第四章非线性振动 第四章非线性振动 质点运动微分方程可分为两类线性微分方程和非线 性微分方程 自然界的现象本质上是非线性的用线性微分方程描 述自然界的现象是近似的有条件的 线性微分方程存在一般的求解方法 非线性微分方程只有少部分是可积的而且要用各 不相同的特殊方法才能求出其解析解大部分是不可 积的不可能求得他们的准确的解析解. 计算机技术匚芈线性微分方程的数值研究沌 ( chaos)、耗散结构( dissipative structure)、孤立 子( soliton)、分形( fractal)
第四章 非线性振动 第四章 非线性振动 质点运动微分方程可分为两类:线性微分方程和非线 性微分方程. 自然界的现象本质上是非线性的,用线性微分方程描 述自然界的现象是近似的,有条件的. 线性微分方程 存在一般的求解方法. 非线性微分方程 只有少部分是可积的,而且要用各 不相同的特殊方法才能求出其解析解.大部分是不可 积的,不可能求得他们的准确的解析解. 计算机技术 非线性微分方程的数值研究 混沌 (chaos)、耗散结构(dissipative structure)、孤立 子(soliton)、分形(fractal)
第四章非线性振动 第四章非线性振动 一维线性振动 ·一维非线性振动及其微分方程的近似解法 相平面法 用数值计算和相图研究大幅度单摆运动 自激振动 ·非线性受迫振动中一些重要现象 能导致混沌的倒摆的受迫振动 周期倍化分叉—一种通向混沌的道路
第四章 非线性振动 • 一维线性振动 • 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 • 相平面法 • 用数值计算和相图研究大幅度单摆运动 • 自激振动 • 非线性受迫振动中一些重要现象 • 能导致混沌的倒摆的受迫振动 • 周期倍化分叉 —— 一种通向混沌的道路 第四章 非线性振动
54-1一维线性振动 1.运动微分方程的建立 F(r=F(O)+ F(O)x+F (O)x+F(O)x'+ 2! F(x)=kx+ax+ 单摆mgsi=-mg+mge3+ m℃+℃+kx= f cos at 元+2所6+a02x= f cos at
§4-1 一维线性振动 1.运动微分方程的建立 (0) . 3! 1 (0) 2! 1 ( ) (0) (0) F x = F + F x + F x 2 + F x 3 + F(x) = k x+x 3 + 单摆 − = − + 3 + 6 1 m g sin m g m g mx x k x F cost + + = 0 x 2x x f cost 2 + + 0 =
54-1一维线性振动 2.运动微分方程的求解 X=e 元+2R6X+bx=0 2 r2+2B+ 0 ao-B 2 2 B x=e-分 Ce 十C,e x=Ae Bt cos(o,t+a)
§4-1 一维线性振动 2.运动微分方程的求解 2 0 2 x + x +0 x = rt x = e 2 0 2 0 2 r + r + = 2 2 0 r = − i − 2 2 1 = 0 − e ( e e ) 1 1 i 2 i 1 t t t x c c − − = + e cos( ) 1 = + − x A t t
54-1一维线性振动 设非齐次方程的特解x=Bcos(mt+y) 则 B=- mALe f 2 2、2 +4B 22 0 0 tany=--2po 2 O x=Ae p cos(a,t+a) cos(at +n) 2 O )2+4
§4-1 一维线性振动 设非齐次方程的特解 x = Bcos(t + ) 则 2 2 2 2 2 (0 − ) + 4 = f B 2 2 0 2 tan − − = e cos( ) 1 = + − x A t t cos( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 + − + + t f
54-1一维线性振动 3.解的讨论 ()B=02 f=0 x= AcoS(Oot+a) 质点自由(简谐)振动 (2)B≠0 f=0 cos(@, t +a) 质点阻尼振动
§4-1 一维线性振动 3.解的讨论 （1） = 0 f = 0 1 = 0 cos( ) x = A 0 t + 质点自由 (简谐) 振动 （2） 0 f = 0 t x A − = e 质点阻尼振动 cos( ) 1 t +
54-1一维线性振动 (3)B≠0 质点受迫振动 f≠0 A)振动过程分为暂态过程和稳态过程 B)稳态过程的振幅与初始条件无关,并将随驱动力 频率的变化而改变,会产生共振现象 x 2 2B B f max 2B√a2-B
§4-1 一维线性振动 （3） 0 f 0 质点受迫振动 A）振动过程分为暂态过程和稳态过程. B）稳态过程的振幅与初始条件无关, 并将随驱动力 频率的变化而改变, 会产生共振现象. 2 2 c = 0 − 2 2 2 0 max 2 − = f B
54-1一维线性振动 4.叠加原理 元+2R+ao2x= cos ot d +2B+02=f()c Lx=f(t) dt dt f()=∑anfn(t) Lx1(t)=f1() 线性算 Lx2()=f2(t) 子 Lx, (t)=f(t)
§4-1 一维线性振动 4.叠加原理 x 2x x f cost 2 + + 0 = ( ) d d 2 d d 2 2 0 2 x f t t t = + + Lx = f (t) 线性算 子 f (t) a f (t) = n n ( ) ( ) 1 1 Lx t = f t ( ) ( ) 2 2 Lx t = f t ( ) ( ) 1 1 Lx t = f t …
54-1一维线性振动 D∑ax,()=∑ a lx()=∑anf()=f() >x=2anx、() 线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相加 这就是叠加原理,它是线性微分方程或线性算子的重要 性质 各种运动同时存在时(一个解代表一种运动),它们 之间并不发生相互作用,一种运动不受其他运动影响, 就像它单独存在那样,多种运动共同存在不会诱发出 新的运动形态总的结果只是原来那些运动的叠加.似 乎各个运动之间存在着一种“壁垒”保护其独立性, 这种“壁垒”通常称“线性壁垒
§4-1 一维线性振动 La x (t) =a Lx (t) =a f (t) = f (t) n n n n n n x = a x (t) n n 线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相加, 这就是叠加原理, 它是线性微分方程或线性算子的重要 性质. 各种运动同时存在时(一个解代表一种运动), 它们 之间并不发生相互作用, 一种运动不受其他运动影响, 就像它单独存在那样, 多种运动共同存在不会诱发出 新的运动形态, 总的结果只是原来那些运动的叠加. 似 乎各个运动之间存在着一种“壁垒”保护其独立性, 这种“壁垒”通常称“线性壁垒”