54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 1.运动方程的建立 弹簧产生的力矩为-c0 空气阻力为B(O+q)≈-B 重力产生力矩为m!s(+9)≈mlsn≈mg(0、O 6 倒摆的运动微分方程为 m1/(+)=-c6+ glair(b+q)-B2(6+q) m120+B70+(c-mgD)0+-mg10=m/222AcosQ2t
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 1.运动方程的建立 弹簧产生的力矩为 − c 空气阻力为 − l( + ) − l 重力产生力矩为 ) 6 sin( ) sin ( 3 mgl + mgl mgl − 倒摆的运动微分方程为 ( ) sin( ) ( ) 2 2 ml + = −c + mgl + − l + m l + l + c − mgl + mgl = m l Acost 6 1 ( ) 2 2 3 2 2
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 条件 c< mgl 2对方程进行无 量纲化 d e Bde mgl-c dt m dT 8 e3=AQ2 coS Q2T p=A cos S2t
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 2.对方程进行无 量纲化 条件: c mgl 2 2 2 d d d d ml mgl c T m T − + − A T l g + = cos 6 3 2
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 2.2=m!1-c ml →T0=1/2 在无驱动力时系统具有3个平衡位置 b=0 6c 0 O=±16 x mgl T因而有 t= 0 d o bdo mgl-c 6+363=A92cos9T dt m dT 6
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 2 2 0 ml mgl − c = 在无驱动力时系统具有3个平衡位置 = 0 mgl 6c 6 0 = − T0 =1 0 0 x = T0 T t = A T l g ml mgl c T m T + = − + − cos d 6 d d d 3 2 2 2 2 因而有
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 d'x b dx A Q x+x cos(t) dt2mQ。dt A Q O mo oi+a-x+x'=fcos at 受迫 Duffins g 对方程进行无量纲化的好处至少有 方程,两方面:(1)方程涉及的只是数量关 系;(2)更重要的是取不同的长度单 位和时间单位时,方程中各项系数的大 小不同,显示出不同景象
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 ( ) cos( ) d d d d 0 2 0 0 3 0 2 2 t A x x t x t m x − + = + 0 = m 0 = 2 0 0 ( ) = A f x x x x f cost 3 + − + = 受迫 Duffing 方程 对方程进行无量纲化的好处至少有 两方面:(1)方程涉及的只是数量关 系;(2)更重要的是取不同的长度单 位和时间单位时, 方程中各项系数的大 小不同,显示出不同景象
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 3数值计算的结果和对结果的分析 aX y dt =-6y+x 0.5 x+f cos at -0.5 (1)对初值的 敏感和李雅普 诺夫指数 10 20 40 50
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 3.数值计算的结果和对结果的分析 x f t y x t y y t x cos δ d d d d 3 + = − + − = (1)对初值的 敏感和李雅普 诺夫指数
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 由确定性方程产生的对初值敏感的现象通常称为 混沌现象 MAL 李雅普诺夫指数 (x0,10)=lm{h 相邻轨线 wo=Wore,+wo2e2 元()轨线
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 由确定性方程产生的对初值敏感的现象通常称为 混沌现象. 李雅普诺夫指数 } ( ) ln 1 ( , ) lim{ 0 0 0 w w t t x w t → = 0 01 1 02 2 w w e w e = + 1 2 ,
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 =lim -In 0=lim In t→>t Woll n→>0 n△t =lim -In t=lim In t→ 02 n0n△t 若两个指数中有一个为正,即表明相邻轨道的间距 具有平均指数发散的性质,轨道具有局部不稳定性 据此可判断运动为混沌运动 (2)关于分叉现象 C<mgl 单稳态一双稳态
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 ln } 1 } lim{ ( ) ln 1 lim{ 0 1 1 0 1 1 1 w w w n t w t t n t n = = → → ln } 1 } lim{ ( ) ln 1 lim{ 0 2 2 0 2 2 2 w w w n t w t t n t n = = → → 若两个指数中有一个为正,即表明相邻轨道的间距 具有平均指数发散的性质,轨道具有局部不稳定性, 据此可判断运动为混沌运动. (2)关于分叉现象 c mgl 单稳态 双稳态
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 V=-c04-mgl(1-cos 8) AL 02x -(1-1) +04 -mgl/ c 224 >1时平衡位置 11 O,2=±6 分叉点分叉现象 O
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 (1 cos ) 2 1 2 V = c − mgl − = mgl c 4 2 2 24 ( 1) = − − + c V 1 时平衡位置 0 1 = 6 6 2,3 = − 分叉点 分叉现象
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 A/rad (3)吸引子和奇怪吸 稳定 2 引子 双稳态两个稳定平衡位置0稳定/不稳定 0. 05152 稳定 2 4 倒摆运动轨道具有局 部不稳定性但由于系统 是耗散的相体积不断收 缩因而具有全局稳定性, 最终被吸引于奇怪吸引 2-1.5-1-0.500.511.52 x子附近
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 (3)吸引子和奇怪吸 引子 双稳态 两个稳定平衡位置 倒摆运动轨道具有局 部不稳定性, 但由于系统 是耗散的, 相体积不断收 缩, 因而具有全局稳定性, 最终被吸引于奇怪吸引 子附近
54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 吸引子是耗散系统演化的最后归宿或极限运动状态 由于耗散系统在演化过程中相体积是不断减少的,当 它演化至极限状态时将位于较低维数的区城.吸引子 可以是一个不动点具有零维,如线性阻尼振动的归宿; 吸引子可以是极限环具有一维如自激振动系统的归 宿这些吸引子称为平凡吸引子.奇怪吸引子是指耗散 系统混沌运动的归宿,它具有分数维数(维数的概念需 要推广)保守系统的混沌现象不能称为奇怪吸引子 4)混沌运动的功率谱是连续谱 混沌运动(非周期运动) 连续谱 周期运动 分立谱
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 吸引子是耗散系统演化的最后归宿或极限运动状态. 由于耗散系统在演化过程中相体积是不断减少的,当 它演化至极限状态时将位于较低维数的区域. 吸引子 可以是一个不动点, 具有零维, 如线性阻尼振动的归宿; 吸引子可以是极限环, 具有一维, 如自激振动系统的归 宿. 这些吸引子称为平凡吸引子. 奇怪吸引子是指耗散 系统混沌运动的归宿, 它具有分数维数(维数的概念需 要推广).保守系统的混沌现象不能称为奇怪吸引子. (4)混沌运动的功率谱是连续谱 周期运动 混沌运动(非周期运动) 连续谱 分立谱