大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第四章 非线性振动 §4.2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法

s4-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 方程m+FR(x)+F(x)=FsnO1t 研究非线性振动的方法有:解析法;几何法(相图 和拓扑学方法);数值计算方法 1.非线性振动和线性振动的根本区别 两种振动的根本区别在数学上归结于非线性微分 方程与线性微分方程的根本区别.线性微分方程的解 满足叠加原理,非线性微分方程的解则不满足叠加 原理 由于非线性的存在,将使运动之间发生相互作用, 这种相互作用给事物带来质的变化,产生多样性、 复杂性

§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 1.非线性振动和线性振动的根本区别 mx F x F x F t R 0 1  + () + ( ) = sin  研究非线性振动的方法有：解析法；几何法(相图 和拓扑学方法）；数值计算方法. 两种振动的根本区别在数学上归结于非线性微分 方程与线性微分方程的根本区别. 线性微分方程的解 满足叠加原理，非线性微分方程的解则不满足叠加 原理. 由于非线性的存在，将使运动之间发生相互作用， 这种相互作用给事物带来质的变化，产生多样性、 复杂性。 方程

54-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 2用小参数展开方法求解非线性自由振动问题 x+ao x=a X=x+&1+Ex,+EX2+ 2 00-801-82 (a2=02+1+2a2+…) +0x=o 线性方程 x1+x1=x0-01x0 x2+O-x2=3x0x1-C1x1-C2x0

2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题 §4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 2 3 0  x  + x = x x = x0 + x1 +  2 x2 +  3 x3 + = − 1 − 2 2 − 2 0 2       ( ) 2 2 1 2 2 0 = +  +  + 0 0 2  x  0 + x = 1 0 3 1 0 2 1  x  + x = x − x 1 1 1 2 0 2 2 0 2  x  2 + x = 3x x − x − x 线性方程

54-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 初始条件x(0)=A(0)=0 x(0)=Ax0(0)=0 x1(0)=0x(0)=0 x2(0)=0x2(0)=0 x tox=0 A cos ot x+ox=A cos ot-aAcos at A-d, A)cos at +AcoS 3at

§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 初始条件 x(0) = A x (0) = 0 x0 (0) = A x  0 (0) = 0 x1 (0) = 0 x  1 (0) = 0 x2 (0) = 0 (0) 0 x  2 = 0 0 2  x  0 + x = x Acost 0 = x  x A cos t  Acost 1 3 3 1 2  1 + = − A  A t A cos3t 4 1 ) cos 4 3 ( 3 1 3 = − +

54-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 A-aA=0D M==A 4 4 消除久期项 元1+Ox1 A cos 3ot x=xo +&=( xp o(cos at-coS 3at 32 32)4C0、73 cos 3a 320 34 34 O=00(1-E2) 2 400 800

§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 0 4 3 1 3 A − A = 2 1 4 3  = A x  x A cos3t 4 1 3 1 2  1 + = 消除久期项 (cos cos3 ) 32 2 3 1 t t A x    = − t A A t A x x x        cos3 32 ) cos 32 (1 2 3 2 2 = 0 + 1 = + − 1 2 2 0 2 0 ) 4 3 (1     A = − ) 8 3 (1 2 0 2 0    A  −

54-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 CA 8<A 4 1+ 3202 x)Acos at 3203)Ac0s3oy(E24 CA 1Q4∞Acos5ot 0≈00(132 34 E 2 0 2560 普遍规律: (1)出现谐频频率最低频率称为基频为基频整数倍 的称为各种谐频 (2)以倍数越高的谐频振动的分振动,其振幅越小

§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 A t A A x      ) cos 32 1024 (1 4 2 4 2 2 = + − A t A A t A       ) cos5 1024 ) cos3 ( 32 ( 4 2 4 2 2 − + ) 256 3 8 3 (1 4 0 4 2 2 0 2 0       A A  − + 普遍规律: (1) 出现谐频频率.最低频率称为基频, 为基频整数倍 的称为各种谐频. (2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小

54-2一维非线性振动及其微分方程的近似解法 (3)不存在固有频率,基频不仅与系统结构有关还与 振幅及解的精度有关 上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动: 6 16l 3050 40

§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 (3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还与 振幅及解的精度有关. 上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动： 3 6    l g l g + =  3 x 3 5 2 4 2 x