第6章 离散信号与系统的频域分析第6章离散信号与系统的频域分析周期信号的离散时间傅里叶级数6.1非周期信号的离散时间傅里叶变换6.236.3周期序列的离散时间傅里叶变换6.4离散时间傅里叶变换的性质6.5离散傅里叶变换(DFT)6.6 DFT的性质快速傅里叶变换(FFT)简介6.7 6.8离散系统的频域分析BACK
第6章 离散信号与系统的频域分析 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质 6.5 (DFT) 6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析
第6章 离散信号与系统的频域分析6.1周期信号的离散时间傅单叶级数第5章指出，如果离散信号(k)满足f(k)= f(k+ N)(6.1-1)若将所有周期为N的复指数信号组合起来，可以构成一个信号集：2元RjinNΦ,(k) =n = 0,±1,±2,:e(6.1-2)
第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 = = + k N j n n k e f k f k N 2 ( ) ( ) ( ) n = 0,1,2, 第5章指出，如果离散信号f(k)满足 若将所有周期为N的复指数信号组合起来，可以构成一个信号集： (6.1-1) (6.1-2)
第6章离散信号与系统的频域分析N是此信号集的基波周期，其基波频率为2元/N。在此信号集中，任一信号的频率为其基波频率的整数倍，因此它们之间呈谐波关系。与连续时间信号的复指数信号集（ejn2t)不同的是，信号集Φ(k)中只有N个信号是独立的。这是因为任何在频率上相差2元整数倍的复指数序列都是相同的。即2元2元j(n+rN)K-kjnNN(6.1-3)e=e从而有βo(k)=βn(k),i(k)=βN+1(k),..,n(k)=Pn+rN(k),其中r为一个整数。这表明在信号集Φ,(k)中当n变化一个N的整数倍时，就得到一个完全一样的序列
第6章 离散信号与系统的频域分析 k N k n N n r N 2 j 2 j( ) e = e + N是此信号集的基波周期，其基波频率为2π/N。在此信 号集中，任一信号的频率为其基波频率的整数倍，因此它 们之间呈谐波关系。与连续时间信号的复指数信号集｛e jnΩt｝ 不同的是，信号集Φn (k)中只有N个信号是独立的。这是因 为任何在频率上相差2π整数倍的复指数序列都是相同的。 即 从而有φ0 (k)=φN(k)，φ1 (k)=φN+1(k),.,φn (k)=φn+rN(k)，其中r 为一个整数。这表明在信号集Φn (k)中当n变化一个N的整数倍 时，就得到一个完全一样的序列。 (6.1-3)
第6章离散信号与系统的频域分析6.1.1离散时间傅里叶级数一周期为T的周期信号（(t)，若满足狄里赫利条件，则有F(n2) = =[ f(t)e-jiaidtT28ZF(nQ)ejin2if(t) =n=-00
第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1.1 离散时间傅里叶级数 一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有 j n t n T T j n t f t F n e f t e dt T F n =− − − = = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2
第6章 离散信号与系统的频域分析2元Q=式中，为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级T1、，将积分区间由TT数。若设其基波频率为fi=T22移到O～T，则上式可写为2元inF(nf)=Jdtf(t)e(6.1-4)T12元8in-TF(nfi)ef(t)=(6.1-5)n=-8
第6章 离散信号与系统的频域分析 式中， 为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级 数。 若设其基波频率为 ，将积分区间由 移到0~T，则上式可写为 T 2 = T f 1 1 = 2 ~ 2 T T − t T j n n T t T j n f t F nf e f t e dt T F nf 2 1 0 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) =− − = = (6.1-4) (6.1-5)
第6章离散信号与系统的频域分析DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周期T秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NT(T为采样间隔)。这样就得到一个数据序列(kT)，可以简记为(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔T隐含在(k)中。为了计算数据序列(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1－4)的符号作如下的演变：N-1°→T= NT,t→kT,dt→ T于是得到k=02元2元N-1N-11k-TN1-jnkNTNZf(k)eZf(k)eNFThNTnNk=0k=0(6.1-6)
第6章 离散信号与系统的频域分析 DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常 是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果 在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN (TN为 采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。 数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为 了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符 号作如下的演变： − = = → → → 1 0 0 , , , , N k T N N dt TN T NT t k T 于是得到 − = − − = − = = 1 0 1 2 0 2 ( ) 1 ( ) 1 N k kn N j N k N k T NT j n N n f k e N f k e T NT F N N (6.1-6)
第6章离散信号与系统的频域分析由上式可知，周期序列(k)的傅里叶级数仍为一数据序列F,，其基频f隐含在序数n中。由式(6.1一3)可知Fn+rN=Fn，即F,也是一个周期序列，于是式(6.1一6)可写为2元1Zf(k)eF(6.1-7)nNk=式中，k=《N》表示k只要从某一个整数开始，取足N个相继的整数值即可。例如，k可以由0取到N-1.也可以由2取到N+1，等等
第6章 离散信号与系统的频域分析 = − = k N kn N j n f k e N F 2 ( ) 1 (6.1-7) 由上式可知，周期序列f(k)的傅里叶级数仍为一数据序 列Fn，其基频f1隐含在序数n中。由式(6.1－3)可知Fn+rN =Fn， 即Fn也是一个周期序列，于是式(6.1－6)可写为 式中，k=〈N〉表示k只要从某一个整数开始，取足N个 相继的整数值即可。例如，k可以由0取到N-1,也可以由2取到 N+1，等等
第6章离散信号与系统的频域分析依据类似的分析思想，可由式(6.1一5)得到2元元knZNF.ef(k)=(6.1-8)nn=式(6.1一7)与式(6.1一8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1一7)称为DFS正变换，式(6.1一8)称为DFS反变换。与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，F称为离散傅里叶级数的系数，也称为(k)的频谱系数。通常F,是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当(K)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足F*= F(6.1-9)n-n
第6章 离散信号与系统的频域分析 式(6.1－7)与式(6.1－8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1 －7)称为DFS正变换，式(6.1－8)称为DFS反变换。 与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里 叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的 复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明 当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足 Fn = F−n * = = n N kn N j n f k F e 2 ( ) 依据类似的分析思想，可由式(6.1－5)得到 (6.1-8) (6.1-9)
第6章 离散信号与系统的频域分析6.1.2离散时间周期信号的频谱kN-N-N0N图6.1-1周期性矩形脉冲序列
第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1.2 离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列
第6章离散信号与系统的频域分析K≤N,1(6.1-10)f(k) =N102应用式(6.1－7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.17)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的，因此，宜选择一个对称区间，于是(K)的离散时间傅里叶级数系数为
第6章 离散信号与系统的频域分析 = 0 1 f (k) 2 1 1 N N k k N 应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级 数系数为 (6.1-10)