973虚功原理(微分形式的变分原理) 一、虚功原理 受有理想约束、定常约束的力学系统,保持静平 衡的必要充分条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零 ∑ F·6r=0 在直角坐标系中,上式写成 ∑(F.8x+F28y+F8)=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 一、虚功原理 受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平 衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零. δ 0 1 = = i n i i F r 在直角坐标系中, 上式写成 ( δ δ δ ) 0 1 + + = = i i y i i z i n i i x F x F y F z
973虚功原理(微分形式的变分原理) 必要条件的证明: 当力学系统相对惯性系处于[齡]平衡时, F+ +F2) 6=0i=1,2 ∑F·6+∑ Fn·δr;=0 R 对理想约束 ∑ F·δF:=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, Fi + FRi = 0 i = 1,2,...,n (Fi + FRi) δri = 0 i = 1,2,...n δ δ 0 1 1 + = = = i n i i R i n i i F r F r 必要条件的证明： 对理想约束 0 0 δ 0 1 = = i n i i F r
973虚功原理(微分形式的变分原理) 充分条件的证明: 若系统的主动力虚功之和为零,∑F67=0 MAL 对于受有理想约束的系统∑F0+∑F26=0 力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式 ∑F·+∑F8:dF=0 根据质点系的动能定理d7=∑F·d+∑Fd=0 T=常量说明系统开始时静止,以 后就会始终保持静止
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 若系统的主动力虚功之和为零, 充分条件的证明： δ 0 1 = = i n i i F r 对于受有理想约束的系统 δ δ 0 1 1 + = = = i n i i Ri n i i F r F r 力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式 d d 0 1 1 + = = = i n i i R i n i i F r F r 根据质点系的动能定理 d d d 0 1 1 = + = = = i n i i R i n i i T F r F r T =常量 说明系统开始时静止, 以 后就会始终保持静止
973虚功原理(微分形式的变分原理) 几点说明: (1)普适性 (2)在变动中寻找平衡的条件例如单摆 6≠0时,mg·b≠0 0=0时,mg.=0 mg 6=0的位置为单摆的平衡值置 (3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力 放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力和约束 力上
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 几点说明： (1) 普适性. (2) 在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆 mg r mg r 0时, mg r 0 = 0时, mg r = 0 = 0的位置为单摆的平衡位置 (3) 与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将注意力 放在区分内力和外力上, 而是放在区分主动力和约束 力上
973虚功原理(微分形式的变分原理) 如图所示提升重物的装置, 以把手端点的弧坐标为广义坐标, 设重物距地面高度为h, 根据虚功原理Fδs-Wδz=0 F=WSh /Ss 如果知道和的函数关系,通过上式就可求出F (4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是 对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移 由于虚功原理的方程中不出现约束力因此不能由虚 功原理求出约束力但是通过释放约束或用不定乘 子法可以求出约束力
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 如图所示提升重物的装置 , 以把手端点的弧坐标s为广义坐标, 设重物距地面高度为h, 根据虚功原理 Fδs −Wδh = 0 F =Wδh δs 如果知道h和s的函数关系, 通过上式, 就可求出 F (4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 是 对任意的虚位移而言的, 而不是针对特殊的虚位移 . 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由虚 功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不定乘 子法, 可以求出约束力
