第一篇 金融定量分析方法 分析金融学发端于20世纪50年代初，其标志是马柯维茨(H Markowitz)投资组合理论的发表。在此之前，金融学的研究基本是描述性 的，较少使用数量分析。其后，莫迪利亚尼(F.Modigliani)和米勒(M. Miller)于1958年在研究企业资本结构与企业价值关系（即著名的MM理 论)时，提出了“无套利均衡分析(No-Arbitiage)”方法，则被称为现代金融 学真正的方法论革命，从而也成为金融工程面向产品设计、研发与操作的 基本分析技术，构成了现代金融理论的基石。1973年布莱克(F.Black)和 斯科尔斯(M.Scholes)推导出期权定价模型，与马柯维茨的工作一起被称 为“华尔街的两次数学革命”。随着计算机软件的发展，辅之以信息技术， 分析金融学得到了长足发展。 金融定量分析属于分析金融学，是分析金融学的重要研究方法和分析 工具。它是以统计为基础，数学方法为手段，金融理论为指导，考察金融行 为中的各种数量关系，预测金融发展趋势，检验金融决策效果的工具。它 既运用分析金融学的理论模型，又像金融工程学那样大量采用图解、数值 计算和仿真技术等工程手段来研究问题。大体包括四个基本步骤，即建立 模型、估计参数、验证理论和运用模型。(1)建立模型，是根据金融理论所 考察的现象，找出金融变量间的因果关系及相互联系。把问题作为因变 量，主要相关因素作为自变量，非主要因素归入随机项，按照它们的结构关 系，采用一组或多组方程或不等式表示：(2)估计参数，是根据需要估计出 模型的参数，采用相应的计量方法；(3)验证理论，是运用数理统计中关于 假设验证的原理，验证估计出来的参数与理论预期结果是否一致，所建立 的模型是否符合实际：(4)运用模型分析金融行为和预测未来。模型既可 运用于微观金融分析、中观金融分析，也可运用于宏观金融分析。 金融定量分析方法，作为开篇，为全书提供了方法论基础。本篇收录 可量化的词条309个，按货币时间价值方法、金融预测分析方法、金融决策 分析方法、金融财会分析方法、金融统计分析方法和金融信息分析方法的 顺序，依次进行分析讨论。 需要说明的是，本书在运用数学语言表述问题的同时，也适当地辅以 文字形式的描述与证明，以便适应金融界更多读者的需要
第1章货币时间价值方法3 第1章 货币时间价值方法 货币时间价值(Time Value of Money)是指货币价值对时间的函数关系。在金融定量分析中，货币时间价 值方法是一个非常重要的工具。金融市场上存在着大量的、各种各样的金融资产，每种金融资产都有其特定 的收益形式。如存款的利息、债券的利息、大颜定期存单的利息以及股票的股息等等。通常我们把这些资产 的收益统称为利息，把它们和各自本金之间的比率关系称为利率。在经济学中把利率称为“货币的价格”。正 是由于利息和利率的产生，使今天的货币和昨天等颜的货币的价值不再相等，因为货币存在银行里或贷给别 人，会产生利息。利息随时间推移而不断增加，附在本金上便使今天的货币颜随着时间的推移而不断增加。 货币的时间价值以复利表示，即P。=P(1+)”。式中P。为货币将来值，P。为初始值，i为年利率，n为年份 数。可见，如果利率一定，货币的价值的大小就取决于时间。这里的分析是抽象的。实质上，货币本身并不会 自动增加价值，货币的时间价值反映的是人们对货币资金的利用效果。本章先从利率公式计算入手，而后分 析单利、复利，再分析年金一更为复杂的货币时间价值模型。 货币时间价值(Time Value of Money) 单利法(Method of Simple Interest) 货币时间价值是指在运用过程中，随着时间的推移，是 单利法是计算利息的一种方法。无论时间长短，只按本 可以增殖的，即把资金存入银行或购买债券可以生息，把资 金计算，其所生利息不再加入本金重复计算利息。按单利法 金投资于某项事业可以获得利润。所以严格地说，货币时间 计算得到的未来期限末的本利和，称为单利终值。单利终值 价值应叫资本（资金）的时间价值，它是以一定的经济活动 与本金之差称为单利息。其计算公式是： 所产生的增殖或利润来表达的。货币的时间价值量取决于 F=P(1+i) 时间量和利率两个基本因素，也就是同样的货币量，使用时 I=Pit 间越长，利率越高，则资金的时间价值越大：反之，则越 式中，F一本利和，即单利终值： 小。 P一本金： 时间和利率对货币价值的影响程度，可用因素分析法 一利率： 计算。 1一资金占用时间： 例如，某人有现金10000元，准备存入银行生利，有两个 —单利息。 方案供选择： i和t的规定必须一致。若i是年利率，则t以年计：若i A.资金10000元存入银行，利率为10%，2年期的本利和是月利率，则t以月计：若i是日利率，则t以日计。 