第六篇 保险实务定量分析 保险(Insurance)一词是在17世纪从英国传入中国的。英女王伊丽 沙白在15世纪颁布的诏书中对保险作如下表述：“保险是将损害由少数 人的重负担变成多数人的轻负担。”这一古典定义高度概括了保险含义， 至今仍为各国保险业界所认同。 《中华人民共和国保险法》称保险“是指投保人根据合同约定，向保 险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生的事故因其发生所造 成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或 者达到合同约定的年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行为”。 保险一般可以划分为人身保险和非人身保险两大类。 保险公司是非银行金融机构，保险公司在某些方面具有与银行金融 机构相似的特点，特别是保险公司也具有融资的功能。但是，作为提供保 险产品服务的金融机构，保险公司的业务活动及经营管理又具有其特殊 性。本篇共收录可定量分析的保险词条509个。分为财产保险业务、人 寿保险业务、医疗保险业务、再保险业务、社会保险业务和保险公司经营 管理等六章来讨论
第1章财产保险业务1149 第1章 财产保险业务 财产保险(Property Insurance)是以被保险人财产及其有关利益作为保险标的的保险。或以造成财产经 济损失的赔偿责任作为标的的保险。 财产保险就其范围而言，可作狭义和广义之解释。狭义的财产保险，仅指物质财产作为保险标的的保 险。它包括处于相对静止状态下的财产物资，如楼宇、地产等，和处于流通过程中的财产物资，如汽车、船 舶、飞行器等。广义财产保险标的不仅包括物质财产，还包括与物质财产有关的经济利益，如预期利润、运 费、信用等，以及损害赔偿责任，如信用责任、公众责任、产品责任、职业责任等。我国《中华人民共和国财产 保险合同条例》第二条规定：“本条例所指的财产保险，包括财产保险、农业保险、责任保险、保证保险、信用 保险等以财产或利益为保险标的的各种保险。”可见，我国使用的财产保险概念，是指广义的财产保险，由于 保险业务包括财产保险和人身保险两大类别，因而习惯上人们又把财产保险视作人身保险之外的一切保险 业务的总和。 本章从个体风险入手，首先展开了一系列风险模型分析，通过分析出险频率与损失幅度的分布，研究出 险次数与每项损失大小的随机过程，之后分析损失分布状况以及损失分布与赔款的相互关系等：接下去进 行纯保贵和赔款准备金的精算分析：最后，对火险、机动车保险、水险、运输险、建工险和雇主责任险等具体 风险进行实务性分析。 个体风险(Individual Risk) 风险是以其变异性的大小进行度量的，因此度量风险水 方法分别为]和[X],侧风险集合的总损失为宫了 平的两个常用指标就是风险的方差和变异系数。方差反映 均值为E[立x]方差为@[立x]在没有保险的情况 了风险的绝对量，而变异系数反映了风险的相对水平。 下，保险人和被保险人所承担的风险如表6-1-3所示。 令X表示个体风险的随机损失，其均值为E[X],方差为 表6-1-3 没有保险时风险的转移情况 Va㎡[X]。在没有保险的情况下，保险人和被保险人所承担的 风险情况如表6-1-1所示。 被保险人承担的部分 保险人承担的部分 表6-1-1 没有保险时个体风险的转移情况 随机损失 0 被保险人承担的部分 保险人承担的部分 期望损失 =含 0 随机损失 0 期望损失 E[X] 0 方 差 方 Var[X] 0 如果风险集合中的所有个体风险都购买了全额保险，则 如果被保险人通过支付固定的保费E[X]将随机损失X 保险人和被保险人之间的关系如表6-1-4所示。 转移给保险人（这里暂且忽略附加保费和利率等因素），则保 表6-1-4 购买保险时风险的转移情况 险人和被保险人所承担的风险情况如表6-1-2所示。 