973虚功原理(微分形式的变分原理) 二、广义平衡方程 据虚功原理有∑F67=0 或∑(F8x+F+F8)=0 为了得到广义平衡方程需要将虚功原理化为以 广义坐标表述的形式 ∑Qn8qn=0 展开后写成Q6q1+Q28q2+…+Q,6q,=0 在完整系中,若Oq1≠0∵6q相互独立 6q2,6q。=0:Qa1=0∴Q=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 二、广义平衡方程 δ 0 1 = = i n i i F r , ( δ δ δ ) 0 1 + + = = i i y i i z i n i i x 或 F x F y F z 据虚功原理,有 为了得到广义平衡方程, 需要将虚功原理化为以 广义坐标表述的形式. δ 0 1 = = Q q s 展开后写成 Q1 δq1 + Q2 δq2 + + Qs δqs = 0 若δq1 0 δq 相互独立 δq2 ,...,δqs = 0 Q1 q1 = 0 Q1 = 0 在完整系中
973虚功原理(微分形式的变分原理) 同理若61≠0∵8相互独立 12g 35 =0∴Qa2=0 .= Q2=0 推出,Q=0a=12…广义平衡方程 虚功原理又可叙述为:对于受完整的、定常的、理 想约束的力学系统保持静平衡的必要充分条件是 所有的广义力都为零 对于主动力均为有势力的有势系有Q 所以广义平衡方程成为 0 代入虚功原理中有∑ ga=0即,δV=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 同理,若δq1 0 δq 相互独立 δq1 ,δq3 ,...,δqs = 0 Q2 q2 = 0 Q2 = 0 推出, Q = 0 = 1,2, ,s 广义平衡方程 虚功原理又可叙述为: 对于受完整的、定常的、理 想约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条件是 所有的广义力都为零. 对于主动力均为有势力的有势系, 有 q V Q = − 所以,广义平衡方程成为 = 0 q V = 1,2, ,s δ 0 1 = = q q V s 代入虚功原理中,有 即,δV = 0
973虚功原理(微分形式的变分原理) 三、虚功原理的应用 例题3如图所示,匀质杆O,质量为m1,长为1,能在 竖直平面内绕固定的光滑铰链O转动,此杆的A端用 光滑铰链与另一根质量为m2长为2的匀质杆AB相连 在β端有一水平作用力F求处于静平衡时,两杆与 铅垂线的夹角和q2 1、判断约束类型 是否完整约束?是否理想约束 x 判断自由度 A、B两点的位置4个变量 OA=4, AB B F S=4-2=2q1=1,q2=2y
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 三、虚功原理的应用 例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1 , 长为l1 , 能在 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用 光滑铰链与另一根质量为m2 ,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与 铅垂线的夹角1和 2 . F A l1 B l2 F O x y 1 2 1、判断约束类型 是否完整约束?是否理想约束? 2、判断自由度 s = 4−2 = 2 1 1 2 2 q = ,q = A、B两点的位置，4个变量 1 2 OA = l , AB = l
973虚功原理(微分形式的变分原理) 质量为m的小环P被限制在一个 半径为R的光滑大圆环上大圆 环绕过大环中心的铅垂轴以o oP 的角速度均匀转动以小环为系 丿R 统试确定其自由度 质点在球坐标系中用r,,描述 r= R O x q=O+9非定常约束 3、分析受力(主动力) m8A(2) B m,g, m28,F , y
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） P R 质量为m的小环P被限制在一个 半径为R的光滑大圆环上,大圆 环绕过大环中心的铅垂轴以 的角速度均匀转动,以小环为系 统,试确定其自由度. 质点在球坐标系中用r,,描述 r = R = +0 t 非定常约束 s =1 3、分析受力(主动力) A B F O x y 1 2 m g 1 ( ) 1 1 1 C x , y m g 2 ( ) 2 2 2 C x , y m g m g F , , 1 2
973虚功原理(微分形式的变分原理) 由虚功原理+m0+510 5、建立坐标系必须是静止坐标系) m,goy, +m,goy2+ FOx3=0 6、转化成广义坐标 VI=coS p, 2 y2=l Cos ,+2cos o sin ,+l, sin p2 1(x1,y1) y sin 8 sin ,8p-2snp28o2 84k c2(x2 2)F B 8x=Lcos 891+l2 cos p20p2 ty m2g
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 4、由虚功原理 m1 g δr1 + m2 g δr2 + F δr3 = 0 5、建立坐标系(必须是静止坐标系) x δ δ δ 0 x m1 g y1 + m2 g y2 + F x3 = 6、转化成广义坐标 1 1 1 cos 2 l y = 2 2 2 1 1 cos 2 cos l y = l + 3 1 1 2 2 x = l sin +l sin 1 1 1 1 sin δ 2 δ l y = − 2 2 2 2 1 1 1 sin δ 2 δ sin δ l y = −l − 3 1 1 1 2 2 2 δx = l cos δ +l cos δ y