课时授课计划（教案）四川工商学院授课班次与时间：班次时间课题名称：第3章连续信号与系统的频域分析教学重点、难点和教学方法设计：本章重难点（1）利用傅里叶变换的定义式和傅里叶变换的性质，求信号的正、反傅里叶变换，以及一些特殊的积分。（2）利用傅里叶变换法，求解系统，在激励信号作用下的响应。（3）信号在传输过程中不产生失真（幅度失真和相位失真）的条件抽样信号与抽样定理。教学方法本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点内容，课堂概念+例题分析+课后作业。说明：、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明：新课内容小结：作业布置：后记二、课时授课计划（教案）以一次课（2学时）为单元编写，每一单元有一首页三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边四、青年教师需提供板书设计（最后）年月日第页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 授课班次与时间： 班 次 时 间 课题名称： 第 3 章 连续信号与系统的频域分析 教学重点、难点和教学方法设计： ⚫ 本章重难点 （1）利用傅里叶变换的定义式和傅里叶变换的性质，求信号的正、 反傅里叶变换，以及一些特殊的积分。 （2）利用傅里叶变换法，求解系统，在激励信号作用下的响应。 （3）信号在传输过程中不产生失真(幅度失真和相位失真)的条件， 抽样信号与抽样定理。 教学方法 本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点 内容，课堂概念+例题分析+课后作业。 说明： 一、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明；新课内容小结；作业布置；后 记 二、课时授课计划（教案）以一次课（2 学时）为单元编写，每一单元有一首页 三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边 四、青年教师需提供板书设计（最后）
课时授课计划（教案）四川工商学院教学主要内容：3.1信号的正交分解一、正交矢量1、数学定义：两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直（如图所示）。平面空间两个矢量正交的条件是：V1·V2=02、正交矢量分解将一个平面中任意矢量在直角坐标系中分为两个正交矢量的组合。V=C1V1+C2V2。C3V3V1C2V2V3SV2CINiVioV2810ViCiViC2V2)V2同理，对一个三维空间中的矢量必须用三维的正交矢量集表示，即V=c1V1+c2V2+c3V3其中V1、V2、V3两两正交。依次类推，在n维空间中，任一矢量必须用n维正交矢量集来表示，即V=cii+c2+.+c.-Zc.i=1二、正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解也就是时间函数的分解。仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。1、正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在（tl，t2）区间上的两个函数，若在（tl，t2）区间上有"(0);(0)d=0 则称 f1(t)和 r 2(t)在 (t1 ,t2 )内正交。2、正交函数集设一函数集(g(0)=(g(0),g;(0).g%(),t ()，若["g,(0g)(0)dt=(&/j, j=1,2,3...N则称(g(t)为正交函数集，te(ti,t2）当Ki=1时，称为归一化正交函数集。3、完备的正交函数集如果在正交函数集之外，找不到另外一个非零函数与该函数集中的每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。对于完备正交函数集，有两个重要定理。定理1设（gi(t)）在（t1，t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为（g（t)）的线性组合，即年月日第备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 教学主要内容： 3.1 信号的正交分解 一、正交矢量 1、数学定义： 两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直（如图所示）。平面空间两 个矢量正交的条件是：V1·V2＝0 2、正交矢量分解 将一个平面中任意矢量在直角坐标系中分为两个正交矢量的组合。V=C1V1+C2V2。 同理，对一个三维空间中的矢量必须用三维的正交矢量集表示，即 V=c1V1+c2V2+c3V3， 其中 V1、V2、V3 两两正交。 依次类推，在 n 维 空 间 中 ，任 一 矢量 必须 用 n 维 正 交矢 量集 来表示，即 1 1 2 2 1 n n n i i i V c V c V c V c V = = + + + = 二、正交函数与正交函数集 正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的 分解也就是时间函数的分解。仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。 