54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 动力系统是一个广泛的概念它由状态(并给出描述 状态的量)和动态特性(状态演化规则)组成 h+1一 n n 1.周期倍化分叉过程 从任何初始值出发迭代时,一般有个暂态过程,但 当迭代次数很大即当r时演化会导致一个确定 的终态 终态可取无穷多种值对初值极为 1=3.569 敏感,成为不可预测,开始出现混 沌现象.在此前终态都是周期的、 可预测的,并与初值无关
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 1.周期倍化分叉过程 动力系统是一个广泛的概念, 它由状态 (并给出描述 状态的量) 和动态特性 (状态演化规则) 组成. (1 ) n 1 n n x = x − x + n =1, 2, 3, 从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程, 但 当迭代次数很大, 即当 时, 演化会导致一个确定 的终态. n → = 3.569 终态可取无穷多种值, 对初值极为 敏感, 成为不可预测, 开始出现混 沌现象. 在此前终态都是周期的、 可预测的, 并与初值无关
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 值 终态 =2.4 (一个不动点)周期为1 12 079950.5130周期为2 =3.2 n+2 X →0328>08629-周期为4 =3.5 0.8750←0.5009xn+4 周期为8,16等的周期倍化分 又过程 =3.569~4 基本上为混沌区即周期为∞ 其中有周期窗口,并有一定结构
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 值 终态 (一个不动点) 周期为1 周期为2 周期为4 周期为 等的周期倍化分 叉过程 基本上为混沌区(即周期为 ), 其中有周期窗口, 并有一定结构 = 2.4 = 3.2 = 3.5 = 3.569 ~ 4 xn+1 = xn = 7 12 0.799 5 0.513 0 n n x = x +2 n n x = x +4 8, 16, − → → − 0.875 0 0.500 9 0.382 8 0.862 9
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 n+1 4x, (1-xn) 0.1 0.10000001 0.1000001 0.36 20.3600000032 0.3600000320 0.9216 0.9216000358 0.9216003584 1478365599 0.1478244449 0.1477154281 0.2775690810 0.4350573997 0.9373495882 51 0.8020943862 09831298346 0.1041393091 52 0.6349559274 0.0663422515 0.3731772536
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 n 4 (1 ) n 1 n n x = x − x + 0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1 1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0 2 0.921 6 0.921 600 035 8 0.921 600 358 4 … … … … 10 0.147 836 559 9 0.147 824 444 9 0.147 715 428 1 … … … … 50 0.277 569 081 0 0.435 057 399 7 0.937 349 588 2 51 0.802 094 386 2 0.983 129 834 6 0.104 139 309 1 52 0.634 955 927 4 0.066 342 251 5 0.373 177 253 6
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 2.费根鲍姆常数 n-1m=D=46692016091029909 n→00 周期倍 化分叉过 程是一条 沌 通向混沌 的典型道 路 3.44913.569 3.544
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 2.费根鲍姆常数 lim 4.669 201609102 990 9 1 1 = = − − + − → m m m m m 周期倍 化分叉过 程是一条 通向混沌 的典型道 路
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 3.倒分叉 (m (m) n→00 (m (m+1) 窗、 ( 3.569 4 3 (3)(2)
3.倒分叉 §4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 = − − + − → ( ) ( 1) ( 1) ( ) lim m m m m m
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 )=36786 12)=35926 A ●●●● ●●。●●● 3.5699 4窗口 在=时视周期为3的解在图上呈现出3条曲 线随着值继续增大,又会发生周期倍化分叉过程, 相继出现周期为等解最初3条曲线每一条都演 化成一个混沌区,共有3个混沌区;在每一个混沌区中 又上演着倒分叉过程,并且在混沌区中同样也存在周 期窗口
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 (1) = 3.678 6 (2) = 3.592 6 3.569 9 4.窗口 在 时出现周期为3的解, 在图上呈现出3条曲 线, 随着 值继续增大, 又会发生周期倍化分叉过程, 相继出现周期为 等解, 最初3条曲线每一条都演 化成一个混沌区, 共有3个混沌区; 在每一个混沌区中 又上演着倒分叉过程, 并且在混沌区中同样也存在周 期窗口. = 3.828 6,12, 24,
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 窗口3内的窗口其他窗口 3.8284 3.84153.8495 3.8568 窗口3
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路
54-8周期倍化分叉一一种通向混沌的道路 无穷套嵌着的自相似结构 MAL 混沌现象与随机 现象的根本区别 混沌现象产生于不可积系统由于方程解的长期行 为对初值十分敏感,出现了貌似随机的行为在同一时 期,非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波(或孤立子)的存在.它产生于一批非线 性完全可积系统,它们的解具有规则性和出奇的稳定性, 说明非线性还在产生有序性方面有重要作用
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路 无穷套嵌着的自相似结构 混沌现象与随机 现象的根本区别 混沌现象产生于不可积系统, 由于方程解的长期行 为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为. 在同一时 期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它产生于一批非线 性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出奇的稳定性, 说明非线性还在产生有序性方面有重要作用