四川工商学院：《信号与系统》课程授课计划（教案）第4章 连续信号与系统的s域分析

课时授课计划（教案）四川工商学院授课班次与时间：班次时间课题名称：第4章连续信号与系统的s域分析教学重点、难点和教学方法设计：·本章重难点1、单边拉普拉斯正、反变换的求解；2、s域电路模型的画出；3、用单边拉普拉斯变换法求系统的各种响应；4、系统函数的求解，系统函数的应用，系统穆定性的判定。教学方法本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点内容，课堂概念+例题分析+课后作业。说明：、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明：新课内容小结：作业布置：后记、课时授课计划（教案）以一次课（2学时）为单元编写，每一单元有一首页三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边四、青年教师需提供板书设计（最后）年月日第页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 授课班次与时间： 班 次 时 间 课题名称： 第 4 章 连续信号与系统的 s 域分析 教学重点、难点和教学方法设计： ⚫ 本章重难点 1、单边拉普拉斯正、反变换的求解； 2、s 域电路模型的画出； 3、用单边拉普拉斯变换法求系统的各种响应； 4、系统函数的求解，系统函数的应用，系统穆定性的判定。 教学方法 本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法。对重点内容和难点 内容，课堂概念+例题分析+课后作业。 说明： 一、教案还应包含教具、幻灯、电化教学使用手段的说明；新课内容小结；作业布置；后 记 二、课时授课计划（教案）以一次课（2 学时）为单元编写，每一单元有一首页 三、教学内容，小结，作业布置，后记等书写在竖直线左边，其它内容书写右边 四、青年教师需提供板书设计（最后）

课时授课计划（教案）四川工商学院教学主要内容：4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子eot(a为实常数）乘信号f(t），适当选取α的值，使乘积信号f(t）。ot当t→>时信号幅度趋近于0，从而使f（t）e-ot的傅里叶变换存在。F(α+jo)-F[ f(t) e" - [ f(t)e-"'e-Ja dt = [" f(t)e-(a+jo)" dtf(t)e= F(α+jo)e/"'do f()=F(o+ jo)e(a+do令s=α+jo, d o=ds/j，,则有F(s)=f(t)e" dt[a+i" F(s)e"d sf(t)=:F(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为F(s）的双边拉氏逆变换（或原函数)。F(s)=f(n)e"d称为信号f（t)的单边拉氏变换说明：1、单边拉氏变换和傅氏变换是双边拉氏变换的特例：六F(a)e"ds，f(t)被分解为基本信号e”的连续和，绝对2、对拉氏逆变换的解释：由F(t)=F(s)ds振幅为2元二、双边拉普拉斯变换的收敛域存在条件：只要。大于某个值，使得limf()e"=0，则信号的拉普拉斯变换必然存在。把使f(t)拉氏变换存在α的取值范围称为F(s)的收敛域。例1f,(t)="s(t）（α）0），求其拉普拉斯变换。F(s)=J'eedt- +ay1-lime-(a+a)"e-jar(s +α) l0(s+α)1o[3+aRe[s]=α>-α不定，=-α无界，aα时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。年月日备课日期：第 時页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 教学主要内容： 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子 e -t ( 为实常数）乘信号 f(t) ，适当选取  的值，使乘积信号 f(t) e-t 当 t→∞时信号幅度 趋近于 0 ，从而使 f(t) e-t 的傅里叶变换存在。 - t ( ) - t ( ) F( +j )= [ f(t) e ]= ( )e e d ( )e d 1 1 f(t) e = ( )e d ( ) ( )e d 2 2 s = + j , d =ds/j ( ) ( ) d t j t j t j t j t st f t t f t t F j f t F j F s f t e t                         − − − + − −   + − −  − − = +  = + =     令 ，则有  F j j 1 ( ) ( )e d 2 j st f t F s s    +  −  =  F(s)称为 f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 F(s) 的双边拉氏逆变换（或原函 数）。 0 ( ) ( ) d st F s f t e t  − =  称为信号 f(t)的单边拉氏变换。 