为12100元： 由于资金占用时间的计算方法不同，单利法又可分为普 B.资金10000元存入银行，利率为12%，3年期的本利和 通单利法和准确单利法。 为14049元。 普通单利法(Method of Ordinary Simple Interest)资金占 两者差异是：14049-12100=1949（元） 用时间，每月均按30天计算，计息时间t是近似数，其计算方 因素分析： 法是： 方案A的本利和：10000×(1+10%)2=12100（元） 若t以日计，则计息天数： 时间仍为两年，利率由10%提高到12%，则本利和为： t=360×年数+30×月数+尾数天数 10000×(1+12%)2=12544(元) 若t以月计，则计息月数： 即由于利率的不同，本利和存在444元差异。 t=近似天数÷30 方案B的本利和：10000×(1+12%)3=14049（元） 若1以年计，则计息年数： 即利率不变，时间由两年增加到3年，差额为： 1=近似天数÷360 14049-12544=1505(元) 准确单利法(Method of Accurate Simple Interest）资金占 即由于存款期的不同，本利和存在1505元差异。 用时间，按日历中所经历的实际天数计算，其计算方法是： 分析结果说明A,B两个方案的本利和的差异为1949元， 若t以日计，则： 其中利率由10%提高到12%，影响444元：存款期由两年增加 【=实际天数 到三年，影响1505元。 若t以年计，则：
4第一篇金融定量分析方法 t=平年实际天数÷365（或闰年实际天数÷366） 由上式可看出，总有： 单贴现法(Method of Simple Discount) F(1-t)=1+ 在近代工商业交易往来中，通常是使用标明面值和到期日 i>r 的票据。票据未到期不能兑付。如果持票人需要现金，可持票 据向银行兑取现款。银行按市场利率扣除自兑现日至到期日 单利债务分偿法(Separate Redemption Method of 的利息后，将票面余额付给持票人。票据到期后，银行向最初发 Debt with Simple Interest) 票的债务人或背书人兑取现款，这就是所谓贴现。简言之，贴现 金融债务在债务期间内分若干次清偿的方法称为债务分 就是把票据到期日时的价值，折算成贴现日的价值。 偿。如果采用单利法计息，则称为单利债务分偿法。 贴现又可分为单贴现与复贴现，单贴现用单利法计算，复 常用的单利分偿法有单利普通债务分偿法和先息后 贴现用复利法计算。单贴现法又分为单利率贴现法和单贴现 本法。 率贴现法。 单利普通债务分偿法(Ordinary Separate Redemption Meth- 单利率贴现法(Simple Interest Rate Discount Method)此 od of Debt with Simple Interest)把期初贷款额和每次清偿金 法是最简单，应用也较为广泛的贴现方法。其计算公式是： 额采用普通单利法折算到清账日时的金额，清账日时的欠款 F 额就是债务累计值与债务清偿累计金额的差。例如，1997年3 P=T+i 月5日某企业以年利率10%向银行贷款300万元，同年9月 I Pit 15日还款100万元，又于同年11月28日还款130万元，清账 式中，P—贴现额； 日为1997年12月30日。如果采用单利普通债务分偿法，则 F—票面金额： 贷款300万元的终值是： —一单利率： t一计息期数； 300×1+10%×)=324.5833(万元) 一贴现息： 第一次偿债100万元的终值是： 1 1+it 一单利率贴现因子。 10×1+10%×)=102.9167(万元) 单贴现率贴现法(Simple Discount Rate Discount Method) 第二次偿债130万元的终值是： 单利率贴现法是以本利和的现值为准，而单贴现率贴现法则 130×1+10%×)=151.1566(万元) 是以到期值为准。此法相当于银行借给持票人与票据到期值 偿还贷款额终值累计金额是： 相等的本金，依此数额计算利息，并先扣除，所以兑现额是到期 102.9167+131.1556=234.0723(万元) 值与贴现息之差。银行常用此贴现方法。其计算公式是： 清账日企业欠银行贷款金额是： I=Frt 324.5833-234.0723=90.5110(万元) P F-I=F 1-rt) 式中，P一贴现额； 先息后本法(First-interest and Last-principal Method) 每次分偿债务时，首先要计算出所欠余额到该时刻所生的 F一票面金额； 利息，然后，从该次偿还额中首先扣除利息，多余部分属于还 一单贴现率； 本额，再从前次欠款余额中减去这部分还本额，其差额就是 t一计息期数： 一贴现息。 