《高等数学》教案 习题课极限与连续 同济五版 习题课极限与连续 一、求极限方法 1、利用极限的四则运算法则： 2、利用无穷小与无穷大的关系： 3、利用两个重要极限： 4、利用等价无穷小代换定理： 5、利用初等函数的连续性： 6、利用极限存在准则： 注：分段函数在分段点的极限要使用左、右极限来讨论。 二、常见极限类型的求解方法 (先判断极限的类型，再使用相应的方法) 1、“0”型：等价无穷小代换，因式分解，有理化 0 2、“°”型：分子、分母同除分子、分母中的最大者 3、“∞-∞”型：通分，有理化 4、“1”型：利用第二重要极限 三、连续与间断 1、f(x)在x连续台f(x)在xo点既左连续，又右连续台Iimf(x)=f(xo) 2、间断点类型的判断 注：分段函数在分段点的连续性要使用左、右连续来讨论。 例1证明im2 =0 ∞X+3 正0.不3.因为后 所以.要使子2+3 -3 习题课极限与连续-1
《高等数学》教案 习题课 极限与连续 同济五版 习题课 极限与连续 - 1 习题课 极限与连续 一、求极限方法 1、利用极限的四则运算法则； 2、利用无穷小与无穷大的关系； 3、利用两个重要极限； 4、利用等价无穷小代换定理； 5、利用初等函数的连续性； 6、利用极限存在准则； 注：分段函数在分段点的极限要使用左、右极限来讨论。 二、常见极限类型的求解方法 常见极限类型的求解方法 （先判断极限的类型，再使用相应的方法） 1、“ 0 0 ”型：等价无穷小代换，因式分解，有理化 2、“ ∞ ∞ ”型：分子、分母同除分子、分母中的最大者 3、“∞ − ∞”型：通分，有理化 4、“ ∞ 1 ”型：利用第二重要极限 三、连续与间断 1、 f (x) 在 0 x 连续 ⇔ f (x) 在 0 x 点既左连续，又右连续 ⇔ lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 2、间断点类型的判断 注：分段函数在分段点的连续性要使用左、右连续来讨论。 例 1 证明 0 3 2 lim = x→∞ x + 证 ∀ε > 0，不妨设 x > 3，因为 3 2 3 2 0 3 2 − ≤ + − = x + x x 所以，要使得 − + ε x
《高等数学》教案 习题课极限与连续 同济五版 取X子+3.则当X有子3-e,所以 =0。 2 x%0x3 例2m子-=m+与中0+=e21=e2 x 3- x-3 x-3 221 或 r3 x-31 例3己知lim r+b=2,求常数a、b的值。 x1x-1 解 因为1im(x-)=0且limx+b =2,则必有im(ax+b)=0,故b=-a 1x-1 → 所以2=m=im2-a=0,则有a=2,6=-2 1x-1x1x-1 1 xsin 例4求f()=x的间断点，并判断间断点的类型。 x-1 解由于f(x)是初等函数，故在其定义区间(-∞，0)、(0,1)、L,+∞)上连续， x=0及x=1时f(x)无定义，所以x=0及x=1是f(x)的间断点。 因为1imf(x)=0,所以x=0是f(x)的第一类可去间断点， 若补充f(O)=0,则可使f(x)在x=0处连续。 因为imf(x)=∞，所以x=1是f(x)的第二类无穷间断点。 例5设f(x)= x+a,x≤2，问a为何值时，f()在(-，+四)上连续？ 3x-1,x>2 解x>2时，f(x)=3x-1是连续的，x<2时，f(x)=x+a也是连续的， 要使得f(x)在(-∞，+∞)上连续，只要f(x)在x=2处连续即可，即 1i2f()=f(2) lim f(x)=f(2) 424 习题课极限与连续一2
《高等数学》教案 习题课 极限与连续 同济五版 习题课 极限与连续 - 2 取 3 2 = + ε X ，则当 x > X 时，有 − ≤ − + = x x x x a f x ，问a 为何值时， f (x) 在(−∞ , + ∞) 上连续？ 解 x > 2 时， f (x) = 3x −1是连续的， x < 2时， f (x) = x + a 也是连续的， 要使得 f (x) 在(−∞ , + ∞) 上连续，只要 f (x) 在 x = 2 处连续即可，即 = = → + → − lim ( ) )2( lim ( ) )2( 2 2 f x f f x f x x
《高等数学》教案 习题课极限与连续 同济五版 f(2)=2+a,lim f (x)=lim(x+a)=2+a,lim f(x)=lim(3x-1)=5 1r32 K42- r42+ 室42+ 所以 2+a=2+a,解得：a=3,即a=3时，fx)在(-∞，+∞)上连续。 5=2+a1 例6设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a),证明在[0，a]内至少存在一 点5，使得f(5)=f(5+a)。 解构造辅助函数F(x)=f(x+a)-f(x),则F(x)在闭区间[O,a]上连续。 而F(0)=f(a)-f(0),F(a)=f(2a)-f(a=f(0)-f(a) 若f(0)=f(a),则在[0，a]内存在一点5=0，使得f()=f(5+a) 若f(O)≠f(a),则F(O)F(a)<0,故35∈(0，a),使得F(5)=0 即f(5)=f(5+a) 练习：1、求1im+上+马 300 nn 1 2、求 1 的间断点，并判断其类型。 1+e* 3、若lim x2+ax+b sin(x2 -1) =3,求a、b的值。 4、己知lim+ -ar-b)=0,求a、b的值。 x-x+1 5、证明x+e=0在(-1,1)内至少有一个实根。（能否证明有唯一实根？） 习题提示：P654P733、4、5 作业： P734 习题课极限与连续-3
《高等数学》教案 习题课 极限与连续 同济五版 习题课 极限与连续 - 3 由于 f )2( = 2 + a ， f x x a a x x = + = + → − → − lim ( ) lim( ) 2 2 2 ， lim ( ) lim 3( )1 5 2 2 = − = → + → + f x x x x 所以 = + + = + a a a 5 2 2 2 ，解得：a = 3，即a = 3时， f (x) 在(−∞ , + ∞) 上连续。 例 6 设 f (x) 在[0，2a]上连续，且 f )0( = f 2( a) ，证明在[0，a]内至少存在一 点ξ ，使得 f (ξ ) = f (ξ + a) 。 解 构造辅助函数 解 F(x) = f (x + a) − f (x)，则 F(x)在闭区间[0，a]上连续。 而 F )0( = f (a) − f )0( ， F(a) = f 2( a) − f (a) = f )0( − f (a) 若 f )0( = f (a)，则在[0，a]内存在一点ξ = 0，使得 f (ξ ) = f (ξ + a) 若 f )0( ≠ f (a) ，则 F )0( ⋅ F(a) < 0 ，故∃ξ ∈ ,0( a) ，使得 F(ξ ) = 0 即 f (ξ ) = f (ξ + a) 练习：1、求 n n n n ) 1 1 lim 1( 2 + + →∞ 2、求 x e 1 1 1 + 的间断点，并判断其类型。 3、若 3 sin( )1 lim 2 2 1 = − + + → x x ax b x ，求 a、b 的值。 4、已知 ) 0 1 1 lim( 2 − − = + + →∞ ax b x x x ，求 a、b 的值。 5、证明 + = 0 x x e 在(− ,1 )1 内至少有一个实根。（能否证明有唯一实根？） 习题提示： P65 4 P73 3、4、5 作业： P73 4