1、正交函数 设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两个函数，若在（t1 ,t2 )区间上 有 2 1 1 2 ( ) ( ) 0 t t f t f t dt = 则称 f 1(t)和 f 2(t)在（t1 ,t2 )内正交。 2、正交函数集 设一函数集 g t g t g t g t t t t ( ) ( ), ( ),., ( ) , ( , ) = 1 2 1 2 N ， 2 1 * 0 ( ) ( ) , 1,2,3 i t i j i j k i j t g t g t dt i j N 若 = = = 1 2 则称 g(t) ( , ) 为正交函数集，t t t 当 Ki=1 时，称为归一化正交函数集。 3、完备的正交函数集 如果在正交函数集之外，找不到另外一个非零函数与该函数集中的每一个函数都正交， 则称该函数集为完备正交函数集。 对于完备正交函数集，有两个重要定理。 定理 1 设｛gi (t)｝在(t1 , t2 )区间上是关于某一类信号 f(t)的完备的正交函数集，则这 一类信号中的任何一个信号 f(t)都可以精确地表示为｛gi (t)｝的线性组合， 即
课时授课计划（教案）四川工商学院f(t)=Ecg,(0) (t1,t2)(3. 1-14)[" f(t)gi (t)dt式中，ci为加权系数，且有℃[lg,()dt式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，Ci称为傅里叶系数。定理2（帕塞瓦尔定理）在式(3.1-14)条件下，有I(o)di=』" cig;(t) di该式可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒三、常见的完备正交函数集(1）三角函数集(cosn21,sinn20,12)基本周期：T=2Ⅱ/Q，正交区间（tO，tO+T）。是完备的正交函数集。cos n2t.cos m2tdt = (o/2T/2正交性：sinnQt sin mQidt=(f/2 "" cos n sin nidt (8 ..完备性：无穷函数集。ojnQt=0,±1(2)指数函数集（基本周期：T=2Ⅱ/Q，正交区间（tO，tO+T）。是完备的正交函数集。[+ emu (em) dt -f'o+f ej(a-m) dt = (0 "正交性：完备性：无穷函数集3.2周期信号的傅立叶级数分解一、周期信号的三角级数分解1、周期信号的描述若连续时间信号f(t)在（-αo，）区间，以T为周期，周而复始地重复再现，则称信号f(t)为周期信号，其表达式是f(t)=f(t+kT）(k=0,±,)2、狄里赫利（Dirichlet）条件年月日第 备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 1 2 ( ) ( ) ( , ) i i i f t c g t t t = (3.1-14) 式中，ci为加权系数，且有 2 1 2 1 * 2 ( ) ( ) ( ) t i t i t i t f t g t dt c g t dt = 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为 广义傅里叶级数，ci 称为傅里叶系数。 定理 2（ 帕塞瓦尔定理）在式(3.1-14)条件下，有 2 2 1 1 2 2 ( ) d ( ) d t t i i t t i f t t c g t t = 该式可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。 三、常见的完备正交函数集 （1）三角函数集 cos ,sin n t n t n=0,1,2. 基本周期：T=2л/Ω,正交区间（t0 ，t0+T）。是完备的正交函数集。 正交性： 0 0 0 / 2 cos cos t T m n T t m n n t m tdt + = = 0 0 0 / 2 sin sin t T m n T t m n n t m tdt + = = 0 0 0 0 cos sin t T m n t m n n t n tdt + = = 完备性：无穷函数集。 (2)指数函数集 0, 1, 2. jn t n e = 基本周期：T=2л/Ω,正交区间（t0 ，t0+T）。是完备的正交函数集。 正交性： ( ) ( ) 0 0 0 0 * 0 t T t T m n jn t jm t j n m t T t t m n e e dt e dt + + − = = = 完备性：无穷函数集 3.2 周期信号的傅立叶级数分解 一、周期信号的三角级数分解 1、周期信号的描述 若连续时间信号 f(t)在（-∞，∞）区间，以 T 为周期，周而复始地重复再现，则称信 号 f(t)为周期信号，其表达式是 f t f t kT ( ) ( = + ) ( 0, 1, ) = k 2、 狄里赫利（Dirichlet）条件