说明: 1、单边拉氏变换和傅氏变换是双边拉氏变换的特例； 2、对拉氏逆变换的解释：由 j j 1 ( ) ( )e d 2 j st f t F s s    +  −  =  ，f(t)被分解为基本信号 e st 的连续和，绝对 振幅为 1 ( )d 2 j F s s  二、双边拉普拉斯变换的收敛域 存在条件：只要  大于某个值，使得 - t lim ( ) e 0 t f t  → = ，则信号的拉普拉斯变换必然存在。 把使 f(t)拉氏变换存在  的取值范围称为 F(s)的收敛域。 例 1 f1 (t)= e -αt (t)（）0） ，求其拉普拉斯变换。 ( ) ( ) j 0 0 1 e 1 ( ) e e d [1 lime e ] ( ) ( ) , Re[ ] s t t st t t t s F s t s s s               − +  − −  − + − → + = = = − − + +  =  −  =    −   不定, =- 无界, 该题中 〉-α使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为 F(s)的收敛域。 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=> 时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示

课时授课计划（教案）四川工商学院例2反因果信号f,(t)=ePts(-t)，求其拉普拉斯变换。jo 4ee"d=-/e1[1-lime-(a-βe-jot](s):-(s - β) -(s- β)14无界，Re[s]=6.>β1a不定，G=β1gα，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、常用信号的拉普拉斯变换序号F(s)f(t)U(t)118(t)2s(t)-s3U(t)-4t45"(n为正整数）主6e-"t117te"t(r+a)2年月日备课日期：第页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 例 2 反因果信号 f 2 (t)= et (-t) ，求其拉普拉斯变换。 ( ) 0 e 1 0 ( ) j ( ) e e d [1 lim e e ] ( ) ( ) , Re[ ] . 1 ( ) s t t st t t t F s t s s s s               − − − − − − − − → − = = = − − − − −   =    = =      − −  无界 不定 ， ， 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]= ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、常用信号的拉普拉斯变换 σ jω 0 β

课时授课计划（教案)四川工商学院序号F(s)f()U(t)n]8et（n为正整数）(s+a)ati19e-s!+j4a10sinwt11coot12e"'sinot(s+e)"+sta13e" cosat(+a)+a2ws14tsinwt(+a))15tcowtF16shat17chet1Za(t-nr)181-e-"fS2mFo(s)191-1-e-*202[U(t-nT)-U(tT-)],T>+s(1-e-t)4.2单边拉普拉斯的性质与定理、线性性质若f,(t)→Fi(s）Re[s]>01 , f2(t)+-F2(s)Re[s]>0,则 aifi(t)+a2f2(t)--ajFi(s)+azF2(s) Re[s]>max(o02例f(t) =8(t) +(t)-1 +1/s,>021+2-5°+2s+10例: f(t)=e-e(t)+sin2t-ε(t) $+3 s° +4 (s+3)s* +4)二、时移（延时）特性若f(t）《--—-->F(s）Re[s]>o，且有实常数te>0，则 f(t-to)s(t-to)e-stoF(s) , Re[s]>oo例: es(t - 2) = e-2 . e-(t-2)e(t - 2) e-2 .e-2s年月日第 页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 4.2 单边拉普拉斯的性质与定理 一、线性性质 若 f 1 (t)←→F 1 (s) Re[s]> 1 , f2 (t)←→F 2 (s) Re[s]> 2 则 a 1 f 1 (t)+a2 f 2 (t)←→a 1 F 1 (s)+a2 F 2 (s) Re[s]>max( 1 , 2 ) 例 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0 2 3 2 2 1 2 2 10 ( ) ( ) sin 2 ( ) 3 4 ( 3)( 4) t s s f t e t t t s s s s   − + + = +   + = + + + + 例： 二、时移（延时）特性 若 f(t) F(s) , Re[s]>0, 且有实常数 t0>0 , 则 f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Re[s]>0   − − − − − + − =  −   -t 2 ( 2) 2 2 1 例： 1 e ( 2) ( 2) t s s t e e t e e