下期的欠款余额。如果本次偿还额不足以抵偿该期利息，账 目上不做还本付息计算，只是把这笔还款记下来，待以后的 偿还额与其相加，其总和超过前几次利息时，再一并按上法 单贴现法等值率(Equivalence Rate of Simple Dis- 处理。直到债务到期清偿时再做最后一次的付息还本结算。 count Method)】 仍以单利普通债务分偿法中的例子说明如下： 设票据的到期值为F,贴现日至到期日的计息期数为t。 1997年9月15日负债余额是： 如果分别用单利率贴现法和单贴现率贴现法求得的贴现额都 是P,那么这时单利率i和单贴现率r对贴现息来说是等价的， 30×(1+10%×8) -100=215.8333(万元) 我们称这种率值等价关系为单贴现法等值率。 1997年11月28日负债余额是： 其数学表达式是： 215.8333×(1+10%×）-130=02099(万元) i1-t 1997年12月30日结账时负债余额是： r二1+t 90.2099×（1+10%×360】 321 =91.0118(万元)
第1章货币时间价值方法5 复利法(Compound Interest Method) 现为收入：运用或支付现金称为现金流出(Cash Outflow),表现 复利法是计算利息的一种方法。银行按规定，经过一定 为成本。(3)现金流的时间性：不同时间的现金流具有不同的 时期结息一次，结息后即将利息并入本金再计利息，即所谓 意义，因为现金流具有时间价值。在分析现金流时，我们必须综 “利上加利”的计算方法。此法也可应用于企业投资效益分 合地考虑这三方面的特征。 析，企业投资一定数额本金，创造纯收，又被再次投入，扩大生 一个项目所带来的现金流往往是一系列的，通常把这些 产，又能获得一定的收益，如此循环，不断提高经济效益。按 现金流的全体看成一个集合，称之为现金流序列(Cash Flow 复利法计算得到的未来期限末的本利和，称为复利终值。复 Stream)。在投资之前，项目所产生的现金流序列可能是确定 利终值与本金之差，称为复利息。复利法有间歇复利法和连的，但大多数情况下是不确定的，这种不确定性即是风险。风 续复利法两种。 险是人们所关注的中心问题之一。 间歇复利法(Intermittent Compound Interest Method)通 现金流序列的表示方法一般有两种：列表法和图示法。 常以年、季、月、日为计息期，到期就立即结息并将利息并入本 列表法是将所有不同时期的现金流用一张表清晰地描述出 金再计利息的计息方法。其计算公式是： 来。图示法是在一条直线上标上不同的时点及其现金流，从 F=P(1+i)' 而直观地进行描述。如图1-1-1所示： 1=F-P=P[(1+i)'-1] 01234+*+…1-1t 式中，F一复利终值： 11 P一本金； CF1 CF2 CF3 CF4 CFCF 一复利率； 一计息期数； 图1-1-1现金流图示法 —复利息： 0一表示0期，即现期(Present); (1+i)一复利终值系数。 1,2,表示第1,2，…期： 若本金是P,年利率是i,每年结算m次，则t年后的本利 1一表示未来第t期： 和是： CF,一表示t期的现金流。 F=P1+) 例如，有两个投资机会，分别表示为投资A和投资B,其现 金流序列用列表法表示如表1-1-1。 连续复利法(Continuous Compound Interest Method)资金 表1-1-1 两个投资机会的现金流 每时每刻都生息，随时将利息并入本金再计利息的计息方法 称为连续复利法。其计算公式是： A投资 B投资 F=Pe“ 时间 现金流量 时间 现金流量 I=F-P=P(e“-1) 1 $500 1 $900 600 式中，F—连续复利终值： 2 600 3 700 3 500 P一本金： 4 800 4 400 e一自然对数的底数，是无理数，e=2.71828: 总计 $2600 总计 $2400 一复利率： —一计息期数： 用图示法表示为图1-1-2。 一复利息。 A投资 注：i和t的规定必须一致，即：若i是年利率，则t以年计： 1 2 3 4 总计 若i是月利率，则t以月计：若i是日利率，则t以日计。在经 济活动中，资金每时每刻在运动，从理论上讲应采用连续复利 $500 600 700 800 $2600 法计息，但在实际的经济活动中，都是采用间歇式复利法计 B投资 息。例如，我国现行的企业存款多为按季计算复利，居民活期 储蓄存款按年计算复利。因此，平时所说的复利法，通常是指 0 1 2 3 总计 间歇式复利法。 $900 600 500 400$2400 现金流(Cash Flow) 图1-1-2两个投资机会的现金流 现金流是一个投资项目（或一个企业）在一定时期内所产 生的现金及其运用。它具有3个特征：(1)流量的规模或大小。 时间价值分析模型(Time Value Analytical Model) (2)现金流的方向性：收到现金称为现金流入(Cash Inflow),表 对于现金流来说，经济意义上的价值和会计意义上的利
