57-2虚位移和虚功理想约束 分析力学用把真实运动与在约束条件下的各 种可能运动进行比较的方法从中找出真实运动满 足的条件. 、虚位移 1、实位移=位移 满足动力学方程(牛顿第二定律)和初始条件 满足约束条件 经过时间间隔才能有位移 在d内质点的真实位秘只有一个 真实位移可以是有限,也可以是无限小F
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 一、虚位移 1、实位移 ＝位移 •满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件 t r • 经过时间间隔d 才能有位移d 在 t内质点的真实位移r只有一个 • d d •满足约束条件 r r •真实位移可以是有限大 ，也可以是无限小d 分析力学——用把真实运动与在约束条件下的各 种可能运动进行比较的方法, 从中找出真实运动满 足的条件
57-2虚位移和虚功理想约束 质点受完整约束,被限制在一个曲面上, 曲面方程为 ∫(x,y,z,)=0 在+d小时刻,质点坐标应满足 f(x+dx, y+dy, z+dz, t +dt)=0 △尸 泰勒级数展开并忽略高阶小量 f f(x,y, z, t)+dx+dy+dz+dt=0 是曲面的梯度,方向 般情况下,/≠0团沿曲面法线方向 Vd≠0实位移一般不在质点所在的妍面内
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 质点受完整约束, 被限制在一个曲面上， 曲面方程为 f (x, y,z,t) = 0 在t+dt时刻, 质点坐标应满足 f (x + dx, y + dy,z + dz,t + dt) = 0 泰勒级数展开并忽略高阶小量 ( , , , ) d d d d = 0 + + + + t t f z z f y y f x x f f x y z t 0 f r d 是曲面的梯度, 方向 一般情况下，f t 0 沿曲面法线方向 f dr 0 实位移 r一般不在质点所在的切平面内 d
57-2虚位移和虚功理想约束 2、虚位移 定义:质点在满足当时约束条件下一切可能的无限 小位移,称为该时刻质点的虚位移 “当时”,在某时刻讨论问题即虚位移是在一确定 时刻发生的,是不需要时间的 一切可能”,虚位移包括一切可能的无限小位移, 故有多个甚至无穷多个 “无限小”,虚位移是一级无穷小位移 虚位移通常用表示在直角坐标系电 δ=δxi+δv+δzk 6x,δy,。6z是δ在坐标轴上的投影称为坐标的变分
2、虚位移 定义：质点在满足当时约束条件下一切可能的无限 小位移, 称为该时刻质点的虚位移. •“当时”，在某时刻讨论问题.即虚位移是在一确定 时刻发生的，是不需要时间的. •“一切可能”，虚位移包括一切可能的无限小位移, 故有多个甚至无穷多个 . •“无限小”，虚位移是一级无穷小位移 . r xi yj zk δ = δ + δ + δ 虚位移通常用δr表 示,在直角坐标系中, • δx,δy,δz是δr在坐标轴上的投影,称为 坐标的变分 §7-2 虚位移和虚功 理想约束
57-2虚位移和虚功理想约束 质点在1时刻的虚位移应满足的方程是 f(x+x,y+y,z+8x,t1)=0 泰勒展开忽略高阶小量 f(x,y,=1)++例++, St=0 or 0 Vf·C 0 米 vf·δ=0 Vf⊥δF 质点的虚位移位于质点所在位置的曲面的切平面上 >定常约束中实位移是所有虚位移中的一个 >对于非定常约束虚位移所满足的方程和实位移所 满足的方程是根本不同的
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 1 t 质点在t1时刻的虚位移应满足的方程是 f (x + δx, y + δy,z + δz,t 1 ) = 0 泰勒展开,忽略高阶小量 ( , , , ) = 0 + + + + t t f z z f y y f x x f f x y z t 0 0 f r f δr = 0 f r ⊥ δ 质点的虚位移位于质点所在位置的曲面的切平面上. ➢定常约束中,实位移是所有虚位移中的一个. ➢对于非定常约束, 虚位移所满足的方程和实位移所 满足的方程是根本不同的
97-2虚位移和虚功理想约束 、虚功和广义力 1、虚功 定义:作用在质点上的F与质点任一虚位秘的标积, 称为此力在虚位秘》上的虚功 6W=F·δ 虚功有功的量纲,但没有能量转化过程与之联系 虚位移的多种可能导致虛功也有多种可能. 在分析力学中通常将相互作用力分为主动力和约束 力因此就存在着主动力的虚功和约束力的虚功 主动力的虚功
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 二、虚功和广义力 1、虚功 定义：作用在质点上的力F与质点任一虚位移r的标积， 称为此力在虚位移r上的 虚功 W F r δ = δ •虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系. •虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能. 在分析力学中, 通常将相互作用力分为主动力和约束 力. 因此就存在着主动力的虚功和约束力的虚功. 主动力的虚功:
57-2虚位移和虚功理想约束 设系统由质点组成对于第个质点F表示第个质点 受到的主动力之和F表示第个质点受到的被动力之 和,表示第个质点的虚位移则系统所有主动力的虚 功之和为三 6W=∑F.6 直角坐标的3n个坐标 不一定是独立的而个 设坐标变换方程为 广义坐标是独立的 (q1 5……以s 等时变分,O=0
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 功之和为 和 表示第 个质点的虚位移则系统所有主动力的虚 受到的主动力之和 表示第 个质点受到的被动力之 设系统由 质点组成 对于第 个质点 表示第 个质点 , , , , , r i F i n i F i i R i i i n i i W F r δ δ 1 = = 设坐标变换方程为 ( , ,..., , ) 1 2 r r q q q t i i s = 直角坐标的3n个坐标 不一定是独立的,而s个 广义坐标是独立的 i =1,2,...,n 等时变分, t = 0 i =1,2,...,n q q r r s i i δ δ 1 = =
57-2虚位移和虚功理想约束 δW=F ∑ 3=∑∑ a=1\i=1 广义力 ar Oa 6W=∑Q.n 2、广义力 n个质点=,2…n,个自由度,q1q12…,y,gs,a=1,2, ∑ 广义力 或g=∑F+F则+F a C
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 a s n i a i i q q r F δ 1 1 = = = q q r W F s i n i i δ δ 1 1 = = = 广义力 q r Q F i n i i = = 1 W Q q s δ δ 1 = = 2、广义力 n个质点,i=1,2,…n, s个自由度, q1 ,q2 ,…,q ,…qs , =1,2,…s q r Q F i n i i = = 1 广义力 = + + = n i i i z i i y i i x q z F q y F q x Q F 1 , 或
57-2虚位移和虚功理想约束 3、有势系下的广义力 主动力均为有势力的力学系统称为有势系 体系n个质点第个质点受到的主动力为 x,y, 2, 若V×F=0(=1,2,…,m)则此体系称为有势力系 这时体系对应势函数 或或 V=V(,t)i=1,2,…,n
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 3、有势系下的广义力 主动力均为有势力的力学系统称为有势系. 体系n个质点,第i个质点受到的主动力为 F F (x, y,z,t) i i = F 0 (i 1,2, ,n), i 若 = = 则此体系称为有势力系. 这时,体系对应势函数 ( , , , , ) 1 2 V V r r r t n = V V(ri ,t) i 1,2, ,n 或 = = 或 V =V(xi , yi ,zi ,t) i =1,2, ,n
57-2虚位移和虚功理想约束 体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的 负梯度 F y 2 将FF,F代入广义力的定义式中 i av Ox av Oy. avaz HOx, aqa Oy, aqa dz, aq C 这就是有势系广义力的表达式
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 将Fix,Fiy,Fiz代入广义力的定义式中 = + + = − n i i i i i i i q z z V q y y V q x x V Q 1 =1,2,..., s q V Q = − =1,2,..., s 体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的 负梯度 F V (i 1,2, ,n) i i = − = i ix x V F = − i iy y V F = − i iz z V F = − 这就是有势系广义力的表达式
97-2虚位移和虚功理想约束 三、理想约束 如果作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的 虚功之和为零即 ∑FRcb=0 则这种约束称为理想约束整体上的约束) 几个常见的理想约束的例子: (1)光滑的线、面 r 线、面静止,Ndz=0 N⊥8∴N.痧=0线、面运动,N≠0
§7-2 虚位移和虚功 理想约束 三、理想约束 如果作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的 虚功之和为零, 即 0 1 = = i n i Ri F r 则这种约束称为理想约束.(整体上的约束) 几个常见的理想约束的例子: (1)光滑的线、面 N i r i r i r N i N r ⊥ N ri = 0 N dri = 0 线、面静止，N dri 0 线、面运动