课时授课计划（教案）四川工商学院【例】求图所示各信号f(c）的单边拉普拉斯变换F(s)。表代)$)$八)-20-22Z6202401221(c)-(a)(b)【解】(a)f() = [U()—U(t—2)]+2[U(—2)-U(—4)]-U()—U(t-2)十2U(1-2)-2(-4)U(t)-(t—2)U(t-2)—2U(t-4)1-1-2-2.-F(s) =故得(b) f(t) =e*[U(t)-U(t-2)] = e-U(t)-e-U(t-2) =eU(t)-e-e--wU(t-2)1$fi-ex0-2故得F(s) =$+1(c)f(t) =t[U(t)-U(t-1)J+2e-(-)U(t-2) =tU()-U(t-1)+2e-(t—2)U(t-2)=tU() -(t-1)U(t-1) --U(t-1)+2e-(-U(t-2)1-1e"-1+2F(s) = --25故得2s+45三、复频移（s域平移）特性若f(t)-F(s)，Re[s)>，且有复常数 s=g+jog,则f(t)eSat→F(s-sa)Re[s]>00toa例：已知因果信号f(t)的象函数F(s)=+，求。-tf(3t-2)的象函数。s+12($+1)解：e"f(3t-2))(s+1)2 +9例：e-2t cos 3t <>(s+2)2+9e-2t sin 3t <>(s+2)2+9四、尺度变换若f(t)→ F(s),Re[s]>0’且有实数 a>0 |F(, Re[s]>a0则 f(at)年月日第 备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 三、复频移（s 域平移）特性 若 f(t) ←→F(s) , Re[s]> 0 , 且有复常数 s a = a +j a ,则 f(t)esat ←→ F(s-s a ) , Re[s]> 0 + a 例:已知因果信号 f(t)的象函数 2 ( ) 1 s F s s = + ，求 e -t f(3t-2)的象函数。 2 ( 1) -t 3 2 1 e f(3t-2) e ( 1) 9 s s s + − +  + + 解： 四、尺度变换 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]> 0 ，且有实数 a>0 ， 则 f(at) ←→ 1 ( ) s F a a ，Re[s]>a 0 + + + − + +   2 2 -2t 2 ( 2) 9 2 3 ( 2) 9 例： e cos 3 sin 3 s s t s t e t

课时授课计划（教案）四川工商学院五、时域卷积若()F(s), f(1)<>F(s),则有f()*f()oo,则f(t)→sF(s)=f(0~)f, (t) → s2F(s) - sf(0) -f' (0~)f@(t) s"F(s) -Zs"--" f(m)(0_)m=0若f(t)为因果信号，则r(n)(t)→s"F(s)例：：ε(t): 8(t) s . 1 - 8(0) = 18(t) 台 sS(n)(t) s"七、时域积分特性（积分定理）若f(t）F(s)（单边拉氏变换)，Re[s]>，则(1) f(-1)(t)=[ f(t)dt E) +1 f(-1)(0_)(2) f(-1(t)=[ f(t)dt Fe)结论要求f(-1)(t)的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0.证:", r(dt J (t)dthe"dt = r(r)dtest= ±e"f, f(r)dtt = 0=0 -+r(0)e"dt=F+17°f(t)dtf(-1)(t)的收敛域Re[s]>0或f(t)波形净面积为零时，结论（(1）成立；积分下限为0_时，结论2）成立。例求图（a)所示信号f(t)的单边拉氏变换。(f()Af(t)e(t)+y(t)(2)0-1)(a)(b)(c)解方法一由于f(t)a(t)=s(0)-E(t-1)F(s)=(0)=()6()-e")根据单边拉氏变换的定义，得年月日第 页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 五、时域卷积 1 1 2 2 1 2 1 2 若f t F s f t F s f t f t F s F s ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )     则有 六、微分定理 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0 - ) f’’(t) ←→ s 2 F(s) – sf(0 - ) –f’(0 - ) 若 f(t)为因果信号，则 f (n)(t) ←→ s n F(s)      −     − =   1 1 ' ( ) 例： ( ) ( ) (0 ) 1 ( ) ( ) s s n n t t s t s t s 七、时域积分特性（积分定理）       −      - 0 t t (-1) (-1) (-1) 1 F(s) s s - - 0 ( 1) F(s) s 若 f(t) F(s)(单边拉氏变换)，Re[s]> ，则 (1) f (t)= f( )d + f (0 ) (2) f (t)= f( )d 结论要求f t( )的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0.         − − − −   − − − − − −  − − − − − − − −  = =  = − = = +         1 0 0 1 1 0 0 ( ) 1 ( 1) - 证： ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 0 ( ) ( )的收敛域Re[s]>0或 ( )波形净面积为零时，结论（1）成立；积分下限为0 时，结论（2）成立。 t t t st st s t st st s s F s s s f d f d e dt f d de t e f d f t e dt t f t dt f t f t 例 求图 (a)所示信号 f(t)的单边拉氏变换。 解 方法一 由于 f t t t t ( ) ( ) ( ) ( 1)    = − − 根据单边拉氏变换的定义， 得 (1 ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] s e F s L f t L f t t s  − − = = 1 (n) n 1 ( ) 0 f (t) s F(s) (0 ) n n m m m s f − − − − =  —

课时授课计划（教案）四川工商学院方法二f(0)=-1，f(t)的一阶导数为t=28()-8(t-1)f(1) (t)的单边拉氏变换为 F(s)=LI"()]=2-e" Re [s] >-1-e-得 F(s)=L(0)=()二+2-stass八、S域微分dF(s)d"F(s)若 f(t) +→ F(S),Re[5]>00. 则 (-1)(0)-(-1)"f(0)←dsdsa例1：求t2e-2ts(t）的象函数-e-2tg(t) +→ 1/(s+2)所以 t2e-2tg(t) +解：ds(s+2($+2)九、S域积分f(t)J"F(n)dn若 f(t) → F(s), Re[S>00 则 十、初值定理若信号f(t)不包含冲激函数S(t)及其各阶导数，并且f(t)F(s)，则信号f(t)的初值为(0*)=limf()=limsF(s)十一、终值定理若f(t)在t-8o时极限f()存在，并且f(t)→F(s)Re[s] >00: -804.3拉普拉斯反变换直接利用定义式求反变换一复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开年月日第页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 方法二 f(0- )=-1，f(t)的一阶导数为 (1) f t t t = − − 2 ( ) ( 1)   f (1)(t)的单边拉氏变换为 (1) 1 ( ) [ ( )] 2 s F s L f t e− = = − Re［s］＞-∞ 得 1 (0 ) 1 2 1 ( ) ( ) [ ( )] s s f e e F s F s L f t s s s s s − − − − − − = = + = + = 八、S 域微分 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]> 0 , 则 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d n n n F s F s t f t t f t s s − → − → 例 1：求 t 2 e -2t (t) 的象函数 解： e -2t (t) ←→ 1/(s+2) 所以 t 2 e -2t (t) ←→ 2 2 3 d 1 2 ( ) d ( 2) s s s 2 = + + 九、S 域积分 若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]> 0 , 则 ( ) ( ) s f t F d t    →  十、初值定理 若信号 f(t)不包含冲激函数δ(t)及其各阶导数， 并且 f t F s ( ) ( )  ，则信号 f(t) 的初值为 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s + + → → = = 十一、终值定理 若 f(t)在 t→∞时极限 f(∞)存在，并且 f(t) ←→ F(s) Re［s］＞σ0 ; -∞＜σ0 ＜0 则 f(t)的终值为 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s → →  = = 2 2 2 2 0 0 ( ) cos ( ), (0 ) ( ) cos ( ) 1 1 ( ) [ ( )] ( 1) 1 ( 1) (0 ) lim ( ) lim 1 ( 1) 1 ( 1) ( ) lim ( ) lim 0 ( 1) 1 t s s s s f t e t t f f s t t s s F s L f t s s s f sF s s s s f sF s s   − + + → → → → =     + +  = = + + + = = = + + +  = = = + + 例： 求 和 解： 4.3 拉普拉斯反变换 直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开