6第一篇金融定量分析方法 润是不同的前者必须考虑时间价值，即时间是具有价值的， 表中不仅到出了每期的现值，还到出了各期现值的加总， 现期的100元与1年后的100元是不相同的，考虑到时间价 从而得到每个项目的现值。用公式表示为： 值，前者的价值高于后者的价值。时间价值从经济学上体现 了消费者的时间偏好。一般地认为，对于消费者，同一商品现 Pv=∑CE,·(1+k,) (2) 期消费所产生的效用比未来消费所产生的效用要高，因此，要 式中，n一一共有n期现金流。 放弃现期的消费，必须在未来用更多的量作为补偿，两者的比 通过表1-1-2可见，投资A的现值为82022.75，投资B 即是时间偏好。从金融理论角度来看，时间价值体现了投资 的现值为s1962.92。所以在折现率为10%时，投资A优于投 机会成本(Oppotuninty Cost)。现期的100元可以投资于无风 资B。 险资产(Risk一Free Asset),得到一个合适的增长率一无风 当然，在对项目进行评价时还要考虑其成本（即0期的现 险利率（它应与社会平均时间偏好率相等），从而1年后的总 金流出)，一般表示为C,即C=-CF。,在上例中假定成本为 值将大于100元。因此，在对现金流进行评价时应把所有的现 $1200,即CF。=-s1200(负号表示流出)，则成本C= 金流以适当的折现率将其换算成与现期等价的价值，即现值 S1200。将A,B的现值减去成本即可得到净现值(Net Pres- (Present Value)。 ent Value)简记为NPV: 现金流的现值计算主要用到数学中级数求和知识。一般 NPV ∑CF,(1+k)-C (3A) 用CF?表示t期末的现金流，用PV表示现值。如果从现期(O 期)到：期末的投资机会成本表示为折现率K则CF,的现值 = cF,1+,) (3B) 0 式中，k。=0,CF。=-C。用公式(3)计算得到A的NPV为 s822.75,B的NPV为s762.92. PV CF 与现值相对应的是未来值或期终值(Future Value or Ter~ 图1-1-3现值计算 minal Value)的概念，表示为FV。未来值是指现期的资金按适 可用下列公式计算如图1-1-3所示： 当的利率，（从数值上应等于前述的折现率）储蓄到：期末的 本利和，即： CF, PV=- (1A) (1+k,) FV PV(1 +rt) (4) 类似地，在10%的利率下对前述例子进行计算可得表1-1-3： =CF,·(1+k) (1B) 说明：计算表1-1-2中未来值时所用到的公式不是(4) 式中，(1+k,)‘—再投资产生复利 而是： k,一从0到1期中每一期的折现率。 FV CF,(1+r)" (1B)中的CF,说明CF是时间1的函数。显然，随着1的 表1-1-3的结果与表1-1-2的结果是等效的，但在对 变化，一般缸也发生变化。为了简化问题，我们先来计算k,为 资产现金流进行评价时更多地是用计算现值来进行。 常数时的情形。仍以计算“现金流”的例子为例，若，=10%， 表1-1-3 利率为10%的未来值 便可算出各个现金流所对应的现值：对于投资A,第一期现金 流的现值为： 投资A 投资B 500 时间 现金流量 FV 时间 现金流量 FV (1+0.1)=454.55 PV 1 $500 665.5 1 $900 1197.9 第二期现金流的现值为： 2 600 726 2 600 726 600 PV = (1+0.1)F=495.87 3 700 770 3 500 550 4 800 800 4 400 400 将所有的现值计算出来列表如表1-1-2。 总计 $2600 82961.5 总计 $2400 82873.9 表1-1-2 以10%折现的现金流 参见“单利法”“单贴现法”“复利法”等。 投资A 投资B 时间 现金流量 现值 时间 现金流量 现值 时间价值的灵敏性分析(Sensitive Analysis for Time 1 8500 454.55 $900 818.18 Value) 2 600 495.87 2 600 495.87 在用时间价值模型公式(2)计算现值，用公式(3)计算净 3 700 525.92 3 500 375.66 现值和用公式(4)计算未来值时，时间价值体现在折现率k,和 4 800 546.41 400 273.21 利率，上。实际上，当时间价值发生变化时，相应的值也发生 总计 s2600 $2022.75 总计 82400 $1962.92 变化，而且有时对时间价值变化的反应是很灵敏的。下面对