课时授课计划（教案）四川工商学院数学已经证明，周期为T的任一周期信号分解成傅里叶级数形式，就必须在任一区间【t，t+7]内，满足狄里赫利（Dirichlet）条件：f(t)ldt <8(1)在一个周期内信号是绝对可积的，即2）在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些点处的函数值必须是有限值(3)在一个周期内只有有限个最大值和最小值上述条件中，条件（1）是充分条件但不一定是必要的，且任一有界的周期信号都能满足这一条件：条件（2）、（3）是必要条件但不是充分的。3、三角型傅里叶级数f(t)=a+)E(a, cosnot + b, sinnot)= Ao+)A, cos(no,t +p,)式中，傅里叶系数为：ao=J。f(t)dta, =J。 f(t)cos no,tdtn = 1,2,...b. = J F(t)sin no,tdtn= 1,2,...buA= ao,A, = a, +b,,p, = -arctan(an说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：α=A →直流分量cosot,sinot→基波分量cosnot,sinnot→n次谐波分量该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。3.a，A,为n的偶函数，b,,为n的奇函数。a, = a-n,A, = An;b, =-b-n,Pn =-@-n4.当该周期函数为偶函数时，bn=0，展开式只含直流及cosnot分量当该周期函数为奇函数时，ao=an=0，展开式只会含sinnot分量年月日第页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 数学已经证明，周期为 T 的任一周期信号分解成傅里叶级数形式，就必须在任一区间 [t，t + T]内，满足狄里赫利（Dirichlet）条件： (1)在一个周期内信号是绝对可积的，即 2 2 ( ) T T f t dt − (2) 在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些点处的函数值必须是有限值 (3)在一个周期内只有有限个最大值和最小值 上述条件中，条件（1）是充分条件但不一定是必要的，且任一有界的周期信号都能 满足这一条件；条件（2）、（3）是必要条件但不是充分的。 3、三角型傅里叶级数 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 0 2 1 0 2 2 0 0 ( cos sin ) cos( ) ( ) ( )cos 1, 2, ( )sin 1, 2, , , arctan( ) ( ) n n n n n n T T T n T T n T n n n n n n a n t b n t A A n t a f t dt a f t n tdt n b f t n tdt n b A a A a b a f t a = = + + = + + = = = = = = = + = − = 式中，傅里叶系数为： 说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的正（余）弦函数或分量的 线性组合。具体有： 该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。 3. 4.当该周期函数为偶函数时，bn＝0，展开式只含直流及 当该周期函数为奇函数时，a0＝an＝0，展开式只会含 0 0 a A t t = → → 直流分量cos ,sin 基波分量 cos ,sin n t n t n → 次谐波分量 , , , ; , . n n n n n n n n n n n n a A n b n a a A A b b = = = − = − − − − − 为 的偶函数， 为 的奇函数。 cos n t 分量 sin n t 分量
课时授课计划（教案）四川工商学院例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。力周期：TT2Ⅱ/幅度：E宽度：TT0+解：因为f(0)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量-a-号--LEcosnotdt-6anT2TTJ24E2EFjicos natdtcosnatdtTJT4E14EnGYLIMsinsinnat0TT2nono4E2EnotnasinSn2T2n-2RnR二、指数型傅里叶级数F,e jnorf(t)=M式中，傅里叶系数为：F, = +{ f(t)e-jno"dt比较傅立叶级数的两种展开式，得：A。=α=2F1令A.=AheJenA,=2|F,l)考虑到h,-1F,le%>统一表示为A=2F,Pn=pn结论：fr(t)= ao +E(a, cosno,t+b, sin no,t)iel= A, +ZA, cos(no,t + p,)= Z F,emo22|F,|cos(not +9.)=2F +例题同上年月日第页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 二、指数型傅里叶级数 1 2 1 2 1 ( ) ( ) T T jn t n n jn t n T F e f t e dt f t F =− − − = = 式中，傅里叶系数为： 比较傅立叶级数的两种展开式，得： 结论： 例题同上 A a F 0 0 0 = = 2 2 n n 2 n j n n n j n n n n n A F A A e F F e A F = = = = 令 ＝ 考虑到 统一表示为 0 1 1 1 ( ) ( cos sin ) T n n n f t a a n t b n t = = + + 0 1 1 cos( ) jn t n n n n n A A n t F e = =− = + + = 0 1 2 2 cos( ) n n n F F n t = = + +
