《信号与系统》课程电子教案（PPT课件，西电版）第4章 连续系统的s域分析

第四章连续系统的5域分析信号与系统电子教紫第四章 连续系统的S域分析4.1 拉拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换收敛域(单边)拉普拉斯变换I4.2 拉普拉斯变换的性质4.3 拉普拉斯变换逆变换复频域分析4.4微分方程的变换解系统函数1系统的s域框图四、电路的s域模型点击日录一，进入相关意节BACK第5-1页

信号与系统 第5-1页 ■ 电子教案 第四章 连续系统的s域分析 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录 ，进入相关章节 第四章 连续系统的s域分析

信号与系统电子教紫系统微分方程的S域解4.5电路的s域求解4.64.7连续系统的表示与模拟系统函数与系统特性4.8第5-2页

信号与系统 第5-2页 ■ 电子教案 4.5 系统微分方程的S域解 4.6 电路的s域求解 4.7 连续系统的表示与模拟 4.8 系统函数与系统特性

信号与系统电子教紫频域分析以虚指数信号ejot为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s= c+j,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第5一3页

信号与系统 第5-3页 ■ 电子教案 频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e 2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换

信号与系统电子教紫接普搭斯变换4.1一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅单叶变换困难为此，可用一衰减因子e-t(α为实常数）乘信号f(t)，适当选取α的值，使乘积信号f(t)e-t当t→oo时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-at的傅里叶变换存在。f(t)e-le-jo tdt=f(t)e-(o+jo) dtFb(α+jo)= F[ f(t) e相的傅里叶逆变换为-f" F,(o+ jo)ej o'dof(t) e-ot2元F,(α+ jo)e(a+jo)dの 令s=+ jo, d w=ds/j,有f(t)2元1第5-4页

信号与系统 第5-4页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e -t (为实常数）乘信号f(t) ，适当 选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t→∞时信号幅度趋近于 0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t=   −  +     ( ) e d 2 1 j t b F j Fb (+j)= ℱ[ f(t) e- t ]= f t t f t t t j t j t ( )e e d ( )e d ( )    − − +  − − − =       − + =  +      ( ) e d 2 1 ( ) ( j )t b f t F j 令s =  + j, d =ds/j，有

4.1拉善接斯变换信号与系统电子教紫F(s) = /f(t)e-st dt双边拉普拉斯变换对F,(s)estds-j82元F,(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fr(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）拉氏逆变换的物理意义f(t) = 2 Ja-j F(s)e"dsα-10= F(o)eat df + / 2|F(s)|eat cos[ot + p(s)]df利用拉氏变换，可将f(t)分解成众多复指数信号Aest或形如Aeαtcos[ot+o(s)信号的线形组合二、 收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的第5-5页

信号与系统 第5-5页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换   − − F s = f t e t st b ( ) ( ) d  +  −  = j j ( ) e d 2 j 1 ( )    f t F s s st b 双边拉普拉斯变 换对 Fb (s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb (s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的 拉氏逆变换的物理意义 1 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos[ ( )] j st j j t t f t F s e ds F e df F s e t s df           + + −  = = + +      + 利用拉氏变换，可将 st f(t)分解成众多复指数信号Ae 或形如 cos[ ( )] 信号的线形组合。 t Ae t s

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在c的取值范围称为F,(s)的收敛域。下面举例说明F(s)收敛域的问题。例1因果信号f,(t)=eαtε(t)，求其拉普拉斯变换。e-(s-α)t-lime-(α-α)te-jo t解 Fit(s)=ee-stdt =-(s-α)>00αSjoRe[s] =α >αs-α:不定,L=α无界,α时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界第5-6页

信号与系统 第5-6页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例1 因果信号f 1 (t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lime e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d ( ) j 0 ( ) 0 1 t t t s t t s t b s s F s t        − − − →  − −  − − − = − − = =  1 , Re[ ] s s        −  =   =     不定, = 无界, 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 α 收敛边 收敛域 界 双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb (s)的收敛域。 下面举例说明Fb (s)收敛域的问题

4.1拉善斯变换信号与系统电子教紫例2 反因果信号f,(t)= eβte(-t)，求其拉普拉斯变换解e-(s-β)16- lim e-(α-β)te-jo t1SF2b(s) =dtee-(s-β)80Bt→ -00无界Re[s]=o.> β10不定g=β?1a<β-(s-β)可见，对于反因果信号，仅当B0Re[s]=o<β时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。第5-7页

信号与系统 第5-7页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f 2 (t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lim e e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d 0 ( ) j ( ) 0 2 t t t s t s t t b s s F s t        − − − → − − − − − − − − − = − − = =          − − = =  =        ， 不定 ， 无界 ( ) 1 , Re[ ] . s s 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 β

4.1接善接斯变换信号与系统电子教业例3双边信号求其拉普拉斯变换3t0e求其拉普拉斯变换解其双边拉普拉斯变换 F,(s)=Fbi(s)+Fb2(s)jo仅当β>α时，其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域,βa0如图所示第5-8页

信号与系统 第5-8页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。      = + = e , 0 e , 0 ( ) ( ) ( ) 3 1 2 t t f t f t f t t t   求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb (s)=Fb1(s)+Fb2(s) 仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。 σ jω α 0 β

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫例4求下列信号的双边拉氏变换，fi(t)= e-3t g(t) + e-2t g(t)f,(t)= - e -3t g(-t) - e-2t g(-t)fs(t)= e -3t g(t) - e-2t g(- t)11解f(t)- 2s+3S+211f2(t)<←→ Fz(s)Re[s]= <- 3s+3s +211f(t)←→F(s)3<g<-2S+ 2s+3可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。第5-9页

信号与系统 第5-9页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f 1 (t)= e-3t (t) + e-2t (t) f 2 (t)= – e -3t (–t) – e -2t (–t) f 3 (t)= e -3t (t) – e -2t (– t) 解 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 1 + + + → = s s f t F s Re[s]=  > – 2 2 1 3 1 ( ) ( ) 2 2 + + + → = s s f t F s Re[s]=  < – 3 2 1 3 1 ( ) ( ) 3 3 + + + → = s s f t F s – 3 <  < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，α，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换三、单边拉氏变换def简记为F(s)=[f(t)F(s) = ( f(t)e-st dtf(t)=f -1[F(s)]def或?0+10F(s)estds c(t)f(t)=2元f(t)<一→ F(s)o-1o第5-10页

信号与系统 第5-10页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标 原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换   − − = 0 def F(s) f (t) e dt s t( ) e d ( ) 2 j 1 ( ) j j def f t F s s t s t           =  +  −  简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1 [F(s)] 或 f(t)←→ F(s)