第1章货币时间价值方法7 NPV进行分析。一般地，若CF,>0,则当折现率k,增大时， 例如，以A和B两个投资项目为例，在两种折现率25%和10% NPV减小：反之k,减小时，NPV增大，即NPV与k,反向变化。 的情形下，计算结果见表1-1-4。 表1-1-4 折现率为10%和25%时的现值 投资A 投资B 时间 现金流量 10%时的PV 25%时的PV 时间 现金流量 10%时的PV 25%时的PV s500 454.55 400.00 1 8900 818.18 720.00 2 600 495.87 384.00 2 600 495.87 384.00 3 700 525.92 358.40 3 500 375.66 256.00 4 800 546.41 327.68 4 400 273.21 163.84 总计 82600 S2022.75 s1470.08 总计 82400 s1962.92 81523.84 NPV 822.75 270.08 NPV 762.92 323.84 从NPV看，k=10%时，A投资的NPV高于B投资的NPV。 NP。 但是，k=25%时，A投资的NPV(s270.08)低于B投资的NPV 随着折现率的变化，A投资先优于B投资，后劣于B。这 (S323.84)。所以，当机会成本为10%时，A投资优于B投 种情形并不是一种普遍现象。一个典型的例子是：若对于每 资，当机会成本为25%时，B投资优于A投资。由此可见，不 期期末，投资C的现金流均低于投资A的现金流，则无论折现 仅单个项目对折现率的变化敏感，而且在对两个项目进行比 率怎么变化，A投资总是优于C投资。这种情形称为A投资后 较时，其结果对折现率变化也是敏感的。 优于C投资。 进一步讨论当折现率从0连续变到40%时，将结果在图 图1-1-4中的曲线是向下倾斜的。如果CF,不恒为正 中描出可得到如图1-1-4的净现值曲线。 值，NPV关于折现率k的曲线有可能不是向下倾斜的，见表1 -1-5和图1-1-5。 NPV 表1-1-5 投资D的现金流序列 1600 时 间 现金流 项目A 1400 0 -s1600 1200 项目B 1 10000 1000 2 -10000 800 600 NPV 400 200 1000 0 500 0.050.10.150.20.250.30.35 0.4k 折 200 0 -500 图1-1-4NPV对折现率的敏感性 从图1-1-4中可以看出，当折现率约为15%时，两者的 -1000 NPV相等。当折现率低于15%时，A投资的NPV高于B投资 -1500 的NPV,从而A投资就优于B投资：当折现率高于15%时，则 刚好相反。 产生上述结果的原因可从对两者现金流序列的结构 图1-1-5NPV对折现率的敏感性 的分析中得出。对于投资A,其现金流随时间的后移呈增 大趋势，而投资B刚好相反。当我们考虑时间价值时，随 复贴现法(Compound Discount Method)】 着折现率的增加，离现期近的现金流在NPV中占的比重逐 复贴现法是计算现值的方法，分复利率贴现法和复贴现 渐增加，离现期远的现金流在NPV中占的比重逐渐减少， 率贴现法。 同样是使NPV下降，A投资的NPV下降速度高于B投资的 复利率贴现法(Compound Interest Rate Discount Meth- od)由复利终值公式F=P(1+)'可得计算贴现值公式： 速度，从而自某一点开始，A投资的NPV低于B项目的
8第一篇金融定量分析方法 P=- F 式中，P一贴现额； (1+i) F一票面金额： 式中，P—贴现额： —复贴现率： F—票面金额： t一计息期数。 一复利率： 显然，分别用以上两种方法求得的票据的贴现额相等时，定有 t一计息期数： r=io 1 一复利贴现系数。 (1+) 复利计息期数的计算(Interest Period of Compound 复贴现率贴现法(Discount Method of Compound Discount Rate)以到期值为准，以此数额用复利法计息，并先扣除的 Interest) 方法为复贴现率贴现法。其计算公式是： 如果已知复利终值F,现值P,利率i,则可由复利终值公 P=F(1-r)' 式F=P(1+i)'得到计算期数的公式： 式中，P一贴现额： IgF-IgP 1= 1g(1+i) F一票面金额； 例如，终值F=1000,现值P=900,月利率i=10%c,每月 一复贴现率； 复利一次，则计息期数为： t一计息期数。 