z变换＝因果序列f (k)ε(k)的双边z 变换。 (3).单边 z 变换的收敛域与因果序列双边z变换的收敛域 相同。单边 z 变换的收敛域一般为| z |>| a |，序列 f (k)与其单边 z 变换F(z)一一对应。 7.1 z 变 换