课时授课计划（教案）四川工商学院112jnar-e-yrE2E1E.e-modt='e-Iney=11I2T2jTnoT-jno122E sin()Et sin()EtSa(not)TTqT2nosinx其中：Sa(x):如下图称为“取样”函数x Sa(r)333o其性质：①偶函数②limSa(x）=1Sa(k元)=0,k =±1,+2..元3Sa(x)=元( Sa(x)dx =[ Sa(x)dx23.3周期信号的频谱与功率、ff(t)的频谱f(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。各谐波分量的角频率nの是基波角频率的n倍且有不同的振幅和相位，均由傅立叶系数反映出来。为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅及相位随变化的曲线称其为频谱图。频谱图中谐波分量的振幅随频率变化的关系称为振幅谱，简称频谱，是今后研究的重点。谐波分量的相位随频率变化的关系称为相位谱。频谱特点为：频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即离散性频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现，即谐波性.频谱中各谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减，即收敛性二、f(t)的功率设f（t)为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：112(t)di(nQr+15/2年月日第备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 lim ( ) 1 ( ) 0, 1, 2. 0 = = = → Sa x Sa k k x 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 = = = − − Sa x Sa x dx Sa x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 2 2 sin( ) sin( ) ( ) 2 n n j j jn t jn t n n n n E E e e F E e dt e T T jn Tn j E E E n Sa T n T T − − − − − = = = − = = = x x Sa x sin 其中： ( ) = 如下图 称为“取样”函数 其性质：① 偶函数 ② ③ 3.3 周期信号的频谱与功率 一、fT(t)的频谱 fT(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。各谐波分量的角频率 nω 是 基波角频率ω的 n 倍且有不同的振幅和相位，均由傅立叶系数反映出来。 为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅及相位随ω变化的曲线称其 为频谱图。频谱图中谐波分量的振幅随频率变化的关系称为振幅谱，简称频谱，是今后研 究的重点。谐波分量的相位随频率变化的关系称为相位谱。 频谱特点为： 频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即离散性 频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现，即谐波性 频谱中各谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减，即收敛性 二、fT(t)的功率 设 fT(t)为实信号在 1 欧姆电阻上消耗的平均功率为: 2 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) T T T T P f t dt f t dt T T T T T T T jn t F e dt n T T T n T T j n t F e dt n n T T n Fn T n P f t dt − = = − − = − =− + = − =− = =− =
课时授课计划（教案）四川工商学院所以，周期信号时域功率=频域信号功率之和-一帕塞瓦儿恒等式。3.4非周期信号的分解傅立叶变换周期信号分解的数学工具是傅立叶级数；非周期信号分解的数学工具是傅立叶变换1、从傅里叶级数到傅里叶变换Alx(t)周期信号与非周期信号的关系Atx(t)5将周期信号升()转换成博里叶级数对上式两边在T→时取极限，可得f,()-F(mo)ema1-[ rema jerdo则上式方括号中的部分为F(mo)=fr(tedTrF(o)=(0)e-ma=FL(0)nr.0enale:. f()- ()=F(o)e-rdo=F"[F(o)]21m200a傅里叶变换对f+F(o)2、傅立叶变换频谱函数F(o)一般为复函数，可写为F()=|F(o)le()式中|F(Ga)---FGje)的模，表示信号f(t)中各频率分量的相对大小，称为信号的幅频特性；y()---F(jo)的幅角，表示信号f（t)中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性。3、傅立叶变换存在的条件：f(t)| dt T/2Csin(T)F(w)f(t)e-ardt Eerde-()EtO年月日第备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 所以,周期信号时域功率=频域信号功率之和-帕塞瓦儿恒等式。 3.4 非周期信号的分解 一、 傅立叶变换 周期信号分解的数学工具是傅立叶级数; 非周期信号分解的数学工具是傅立叶变换. 