1=000-1900=10.5886个月（即10个月18天） 1g(1+10%c) 复贴现法等值率(Equivalence Rate of Compound Discount Method)】 计息期数为非整数的复利终值和现值(Compound 设票据的到期值为F,贴现日至到期日的计息期数为t。 Final and Present Value of Non-integral Interest Pe- 如果分别用复利率贴现法和复贴现率贴现法求得的贴现额都 riod) 是P,那么这时的复利率i和复贴现率，对贴现息来说是等价 当计息期数t为非整数时，复利终值公式F=P(1+i)'和 的，我们称这种率值等价关系为复贴现法等值率，其数学表达 式是： 复利现值公式P= F1十)也是适用的。这种计算计息期数为 i二1-r 非整数的终值与现值的方法称为终值与现值的准确算法。例 如，若年利率为10%，每年复利一次，则两2零3个月后1000 i r二1+i 元的终值是： 由上式可看出，总有： F=1000×(1+10%)25=1239.18(元) 2年零3个月前的现值是： F(1-r）'=(1+i订 1000 P=0+10%25=806.9(元) i>r 实际上，准确法并不常用。常用的方法是复利法计算最接 连续复贴现法(Continuous and Compound Discount 近的整数计息期部分，再用单利法计算不足一个计息期以内 的部分利息。这种计算计息期数为非整数的终值与现值的方 Method) 法称为终值与现值的近似算法或实用算法。其计算公式是： 计算现值的方法，分连续复利率贴现法和连续复贴现率 贴现法。 F=P(1+i)0[1+(t-[t])] 连续复利率贴现法(Continuous and Compound Interest Rate F P=a+i1+(0+1-) Discount Method)由连续复利终值公式F=Pe可得连续复利 式中，F一终值： 率贴现法计算贴现值公式： P一贴现值： P=Fe-h 一利率： 连续复贴现率贴现法(Continuous and Compound Discount —一非整数计息期数； Rate Discount Method)由复贴现率贴现法计算现值公式P= [t]一1的整数部分： F(1-r)'可知，若每年复贴现m次，则贴现值为： t-[]一t的正纯小数部分，0<t-[]<1。 P=-) 用实用算法可算得上例中，两年零三个月后1000元的终 当每年贴现次数m→∞时，则贴现值为： 值是： F=1000×(1+10%)2×(1+0.25×10%）=1240.25(元) P-limp-im()=Fe 2年零3个月前1000元的现值是：
第1章货币时间价值方法9 (1+10%)×(1+0.75×10%)=807.66(元) 1000 P= 称为年金额。自第一次支付期间开始到最后一次支付期间终 了的时期，称为年金时期。每期末支付的年金，称为普通年 金，或期末付年金。每期初支付的年金，称为期初年金。 特殊现金流评价(Specific Cash Flow Evaluation) 我们在时间价值分析模型中得到了一般现金流的评价 年金终值(Final Value of Annuity)】 计算方法。为了便于使用，人们编制了在不同折现率下1个 即各期支付的年金在年金时期终了时的终值之和，称为 单位期末值所对应的现值表，即现值系数表。尽管如此，当 年金终值。有单利年金终值和复利年金终值两种情况。 较大时，人工计算仍然十分麻烦。因此，便引出了年金的概 单利年金终值(Simple Interest Final Value of Annuity) 念。 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共1期，以单利计息，则 所谓年金(Annuity)是指满足下列4个条件的现金流序列： 各期支付的年金在年金时期终了时的本利和总额称为单利年 1.现金流量大小固定不变，时间间隔固定（一般指每年支 金终值。单利年金终值又可分为单利普通年金终值和单利期 付一次现金)： 初年金终值两种情况： 2.支付期限为有限期： (1)单利普通年金终值。每期年金的本利和如表1-1-6 3.从第一期末开始支付，每期期末支付现金： 所示。 4.对所有的现金流，其折现率相同。 表中最后一行是各期年金终值，其和就是单利普通年金 根据以上条件，用等比级数求和公式不难算出期限为n 终值： 期，折现率为k,现金流量为CF(因为CF,为常数，故省去t)的 F=A+A(1+i)+…+A[1+(t-2)i]+A[1+(t-1)i] 年金现值，记为PVA: PVA CF.I-(1+k) =4[1+专(t-1)i] (1) k 表1-1-6 相应地，在利率为r的条件下，年金的未来值(FVA)可用 期 数 1 2 公式(2)计算： FTA=CF.1+)"-1 每期末年金 A A (2) t期末终值 4[1+(t-1)]4[1+(t-2)i] A(1+i) 最后，考虑一个特殊情形：某项投资预期有无限期的现金 流，而且其现金流以一固定增长率g增长，现金流的产生时间 (2)单利期初年金终值。