第二章连续信号与系统的时域分析信号与系统电子教紫第二章连续信号与系统的时域分析2.1连续时间基本信号2.5系统的零状态响应2.2卷积积分2.6系统响应的经典解法2.3系统的算子方程2.7完全响应的分解2.4系统的零输入响应BACK第2-1页
信号与系统 第2-1页 ■ 电子教案 第二章 连续信号与系统的时域分析 2.1连续时间基本信号 2.2卷积积分 2.3系统的算子方程 2.4系统的零输入响应 2.5系统的零状态响应 2.6系统响应的经典解法 2.7完全响应的分解 第二章 连续信号与系统的时域分析
2. 1连续时间基本信号信号与系统电子教紫2.1连续时间基本信号三种连续时间基本信号，分别用于连续信号与系统的时域、频域、和复频域分析。1.奇异信号单位冲激信号s(t),单位阶跃信号c(t)2.正弦信号也称为虚指数信号。f(t) = Acos(wt + β) = [ej(ot+9) + e-j(o+)式中A、の和?分别为正弦信号的振幅角频率和初相。f(t)是周期信号，其周期=2/a第2-2页
信号与系统 第2-2页 ■ 电子教案 2.1 连续时间基本信号 三种连续时间基本信号，分别用于连续信号与系统的 时域、频域、和复频域分析。 1.奇异信号 单位冲激信号(t),单位阶跃信号(t). 2.正弦信号 也称为虚指数信号。 ( ) cos( ) [ ] ( ) ( ) 2 + − + = + = + A j t j t f t A t e e ( ) . A 2 是周期信号，其周期 ＝ 式中 、 和 分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。 f t T 2.1 连续时间基本信号
2.1连续时间基本信号信号与系统电子教紫3.复指数信号f(t) = Aest设A=Aej,s=+ j0=[Ale/9 . e(α+j0) =|Ale e(o1+0)=Ale"[cos(ot+) + jsin( ot +)(b)(c)(a)g>0g<0g=0第2-3页
信号与系统 第2-3页 ■ 电子教案 2.1 连续时间基本信号 o t t o o t (a) (b) (c) [cos( ) sin( )] ( ) ( ) ( ) = + + + = = = + + Ae t j t Ae e Ae e f t Ae t j j t t j t s t = = + e s j j 设 A A , 3.复指数信号 0 0 = 0
2.2卷积积分信号与系统电子教紫2. 2卷积积分一、定义y(t)= f(t)* fz(t) = /fi(t)fz(t -t)dt信号,f(t),f,(t)和y(t)定义域:(-,8),t为积分变量,积分结果为另一个新的连续信号(t)二、图解机理用图形方式理解卷积运算过程，包括以下5个步骤：Stepl:换元。用t轴替换轴，画出f(t)f,(t)波形。Step2:翻转。将f,(t)绕纵轴翻转80，得到f,(-t)波形。它是f,(t-t)在t= O时刻的波形。第2-4页
信号与系统 第2-4页 ■ 电子教案 2.2 卷积积分 一、定义 − y(t) = f (t) f (t) = f ( ) f (t − )d 1 2 1 2 ( ). ( ), ( ) ( ) ( , ), 1 2 y t f t f t y t 积分结果为另一个新的连续信号 信号 和 定义域：− 为积分变量， 用图形方式理解卷积运算过程，包括以下5个步骤： 它 是 在 时刻的波形。 翻转。将 绕纵轴翻转 ，得到 波形。 换元。用 轴替换 轴，画出 、 波形。 ( ) 0 2 : ( ) 180 ( ) 1: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 − = − f t t Step f f Step t f f 二、图解机理 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫Step3:平移。f2(t-t)= f2[-(t -t)], 给定t= tk,在t>O时，将f2(-t)右移tk;在t<O时，将f(-t)左移tkl，得f2(tk一)。f2(tk-t)对应一确定得波形。Step4:相乘、积分。将f(t)与f2(tk-t)相乘得到被积函数，并计算该波形与轴围成的净面积求得卷积值y(tk)。Step5:令t,由一80一→8变化，重复第三四步,求得卷积结果y(t)。第2-5页
信号与系统 第2-5页 ■ 电子教案 2.2 卷积积分 对应一确定得波形。 在 时，将 左移 ，得 。 在 时，将 右移 平移。 ，给定 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ; 3: ( ) [ ( )] , 2 2 2 2 2 2 − − − − − = − − = k k k k k k k f t t f t f t t f t Step f t f t t t 求得卷积值 。 得到被积函数，并计算该波形与 轴围成的净面积， 相乘、积分。将 与 相乘， ( ) 4 : ( ) ( ) 1 2 k k y t Step f f t − 求得卷积结果 。 令 由－ 变化，重复第三四步， ( ) 5: y t Step t k →
2.2卷积积分信号与系统电子教紫三.卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。性质1.卷积代数满足乘法的三律：1. 交换律： fi(t)* fz(t) =fz(t)* fi(t)2. 分配律: fi(t)*[ f2(t)+ fs(t) =fi(t)* fz(t)+ fi(t)* fs(t3. 结合律: [fi(t)* f2(t)]* fs(t)] =fi(t)*[ fz(t) * fs(t)]第2-6页
信号与系统 第2-6页 ■ 电子教案 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1 (t)* f2 (t) =f2 (t)* f1 (t) 2. 分配律： f1 (t)*[ f2 (t)+ f3 (t)] =f1 (t)* f2 (t)+ f1 (t)* f3 (t) 3. 结合律： [f1 (t)* f2 (t)]* f3 (t)] =f1 (t)*[ f2 (t) * f3 (t)] 三. 卷积积分的性质 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质2.奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=o(t)*f(t) = f(t)证: S(t)* f(t)= /S(t)f(t-t)dt = f(t)f(t)*o(t -to) = f(t - to)2. f(t)*s'(t) = f'(t)证: 8 '(t)* f(t)=(s '(t)f(t-t)dt= f'(t)f(t)*s(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)= (f(t)e(t-t)dt = ( f(t)dtc(t) *(t) = te(t)第2-7页