1、从傅里叶级数到傅里叶变换 0 t A x(t) 0 t xT (t) A T 周期信号与非周期信号的关系： ( ) lim ( ) T T f t f t → = / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 jn t T n T jn t T T T jn t jn t T T T n T jn t jn t T T n f t F n e F n f t e dt T f t f t e dt e T f t e dt e =− − − − − =− − − =− = = = = 将周期信号 ( )转换成傅里叶级数 其中 T f t 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) F[ ( )] 1 ( ) ( ) F [ ( )] 2 j t j t j t j t f t f t e dt e d F f t e dt f t f t F e d F − − − − − − − → = = = = = 对上式两边在 T 时取极限，可得 则上式方括号中的部分为 傅里叶变换对 f t F ( ) ( ) 2、傅立叶变换 频谱函数 F( ) 一般为复函数，可写为 ( ) ( ) ( ) j F F e = 式中 F j F j ( ) ( ) −−− 的模,表示 信号 f(t)中各频率分量的相对大小，称为信号的幅频特性； ( ) ( ) −−− F j 的幅角，表示 信号 f(t)中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性。 3、傅立叶变换存在的条件： f t( ） 信号是绝对可积的，即 f t dt ( ) − 二、常用非周期信号的频谱 1、矩形脉冲的频谱
课时授课计划（教案)四川工商学院因为sin()Sa(),(称 Sα(t)为抽样函数)T所以F(a)=-ErSa()这样，矩形脉冲信号幅度谱和相位谱分别为[F(o)]=EtSa()],当(4元)/t0时，其相位为零，当F(w）<0时，其相位为元，如图（b）所示。nF()F(a)ti<t23/2E發(a)(b)(c)由此可见，虽然在时域里矩形脉冲信号集中在有限的时间范围内，然而它的频谱却以Sa的变化规律，分布在无限宽的题率范围内。但是主要的信号能景2元集中在0～的范围内，也就是f=0~一范围内，因而通常认为这种信号占有I频率范围B，近似为一，即B,，如图（b)所示。2、冲激函数的频谱3、常数的频谱年月日第备课日期：页
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 2、冲激函数的频谱 3、常数的频谱
课时授课计划（教案）四川工商学院一个常数总可以把它看成一个宽度无限大的矩形脉冲，即f(t)E=limfi(t),{E当1t≤t/2fi(t)=10当|t|>t/2F(w)limfi(t)edtfi(t)e-rdtlim[s(]=limErar2[s()L2元Elimm2xar2=2元E8(w),所以E-2元E8().可知，常数E的傅立叶变换是一个冲激函数，其物理意义十分明显，常数信号可以看成直流信号，在频域中只含有=0的频率分量，不含有任何其他谐波分量，所以類谱函数必然含有8()。年月日第 备课日期：页
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课时授课计划（教案）四川工商学院...序号时间函数)频谱函数F(ja)8(c)1-8(w)+12e(e)ja21.三3sgn(t) me(t) -e( -t)42m8(0)15e"e(1)α+ ja2α6e-atle(c)+017te-"e(t)(α +ja)e8cos(t)[8(+w) +8(-w)]9sin(o,t)jm[8(0,)-8(w-w))wo10e-0'sin(wgt)e(t)(α+ja)+a)ia号(8(+)+8(-0)+11cos(wet)e(t)-012sin(wot)e(t)号[8(α-0) -8(0+0) ++w-0213rs(%)8,(0) =(#+号) -e(t号)s()14Ca()-[(α+号)-(t-)8,(0) - 2 8(t-nn)8(w-n0),0-015n>重要结论：（1）非周期信号的频谱是连续频谱；（2）时间有限，频域无限：（3）信号的脉冲宽度越窄，则信号的带宽越宽：（4）绝大多数的信号集中在低频分量。3.5傅立叶交换性质、定理傅立叶变换建立了时间函数和频谱函数之间的转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解，因此有必要讨论傅立叶变换的基本性质。若f(t) <F(の),f()<→F(の)一、线性则af()+a()aF(の)+aF(の)例：利用傅立叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。年月日第页备课日期：
四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 重要结论： （1）非周期信号的频谱是连续频谱； （2）时间有限，频域无限； （3）信号的脉冲宽度越窄，则信号的带宽越宽； （4）绝大多数的信号集中在低频分量。 3.5 傅立叶交换性质、定理 傅立叶变换建立了时间函数和频谱函数之间的转换关系。在实际信号分析中，经常需要 对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解，因此有必要讨 论傅立叶变换的基本性质。 一、线性 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t F f t F a f t a f t a F a F + + ， 则 若 例：利用傅立叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数