每期年金的本利和如表1-1-7 间隔固定，所有的现金流用同一折现因子进行折现，则由无穷 所示。 等比级数求和公式可求得其现值为： 表中最后一行是各期年金终值，其和就是单利期初年金 WV.C (3) 终值： F=A(1+i)+A(1+2i)+…+A[1+(t-1)]+A(1+i) 这就是所谓的固定增长模型(The Constant Growth Mod- l)。因为由第一期现金流CF,和增长率g可推得所有其他各 =41++1)月 期的现金流，因此(3)中只出现CF,。 表1-1-7 在公式(3)中，当g为零时，即是“零增长模型”(The Zero 乡 华 2 Growth Model)。当g取零值时，相应的现金流是终身年金 (Perpetual Annuity),此时，现值可由(l)式取n趋于无穷大或 每期初年金 A A A 由(3)式取g=0相应地得出： t期末终值 A(1-t) M[1+(t-1)i] 4(1+2)M(1+i) Py =CF k (4) 复利年金终值(Compound Interest Final Value of Annuity) 这个公式虽然十分简单，但它具有深刻的经济意义。它 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共t期，以复利计息，则 对评价诸如固定红利的优先股之类的终身年金十分有用，同 各期支付的年金在年金时期终了时的本利和总额称为复利年 时也广泛地用于对永久性固定附息息票债券的定价。 金终值。又可分为复利普通年金终值和复利期初年金终值两 种情况。 年金(Annuity) 1.复利普通年金终值。每期年金的本利和如表1-1-8 在一定时期，每间隔相等时间支付的金额，称为年金。例 所示。 如每月支付的房租，水电费、债券利息、股息、购货的分期付款 表中最后一行是各期年金终值，其和就是复利普通年金 等，都可称为年金。年金一般按固定利率计算利息。相邻两 终值： 个支付日的期间，称为支付期间。每一支付期间支付的金额， F=A(1+i)-1+A(1+i)-2+…+A(1+i)+A
10 第一篇 金融定量分析方法 =41+-1 表1-1-10 i 乡 数 2 t-1 表1-1-8 每期末年金 A A A A 乡 数 -1 各期年金 A A A 现值 1+i 1+2i 1+(t-1)i 1+ 每期末年金 A A +… A 2.单利期初年金现值。各期年金的现值如表1-1-11 :期末终值 A(1+i)- A(1+i)-2 A(1+i) 所示。 常把上式中1+'-山的称为年金终值系数，亦称等额分 表中最后一行是各期年金现值，其和就是单利期初年金 i 现值： 付本利和系数。由复利普通年金终值计算公式F=A A■ A (1+i)‘-1可得如下公式： i 表1-1-11 A=F)-1 i 期 数 2 4-1 此式的经济意义是，假如要在t年末筹集一笔款F,若 每期初年金 A A A A 利率为i,则按复利计算时每年应等额存入银行的款额应为 各期年金 A A A 现 1+i 1+(t-2)i 1+(t-1)i 4。式中的1+一称为年金储存系数，亦称资金存储系 复利年金现值(Compound Interest Present Value of Annui- 数。 y)若每期发生的年金额为A,每期利率为i,共t期，复利计 2.复利期初年金终值。每年年金的本利和如表1-1-9 息，则各期支付的年金在年金时期初的现值之和称为复利年 所示。 金现值。复利年金现值又可分为复利普通年金现值和复利期 表中最后一行是各期年金终值，其和就是复利期初年金 初年金现值两种情况。 终值： 1.复利普通年金现值。各期年金现值如表1-1-12 F=A(1+i)”+A(1+i)-1+…+A(1+i)2+A(1+i) 所示。 =A(1+)1+i)-1 表中最后一行是各期年金现值，其和就是复利普通年金 现值： 表1-1-9 A A A A 期 数 2 P=++++…+1+)++) ++4+ =A1-1+) 每期初年金 A i 1期末终值 A(1+i)t A(1+i)t-1 1(1+i)2A(1+i) 表1-1-12 期 数 1 2 t-1 年金现值(Present Value of Annuity)】 每期末年金 A 年金现值即各期支付的年金在年金时期初的现值之和。 