被保险人承担的部分 保险人承担的部分 表6-1-2 购买保险时个体风险的转移情况 随机损失 2x,-2E[x] 被保险人承担的部分 保险人承担的部分 随机损失 E[X] X一E[X] 期望损失 EX)=EX) 0 期望损失 E[X] 0 方差 0 Var[X] 差 >Var[X.] 从表6-1-2可以看出，被保险人通过支付固定的保费 当被保险人只是将其随机损失的一部分转移给保险人 E[X],将其随机损失X的变异性Vr[X]全部转移给了保险人。 时，情况会变得更加复杂。 风险集合(Risk Aggregaeion) 相对风险(Relative Risk) 对于由n个相互独立的风险所组成的集合，风险的转移也 当许多相互独立且具有相同损失特性的个体风险聚合 可作同样的数学描述。令X为第i个风险的随机损失，均值和 成风险集合时，风险集合的相对变异性要小于个体风险的相
1150第六篇保险实务定量分析 对变异性。在这里，我们通过随机损失的变异系数来反映风 方差分别为E{E[XIr]Ir∈A}和VarE[XIr]Ir∈A。 险的相对变异性。方差反映了风险的绝对量，而变异系数则 其中均值还可进一步化简为 可以反映风险的相对水平。随机损失X的变异系数c:被定 EE[X I r]rEA=E[X I A] (1) 义为标准差War[X丁与均值E[X,]之比，即 上式表明，从风险集合A中随机抽取的个体风险，其期 ce = Narx]a 望损失的期望等于风险集合A的期望损失。由于风险集合A E[X,] (1) 的期望损失E[X丨A]是可以估计的，因此随机个体风险的期 式中u一个体风险X的均值： 望损失的期望E{E[XIt]IT∈A}也是可以估计的。但是， σ2一个体风险X的方差。 个体风险的期望E[XI]是难以估计的，因此随机个体风险 因此，保险的第3条原理也可表述为c[∑X]< 的期望损失的方差Var{E[XIt]Ir∈A}也是难以估计的。 随机个体风险的方差Var[XIr]也是一个随机变量，其 c[X],其中c[∑X]是n个独立风险之和的变异系数， 均值和方差分别为E{Var[XIr]reA}和Var Var[XIr]r cw[X]为第i个风险的变异系数。 eA}。 n个独立同分布随机风险X1,X.之和的均值和方差分别为 E[∑X]=∑E[X]=nE[X]=nu (2)互助性保费(Mutual Premium) 和 如果保险人按照风险集合A的期望损失E[XIA]收取 Var[∑X]=nar[X]=no2 (3) 保险费，那么从总体上看，保费水平是合理的，但对个体风 险而言，平均主义的保费制度可能隐含着相当的不公平性。 从而对于n个具有相同损失特性的独立风险所组成的 个体风险缴纳的合理保费应为E[X!r],因此当其缴纳平 风险集合，其随机损失的变异系数为 均保费E[X丨A]时，他事实上缴纳了互助性保费E[XI c(∑x]:√ar] A]一E[XI]。互助性保费可正可负。若互助性保费大于 E[∑X] 零，则意味着该个体风险缴纳了高于其实际风险水平的保 VnVar[X,] 费：若互助性保费小于零，则说明个体风险在保费上得到了 nE[X (4) 其他投保人的补贴。当个体风险的互助性保费为零时，则 =c] 按照风险集合A的期望损失E[XIA]收取保费，对于这一 个体风险而言是公平的。互助保费的大小反映了被保险人 上式表明，n个独立同分布随机变量之和的变异系数是 之间相互依赖相互补贴的程度，它在稳定保险市场方面有 单个随机变量的变异系数的√n分之一。如果上述n个相互 着十分重要的意义。 独立的随机变量具有不同的分布形式，则可以证明，随机变 量之和的变异系数要小于单个变异系数的某种加权平均数。 风险子集(Risk Sub-analysis) 这一结论对相关程度不高的n个随机变量也是近似成立的。 令S是风险集合A中的风险子集，其损失分布的均值和 因此，对于个具有相近分布形式、相关程度较低的随机变 方差分别为E[XIS]和Vr[XIS]。