大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第三章 质点动力学 §3.4 质点的角动量定理和角动量守恒定律

§3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 1.矢量的点矩和轴矩力矩角动量即动量矩) (1)矢量的点矩 角动量 =F×A 力矩 M= L 0=×mv k =r×=xy2 F FF =(yF--ZFV)i+(zF -)j+(xFy-yFk

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 1.矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量(即动量矩) （1）矢量的点矩 GO r A    =  MO r F    =  L r mv O    =  力矩 角动量 x O F x i M r F     =  = Fy y j  Fz z k  yF zF i zF x F j x F yF k z y x z y x    = ( − ) + ( − ) + ( − )

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 =r×mv= 0 mime rosin 0 -mr osin be +mr le (2)矢量的轴矩 定义轴为有方向的直线其方向用单位矢量表示 称为轴E1 i=e·(XA)

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 mr r e L r mv r O      =  =     mr e 0    sin 0   mr e      mr e mr e     2 2 = − sin + （2）矢量的轴矩 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 表示, 称为 轴. l e  l e  G e G e (r A) l l O l      =  =  

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 G=e…(xA)=A·(e×F) 矢量对轴的轴矩与轴上点选取无关 矢量对过同一点、方向不同的轴的轴距O 不同 轴 矢量与轴共面, B 则轴距(为零 F M A M1=e(×F) e(+1)×(F+F1) B

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 G e (r A) A (e r) l l l       =   =   矢量 A 对 轴的轴矩与轴上 点选取无关  l e  O 矢量 对过同一 点、方向不同的轴的轴距 不同 A  O 矢量 与 轴共面， 则轴距 为零 A  l e  Gl M e (r F) l l    =   [( ) ( )] || + ⊥  || + ⊥ = el  r r F F     

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 =e·[(×F)+(×F)+(×F)+(×F1 ×F1)=土Fd 2质点对固定点O的角动量定理和角动量守恒 定律 d × dt dtrXF' a(mv d (7×mV) d(mv) n1+7× dt dt

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 [( ) ( ) ( ) ( )] ||  || + ||  ⊥ + ⊥  || + ⊥  ⊥ = el  r F r F r F r F          = el (r⊥ F⊥ ) = F⊥ d    2.质点对固定点 的角动量定理和角动量守恒 定律 O F t v m   = d d r F t mv r      =  d d( ) t mv mv r t r r mv t d d( ) d d ( ) d d        =  + 

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 d(mv)- d(my =1×m1+P MAL dt dt (7×m)=×F M dt。 d (myz-may)=yF -zF dt 质点对固 (mzx-mxz)=zF-XF dt 定点的角 动量定理 (mxy-my)=xF-yF dt

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 t mv r t mv v mv r d d( ) d d( )       =  +  =  r mv r F t     (  ) =  d d O O M t L   = d d 质点对固 定点的角 动量定理          − = − − = − − = − y x x z z y m xy m yx x F yF t m zx m xz zF x F t m yz m zy yF zF t ( ) d d ( ) d d ( ) d d      

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价 Mn=×F≡0 O=M dt 1o=×m=常矢量 角动量守恒 (角动量积 F=0 分) M=0 F∥/F

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价 O O M t L   = d d MO = r  F  0    L r mv O    =  = 常矢量 角动量守恒 （角动量积 分） F = 0  F r   MO = 0 // 

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 (1)Lo=7×m=C 厢和必始终与垂质点必在过 点与垂直的平面内运动 轨道 (2) Lo=r 00=mr20k=c P mr mr8 0 6

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 （1） LO r mv C     =  = 和 必始终与 垂直, 质点必在过 点且与 垂直的平面内运动. r  v  LO  O LO  mr r e LO     =     mr e 0 mr k C k     =  = 2 0 0 （2）

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 >r2=常量 掠面速度 RMAL s lim 4A y·r△6 dtM→0△t△→>0△t 2 角运动:即使质点做直线运动,只要惠在直线之外角 运动就存在 动量是质点线运动的度量,角动量则是质点角运动的 度量质点的径向运动对质点的角运动没有贡献 F×dr L=×m=m =2m d dt

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律  = 2  r 常量   2  0 0 2 1 2 1 lim lim d d r t r r t A t A t t =    =   =  →  → 掠面速度 角运动: 即使质点做直线运动, 只要 点在直线之外, 角 运动就存在. O 动量是质点线运动的度量, 角动量则是质点角运动的 度量.质点的径向运动对质点的角运动没有贡献. t A m t r r LO r mv m d d 2 d d =  =  =    

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 3.质点对固定轴的角动量定理和角动量守恒定 律 MAL o-a(e Lo)=e, Mo dt dt dt F=0 M,≡0 F5e1共面 L=·o=·(×m)=常量

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 3.质点对固定轴的角动量定理和角动量守恒定 律 l O l O O l e L e M t t L e        = (  ) =  d d d d l l M t L = d d  0 Ml Ll = el  LO = el (r mv) =      常量 F = 0  F 与 轴共面  l e 

3-4质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7 m=mR+mRn明 L=RSin 8 rOsin 0 L=mR 0 =MR o sin 8o sine sin 0

§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7      mv mR e mR e      = + sin L z = Rsin  mR sin    2 2 L mR sin z = 0 2 0 2 = mR   sin  2 0 0 2 sin sin     = 