A A A 各期年金现值 分为单利年金现值和复利年金现值两种情况。 1+i (1+i) (1+)可 (1+i) 单利年金现值(Simple Interest Present Value of Annuity) 若每期发生年金额为A,每期利率为i,共1期，单利计息，则各 常把上式中】-(1+)二的称为年金现值系数，亦称等额 期支付的年金在年金时期初的现值之和，称为单利年金现值。 支付现值系数。 单利年金现值可分为单利普通年金现值和单利期初年金现值 两种情况。 由复利普通年金现值计算公式P=AL-(1+),得投资 i 1.单利普通年金现值。各期年金的现值如表1-1-10 回收值公式： 所示。 i 表中最后一行是各期年金现值，其和就是单利普通年金 A=P1-(1+i) 现值： 此式的经济意义是：假如为实施某技术方案需向银行贷 P=+中2+…+14d丽+=名 A A 款P,利率i,按协议要在t年等额偿还，则每年应偿还额为A。 白1+m 投资回收值公式中的， -(1+)称为资金回收系数，亦称资 金还原系数
第1章货币时间价值方法11 2.复利期初年金现值。各期年金现值如表1-1-13所示。 求年金支付期数t。根据复利普通年金终值公式F=A 表中最后一行是各期年金现值，其和就是复利期初现值： 1+-或复利普通年金现值公式P=A-口+)，利用 i A A A A i P=A+++++…+0+0+1+)四 对数，即可求得年金支付期数t和年金期限。一般地，由F或 =A(1+)1-(1+) P,I求得的支付期：不是整数。因此，需要调整最后一次支付 的年金金额，以使总和相等。常用下面两种方法调整： 表1-1-13 1.在最后一笔年金金额上加上一定数量的金额，使得各 期 数 0，。+ t-1 次支付的年金总和恰好等于年金终值F或现值P。 2.在最后一次正规支付之后，再求解出一笔较少的收尾 每期初年金 A A …… A 付款，并让它另占用一个新的计息期支付。在新增加的这个 A A A 各期年金现值 A (1+i) 0+)1+) 计息期里，因为原来已积累的年金终值能够再生息且此利息 总是超过结算金额，所以设想的那笔较少收尾付款就不必支 付了。 复利普通年金利率的计算(Compound Interest Ordi- nary Annuity Rate) 变额年金(Variable Annuity) 在许多投资活动中，真实利率往往是隐蔽的。为了比较 每期发生的年金不是常量，这样的年金称为变额年金。企 几个不同的投资方案，很有必要确定每个投资方案的实际利 业采用的分期分批不等额投资方式，即属变额年金。年金额 率水平，并据此做出投资决策。 的变动可分为下面3种情形： 在复利普通年金终值公式F=AL+'-上中，常要由F、 1.等差变动。每期发生的年金分别是A,A+d、A+2d, i :当d>0时，年金是递增的：当d<0时，年金是递减的。此 A和1来确定利率i,显然，用解高次方程F=A①+)'-山的 时普通年金复利现值和终值的计算方法是： 方法计算利率1是较为困难的，通常用线性插值法求出它的近 似解。具体步骤如下： ++0++ (1+) 1.选择适当的利率并由年金A进行试算，如果试算得到 ++4*…*4小 A 的年金终值小于实际终值F且差额较大，就用高利率再试算， *4+*+别 2d 3d 直到试算出一个小于且接近于实际终值F的终值F,把确定 F,的利率记为i1 2.再选择比i,大的利率并由年金A进行试算，如果试算 设 n=+a+a可*…*a时 A A 得到的年金终值大于实际终值且差额较大，就降低利率再试 算，直到试算出一个大于且接近于实际终值F的终值F:,把确 则B=A1-(1+i) 定F2的利率记为2： 设+华粉+分++名，提 d 2d 3d 3.把试算得到的马F,F代入线性插值公式： (1+i) 于 i=i*F+3(-4) 1+04+a+a++名：鼎 2d 求出利率i。 (1+i)回 为了使求得的利率i较为准确，常要求i2-i小于1%。 上面两式相减，得： 例如，若每月末存款250元，连续16个月，要使终值达到 识=4+a中+a可+…+ū++ d d d_(t-1)d 5000元时，则月利率应是多少？按以上方法可求得： i1=2.8%时，F,=4960.46 =d1-(1+)--1)4 (1+i) i2=3.0%时，F2=5039.22 则月利率为： 从而 B=d-*i)-d-1 “i(1+i) 4960.46 i=28%+4960.46+5039.22×(3.0%-28%） 所以 P=P +P2 =2.9% =A-1+出+a-+)-d,- i (1+i) 年金期限的计算(Calculation of Annuity Term) 有时要由年金终值F或年金现值P、年金金额A、利率i来 -++d+）