课时授课计划（教案）四川工商学院若象函数F(s)是s的有理分式,可写为 F(a)-+b++hs+若m≥n（假s"+a.-,s"-l+..+a,s+a.分式），可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。D(s)$+8s*+25s*+31s+152s2 +3s +3F(s)= N(s)+A(s)例如F(s)== (s +2) +s+6s+11s+6s+6s+1ls+6下面主要讨论有理真分式的情形。A(s)=0 的所有根为单实根F(s)= B=+,K,K.]=e* (t)K, = (s-s,)F(s)-L'=+++A(s) S-SS-SS-s,S-S.例：已知F(s)=10($+2)s+5)求其逆变换s(s +1)(s + 3)解：部分分解法F(0)=≤+益+与$+1$+310(s+2)(s+5)_100其中k, =sF(s)l3(s + 1)(s+ 3) o10(s+ 2)(s + 5)k, =(s+1)F(s)/=20s(s + 3)10(s + 2)(s + 5)10k, = (s+3)F(s)l2s(s + 1)2010100.. F(s) =3ss+1 3(s+3)(10020e_ 10-. f(t)=e(0)34例：已知F(s)=+5°*+9s+7求其逆变换(s+1)(s+2)解：长除法F(s)s+2 s? +3s+2)s* +55?+9s+75 +352 +2s2s°+7s+725 +6s+45+3: F(s)=$+2+<+k$+1$+2S+3其中k,=(s+1).= 2(s + 1)(s + 2): F(s)=$+2+2.1$+1$+2: f(t)=8 (t)+28(0)+(2e-e-2)s(t)二、A(s)=0 具有共轭复根年月日第备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 若象函数 F(s)是 s 的有理分式，可写为 1 1 1 0 1 1 1 0 . ( ) . m m m m n n n b s b s b s b F s s a s a s a − − − − + + + + = + + + + 若 m≥n （假 分式）,可用多项式除法将象函数 F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。 ( ) ( ) ( ) ( ) D s F s N s A s = + 例如 4 3 2 2 3 2 3 2 8 25 31 15 2 3 3 ( ) ( 2) 6 11 6 6 11 6 s s s s s s F s s s s s s s s + + + + + + = = + + + + + + + + 下面主要讨论有理真分式的情形。 一、 A(s)=0 的所有根为单实根 1 2 1 1 2 ( ) 1 ( ) . . ( ) ( ) [ ] e ( ) ( ) i i i n s t i i s s i n i B s K K K K F s K s s F s L t A s s s s s s s s s s s  − = = + + + + + = − = = − − − − − 例： 10( 2)( 5) ( ) , ( 1)( 3) s s F s s s s + + = + + 已知 求其逆变换 1 2 3 1 0 0 2 1 1 3 3 3 ( ) 1 3 10( 2)( 5) 100 ( ) ( 1)( 3) 3 10( 2)( 5) ( 1) ( ) 20 ( 3) 10( 2)( 5) 10 ( 3) ( ) ( 1) 3 100 20 10 ( ) 3 1 3( 3) 100 ( ) 20e 3 s s s s s s k k k F s s s s s s k sF s s s s s k s F s s s s s k s F s s s F s s s s f t = = = − = − = − = − − = + + + + + + = = = + + + + = + = = − + + + = + = = − +  = − − + +  = − 解：部分分解法 其中 10 3 e ( ) 3 t t  t   −   −   例： 3 2 5 9 7 ( ) , ( 1)( 2) s s s F s s s + + + = + + 已知 求其逆变换 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 3 2 5 9 7 3 2 2 7 7 2 3 ( ) 2 1 2 3 3 ( 1) 2 1 ( 1)( 2) 1 2 1 ( ) 2 1 2 ( ) '( ) 2 ( ) (2e e ) ( ) s s t t F s s s s s s s s s s s s s s s k k F s s s s s s k s k s s s F s s s s f t t t t    = − = − − − + + + + + + + + + + + + +  = + + + + + + + = +  = = = − + + +  = + + − + +  = + + − 解：长除法 ６ ４ 其中 二、 A(s)=0 具有共轭复根