信号与系统 第2-7页 ■ 电子教案 性质2.奇异函数的卷积特性 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： (t)* f (t) = ( ) f (t − )d = f (t) − f(t)*δ(t –t0 ) = f(t – t0 ) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： '(t)* f (t) = '( ) f (t − )d = f '(t) − f(t)*δ (n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t) − − = − = t f ( )(t )d f ( )d ε(t) *ε(t) = tε(t) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质3.卷积的微积分性质d" fi(t)d" fz(t)[f(t)* f2(t)]f2(t) = f(t)*dthdtn证: 上式=8(n)(t) *[fi(t)* f2(t)]= [s(n)(t) *fi(t)] * f2(t) = f;(n)(t) * f2(t)2. ['[f(t)* f;(t)]dt =[}" f(t)dt)* f,(t)= f(0)*[2(t)dt)证: 上式=ε(t) *[fi(t)* f2(t)]= [c(t) *fi(t) * f2(t) = fi(-1)(t) * f2(t)3. 在f(- 00)= 0或f(-1)(oo) = 0的前提下,fi(t)* f(t) = f '(t)* f,(-1)(t)第2-8页
信号与系统 第2-8页 ■ 电子教案 性质3.卷积的微积分性质 1. n n n n n n t f t f t f t t f t f t f t t d d ( ) * ( ) ( ) * d d ( ) ( ) * ( ) d d 2 2 1 1 1 2 = = 证：上式= δ (n)(t) *[f1 (t)* f2 (t)] = [δ (n)(t) *f1 (t)] * f2 (t) = f1 (n)(t) * f2 (t) 2. [ ( ) * ( )]d [ ( )d ]* ( ) ( ) *[ ( )d ] 1 2 1 2 1 2 − − − = = t t t f f f f t f t f 证：上式= ε(t) *[f1 (t)* f2 (t)] = [ε(t) *f1 (t)] * f2 (t) = f1 (–1)(t) * f2 (t) 3. 在f1 (– ∞) = 0或f2 (–1)(∞) = 0的前提下， f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫例1: fi(t) =1, f2(t) = e-tc(t), 求fi(t)* fz(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f(t)* fi(t)= [~e- e(t)dt=]。e-'dt=-e-| =1注意： 套用 fi(t)* f2(t) = fi'(t)* fz(-1)(t)= 0* f,(-1)(t)= 0 显然是错误的。fi(t)例2: fi(t) 如图, f2(t) = e-tc(t), 求fi(t)* f2(t)解法一: fi(t)* fz(t) =fi '(t)* fz(-1)(t)02tfi'(t) =s(t) -8 (t -2)f(-(t)= ["e-' e(t)dt= ['edt e(t) = -e|6 ·8(t)=(1-e")e(t)fi(t)* f2(t)=(1- e-t)e(t) - [1- e-(t-2)]e(t-2)第2-9页
信号与系统 第2-9页 ■ 电子教案 例1： f1 (t) = 1， f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2 (t)* f1 (t)= e ( )d e d e 0 1 0 = = − = − − − − 注意：套用 f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) = 0* f2 (–1)(t) = 0 显然是错误的。 例2：f1 (t) 如图, f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) ( ) e ( )d e d ( ) e ( ) (1 e ) ( ) 0 0 ( 1) 2 f t t t t t t t t − − − − − − = − = − = = f 1(t) 0 2 t 1 解法一： f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) f1 ’(t) =δ (t) –δ (t –2) f1 (t)* f2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2)]ε(t-2) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质4.卷积的时移特性若 f(t) = fi(t)* fz(t),则 fi(t-t)* f2(t -t2) = fi(t -ti -t2)* f2(t)= fi(t)* f2(t -ti-t2) = f(t -ti-t2)fi(t)前例： fi(t)如图,fz(t) =e-tc(t)， 求fi(t)* fz(t)解:fi(t) =ε(t) -ε(t-2)02fi(t)* fz(t)= ε(t) * fz(t) -ε(t -2) * fz(t)& (t) * fz(t)= f, (-1)(t)利用时移特性，有ε(t-2) * f2(t)= fz (-1)(t -2)fi(t)* f2(t)=(1- e-f)e(t) - [1- e-(t-2)]e(t-2)第2-10页
信号与系统 第2-10页 ■ 电子教案 解： f1 (t) =ε (t) –ε (t –2) f1 (t)* f2 (t)= ε (t) * f2 (t) –ε (t –2) * f2 (t) ε (t) * f2 (t)= f2 (-1)(t) 性质4.卷积的时移特性 若 f(t) = f1 (t)* f2 (t)， 则 f1 (t –t1 )* f2 (t –t2 ) = f1 (t –t1 –t2 )* f2 (t) = f1 (t)* f2 (t –t1 –t2 ) = f(t –t1 –t2 ) 前例：f1 (t) 如图, f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) f 1(t) 0 2 t 1 利用时移特性，有ε (t –2) * f2 (t)= f2 (-1)(t –2) f1 (t)* f2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2)]ε(t-2) 2.2 卷积积分