3-2质点运动微分方程 质点运动微分方程 力函数中不包括其他质点的位置和速度 F=F(,,) 质点的运动微分方程 mr=F(r, r, t) F=(t) mi=f(x,y,z,i,j, i, t) my=F,(x,y,,x,y,,1) m=F2(x,y,,x,y,,)
1. 质点运动微分方程 §3-2 质点运动微分方程 F F(r,r,t) = 力 F 的函数中不包括其他质点的位置和速度 质点的运动微分方程 mr F(r,r,t) = r r(t) = = = = ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) mz F x y z x y z t my F x y z x y z t mx F x y z x y z t z y x
3-2质点运动微分方程 线性力是位置和速度的线性函数,有一般的 解法,线性方程只是实际问题中的少数情况 非线性:力是位置和速度的非线性函数,无一 般的解法,实际问题中大多数是非线性的 如果能求出解析解,其通解中应有6个积分常数, 它们由初条件t和确定= 根据问题的特点选用不同的坐标系很重要!
§3-2 质点运动微分方程 线性:力是位置和速度的线性函数，有一般的 解法，线性方程只是实际问题中的少数情况. 非线性:力是位置和速度的非线性函数，无一 般的解法，实际问题中大多数是非线性的. 如果能求出解析解, 其通解中应有6个积分常数, 它们由初条件 t = 时 0 和 确定. 0 r r = 0 v v = 根据问题的特点选用不同的坐标系很重要！
3-2质点运动微分方程 2.质点运动微分方程的运动积分(初积分或第 积分) 将运动微分方程作一次积分,得到一阶微分方程 G(r, rt=C 该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动积分, 积分常数(白初始条件确定 从数学上看,找到运动积分使运动微分方程由二 阶微分方程降为一阶微分方程有利于求解 从物理上看,第一积分对应着某个运动守恒量, 可能有明确的物理意义 我们常利用物理意义明确的第一积分,如动量守 恒、角动量守恒和机械能守恒等,以达到简化问题求 解过程的目的
§3-2 质点运动微分方程 将运动微分方程作一次积分, 得到一阶微分方程 G(r,r ,t) = C 该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动积分, 积分常数 C 由初始条件确定. 从数学上看, 找到运动积分使运动微分方程由二 阶微分方程降为一阶微分方程, 有利于求解. 从物理上看, 第一积分对应着某个运动守恒量, 可能有明确的物理意义. 我们常利用物理意义明确的第一积分, 如动量守 恒、角动量守恒和机械能守恒等, 以达到简化问题求 解过程的目的. 2. 质点运动微分方程的运动积分(初积分或第 一积分)
3-2质点运动微分方程 3.约束牛顿力学中力的分类 (1)约束的概念和约束方程 约束是预先给定的、由约束物给出的对力学系统 运动的限制 质点受到约束,其自由度减少 (2)约束力和主动力 约束是通过约束物实现的,为强制质点满足约束 条件,约束物与质点间有力的相互作用,称约束物 对质点施加的力为约束力(或称为约束反力,约束 反作用力而把质点所受的,除约束力之外的其他 力称为主动力(叫非约束力可能更准确)
§3-2 质点运动微分方程 3. 约束 牛顿力学中力的分类 （1） 约束的概念和约束方程 约束是预先给定的、由约束物给出的对力学系统 运动的限制. 质点受到约束, 其自由度减少. （2） 约束力和主动力 约束是通过约束物实现的, 为强制质点满足约束 条件, 约束物与质点间有力的相互作用, 称约束物 对质点施加的力为约束力 (或称为约束反力, 约束 反作用力).而把质点所受的, 除约束力之外的其他 力称为主动力 (叫非约束力可能更准确)
3-2质点运动微分方程 主动力已知力的函数=F(F,2的束力是未知的 弹性力:弹黉弹性力、绳的张力、面的支撑力 (3)在牛顿第二定律中主动力和约束力的地位是 平等的 mr=F(r,r, t)+FR 例题1(1)约束方程 x+y=l 6 z=0 0 约束力FR=F7 主动力F=W=mg W=mg
§3-2 质点运动微分方程 （3） 在牛顿第二定律中主动力和约束力的地位是 平等的 R mr F(r,r,t) F = + 弹性力：弹簧弹性力、绳的张力、面的支撑力 例题1 (1) 约束方程 = + = 0 2 2 2 z x y l 或 = = z 0 r l 主动力已知力的函数 F F(r,r, , t 约束力是未知的 ) . = F FT 约束力 R = F W mg 主动力 = =
3-2质点运动微分方程 (2)约束方程 J=0 MA z=0 约束力F=F+F y F 主动力 k FImh e F=w+F=mg-kxi 000000 O 空气阻力也是主动力 W=mg
§3-2 质点运动微分方程 (2) 约束方程 = = 0 0 z y 主动力 约束力 F FN Ff R = + F W F mg k xi = + 1 = − 空气阻力也是主动力
3-2质点运动微分方程 4.自由质点的动力学方程组及例题 mr= F(r, r, t) 例题2实验表明,阻力与速率一次方成正比的规律仅 适用于速度量级为10-2m/s的极其缓慢运动。一般情 况下,阻力与速率平方成正比的规律较符合实际情况。 但此时方程是非线性的,求解析解很复杂。采用简单 的情况进行讨论,虽然不完全符合实际,但仍能了解 有阻力情况下抛体运动的一些共同特征。 mi=-b1 m7=mV=mg-b即 mv=-mg-bv
§3-2 质点运动微分方程 4. 自由质点的动力学方程组及例题 mr F(r,r,t) = 例题2 实验表明，阻力与速率一次方成正比的规律仅 适用于速度量级为10-2m/s的极其缓慢运动。一般情 况下，阻力与速率平方成正比的规律较符合实际情况。 但此时方程是非线性的，求解析解很复杂。采用简单 的情况进行讨论，虽然不完全符合实际，但仍能了解 有阻力情况下抛体运动的一些共同特征。 mr mv mg bv = = − 即 x bvx mv = − y m g bvy mv = − −
3-2质点运动微分方程 mi=-br Vo. e MAL x x e b mg-bv x mg b mox x b e y 0 1 -12 )(1-em) b b b
§3-2 质点运动微分方程 x bvx mv = − y mg bvy mv = − − t m b x x v v − = e 0 (1 e ) 0 t m b x b mv x − = − b mg b mg v v t m b y = y + − − ( )e 0 t b mg b m g b mv y t m b y = + − − − ( )(1 e ) 2 2 0
3-2质点运动微分方程 讨论(1)t→,v2->0 mg → MAL 17v b,-00(实际以落地为止) Ox (2)轨道方程 g m g bx y Noy X x Ox Ox
讨论 （1） t → 时 , , vx → 0 , b mg vy → − , 0 b mv x → x y → − (实际以落地为止). （2）轨道方程 ( ) ln(1 ) 0 2 2 0 0 0 x x x y mv bx b m g x bv m g v v y = + + − §3-2 质点运动微分方程
3-2质点运动微分方程 与无阻力情况轨道比较 b→>0 MAL 泰勒展开 bx bx In(I-o nsor mox bx、21bx3 2 mox 3 mvo bx X X Ox 3 mox x
与无阻力情况轨道比较 泰勒展开 b →0 − = − − x m v x bx m v bx 0 0 ln(1 ) − 3 − 0 2 0 ( ) 3 1 ( ) 2 1 x m v x bx m v bx = − − 3 − 0 3 2 2 0 0 0 3 1 2 1 x m v bx x v g x v v y x x x y §3-2 质点运动微分方程