课时授课计划（教案）四川工商学院F(s)包含共轭复根时(S1.2=-α±jp)N(s)N(s)F(s) =[(s+α)’ +β](s+α-jβ)(s+α-jβ)K,K,s+α-jps+a+jK, =[(s +α- jβ)F(s)].-a+)β =K, /eJ ° = A+jBK, = Ki--1Klea+K,le-1oK,K,F(s)=s+α-is+α+iβs+α-iBs+α+iB则f(t)=2|K,le-αtcos(βt+0)(t)若写为K1,2=A±jB，fi(t)=2e-αt[Acos(βt)-Bsin(βt)］c(t)s2 +3求其逆变换例：已知F(s)=(s2 +2s+ 5)(s+2)52 +3kkzL.ko解：F(s)=(s +1+ j2)(s +1- j2)(s + 2))s+1j2s+1+ j2s+2Pi,2 =-α±jβ, (α=1,β= 2)s2 +3-1 + j2即ki,2=A±jB,(A=-其中k,=B=55(s+1+ j2)(s +2)+/25 +35(s +1+ j2)(s +1- j2)l1+i215+/71.:. F(s)=s+1+ j2s+1-j25(s+2)2B="α=lβ=2A5427Le-21cOs(2t)-sin(2t)|+: f()=c(0)12e51515三、A(s)=0 含有重根若A(s）=0在s=p处有r重根KiekirF(s)=(s-py(s-py-k, =(s-p,)F(s) s=Pki,r-I=[(s- p,)F(s)-Pk,= [(s-p)F(s)=,i=r,r-1,,1或者年月日第 备课日期：页

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 F(s)包含共轭复根时(S 1,2 = –±j) 2 2 1 2 j 1 1 2 1 j ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( j )( j ) j j [( j ) ( )] | | e j s N s N s F s s s s K K s s K s F s K A B K K                 =− + = = + + + − + − = + + − + + = + − = = + = j j 1 2 1 1 1 | | e | | e ( ) j j j j K K K K F s s s s s           − = + = + + − + + + − + + 则 f(t)=2|K1 |e-t cos(t+)(t) 若写为 K 1,2 = A ± jB，f 1 (t)= 2e- t[Acos(t)–Bsin(t)] (t) 例： 2 2 3 ( ) , ( 2 5)( 2) s F s s s s + = + + + 已知 求其逆变换 2 1 2 0 1,2 2 1 1 2 2 2 3 ( ) ( 1 2)( 1 2)( 2) 1 2 1 2 2 , ( 1, 2) 3 1 2 1 2 , ( , ) ( 1 2)( 2) 5 5 5 3 7 ( 1 2)( 1 2) 5 1 2 5 5 ( ) 1 2 s j s s k k k F s s j s j s s j s j s p j s j k A jB A B s j s s k s j s j j F s s j     =− + = − + = = + + + + + − + + − + + + = −  = = + − + = = =  = − = + + + + = = + + + − − + −  = + + + 1,2 ０ 解： 其中 即k 2 1 2 5 5 7 1 2 5( 2) 1 2 1, 2 , 5 5 1 2 7 ( ) 2e cos(2 ) sin(2 ) e ( ) 5 5 5 t t j s j s A B f t t t t    − − − + + − + = = = − =      = − − +         三、 A(s)=0 含有重根 若 A(s) = 0 在 s = p1 处有 r 重根 1 11 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( )! ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] , , 1, ,1 r r r r r i r i K k k s p s p s p r r d r s p s p ds d r i s p r i ds F s k s p F s s p F s k s p F s i r r − − − − − − − = = − =  = + + +    = − = −   =  − = −   1,r-1 k 或者

课时授课计划（教案）四川工商学院F(s) =S-pYS-PY-[k, =[(s- p)F(s)],i= 1,2,. rS-2例：已知F(s)=求其逆变换S(s+1)3kiki2kis+k2解：F(s)=(s+1)3(s+1)2(s+1)S令F(s)=(s+1)"F(s)= 5-2s5-2ds-(s- 2)-1其中ku=F(s)/==32ku:F(s)s?dss1 d?1 -4s[-2= 22F(s)k, = sF(s)-k,=2 ds22 s4(s+1))3222:. F(s) =(s +1)3(s+1)2(s+1)S3?e+2te+2e--2)e(0): f()4.4连续系统的S域分析（4.4-4.6）用拉普拉斯变换法分析LTI常系数线性微分方程时，有如下特点：(1)通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化；(2)系统的起始状态可以自动包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解；(3)用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，不必理出系统的微分方程，直接利用s域模型列写方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。微分方程的拉普拉斯变换解法例：设方程为y()+3y(t)+2y(t)=e-s()，已知(0_)=1,y(0_)=2，试求y()。解：对微分方程取拉普拉斯变换，并代入起始状态得y (t)+3y (t)+2y(t) = e-"c(t) =1, y (0_) = 2s?Y(s)- sy(0_)- y'(0_) + 3sY(s) -3y(0_) +2Y(s) =s+3(s +3$+2)(s)=$+5+=+8s+16S+3s+3s? + 8s +160.5-44.5Y(s) =(s+3)(s+1)(s+2)$+3s+2$+1:. y(t) =(4.5e- = 4e-" + 0.5e-")e(t)例：已知H(p)=3p+1//p +5p+6),()=e"c(),(0)=1, (0)=2,求y,()、y,(0)和(),年月日第页备课日期：

四川工商学院 备课日期： 年 月 日 第 页 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1)! ( ) [( ) ( )] , 1,2,. r r r i i k k k s p s p s p d r i s p i ds F s k s p F s i r − − − − − − − =  = + + +    =  − =  例： 3 2 ( ) , ( 1) s F s s s − = + 已知 求其逆变换 1 1 1 11 12 2 13 3 2 3 1 11 1 12 1 2 1 1 2 13 1 2 2 4 0 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( ) 2 ( 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 1 1 4 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( 1) s p s s p s s s s p k k k k F s s s s s s F s s F s s s d s s k F s k F s s ds s d s s k F s k sF s ds s s = =− = =− = = = − = + + + + + + − = + = − − −  = = = = = = − − = = = = = + 解： 令 其中 3 0 3 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 3 ( ) ( e 2 e 2e 2) ( ) 2 s t t t F s s s s s f t t t t  = − − − = −  = + + + + +  = + + − ３ ２ ２ ２－ １ 4.4 连续系统的 S 域分析（4.4-4.6） 用拉普拉斯变换法分析 LTI 常系数线性微分方程时，有如下特点： （1） 通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化； （2） 系统的起始状态可以自动包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解； （3） 用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，不必理出系统的微分方程，直接利用 s 域模 型列写方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。 一、 微分方程的拉普拉斯变换解法 例：设方程为 '' ' 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) t y t y t y t e t  − + + = ，已知 ' y y (0 ) 1, (0 ) 2 − − = = ，试求 yt() 。 解：对微分方程取拉普拉斯变换，并代入起始状态得 '' ' 3 ' 2 ' 2 2 2 2 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 1, (0 ) 2 1 ( ) (0 ) (0 ) 3 ( ) 3 (0 ) 2 ( ) 3 1 8 16 ( 3 2) ( ) 5 3 3 8 16 0.5 4 4.5 ( ) ( 3)( 1)( 2) 3 2 1 ( ) (4.5 4 0.5 ) ( ) t t t t y t y t y t e t y s Y s sy y sY s y Y s s s s s s Y s s s s s s Y s s s s s s s y t e e e t   − − − − − − − − + + = = = − − + − + = + + + + + = + + = + + + + − = = + + + + + + + +  = − + 2 , ( ) ( ), (0 ) 1, (0 ) 2, ( ) ( ) ( ). ( 5 6) t x f f t e t y y t y t y t p p  − − = = = − + + 例：已知 3p+1 ' H(p)= y 求 、 和