对于风险子集S,随机 量，上式也能提供一个合理的近似结果。 个体风险的期望损失的期望等于风险子集S的期望损失，即 E{E[XIr]Ir∈A=E[XIS] (1) 由于上式是对随机个体风险的期望损失关于风险子集S 风险集合的损失分布(Lost Distribution of Risk Ag- 求期望，所以结果不等于风险集合A的期望损失，而等于风 gregation)】 险子集S的期望损失。 对于风险集合A,其损失分布的均值和方差可分别表示 如果将风险集合A分解成若干个互不相交的风险子集， 为E[X1A]和Var[XIA]。当风险集合A足够大时，对 每一个个体风险r属于且仅属于一个风险子集，则从风险集 E[XIA]和Var[XIA]可分别估计如下： 合A中随机抽取的个体风险必然对应着一个风险子集。这 可14)： (1) 一风险子集也可以看作是随机抽取的，因此其期望损失是一 n 随机变量。若把风险子集的期望损失看作是一个随机变量 axIA利-9_∑g 并对其求期望，则有 (2) n EE[X I S]SEA=E[X IA] (2) 风险子集的期望损失的期望等于风险集合的期望损失。 随机个体风险的损失分布(Lost Distribution of Random Individual Risk) 均值分解(Mean Value Analysis) 如果从风险集合A中随机抽取个体风险，则称r为随机 对于给定的个体风险ī，其期望损失可分解为 个体风险，随机个体风险的期望损失E[X丨]可以看作是一 E[X I]=E[XI A]+(E[X I S]-E[X I A]+ 个随机变量，它有自己的分布函数。这一分布函数的均值和 E[X I ]-E[X I S]) (1)
第1章财产保险业务1151 由此可见，个体风险的期望损失可以表述为下述三项 之和： k(∑X)=E[∑X-(∑x)] 1.风险集合A的期望损失，它确定了风险集合的一般保 =[∑(x-x)] (2) 费水平： 2.风险子集S的期望损失与风险集合A的期望损失之 =∑E[X-E(X)]3 差，它是风险分级所形成的保费差异： =43 3.个体风险的期望损失与风险子集的期望损失之差，这 在E[∑(X-EX)]萨的展开式中，除三次方项E[X- 一部分形成互助性保费。 E(X)]3以外，其余各项的期望值为零。因此n个独立同分 布的随机变量之和的偏度系数为 方差分解(Square Deviation Analysis) 根据条件方差的性质，如果风险集合A由若干个风险子 Y= 集S构成，则风险集合的方差可以分解为 （√/ar[∑x]） Var[XI A]E Var[X I S]I S E A+ (3) Var{E[XIS]IS∈A} (1) o'n n 同样，风险子集的方差可分解为 =Y Var[X I S]=E Var[X I r]l reS+ n VarE[XI r]lr E S (2) 由此可见，个独立同分布的随机变量之和的偏度系数 将(2)式代入“相对风险”式(1)即得 随着的变化呈反方向变化，这一结果与变异系数是相类似 Var[X I A]EE[Var(XI r)I r E S]S E A+ 的。这就说明，风险集合包含的相互独立的个体风险越多， E Var[E(XI r)I r E S]I SE A+ 其损失分布的变异性和非对称性就越小，少数巨灾风险对风 VarE[XI S]I S E A (3) 险集合的影响也就越小，从而对保险公司的经营稳定性就越 =E[Var(XIr)Ir∈A]+EVam[E(XIr）I 有利。 TeS]IS∈A}+VarE[XIS]IS∈A 由此可见，风险集合的方差可分解为下述三部分之和： 同质性保单组合的索赔次数模型(Claim Frequency 1.在风险集合内，个体风险的方差的平均数，它是不可 Model of Homogeneous Policy Combination) 观察的，代表着风险的内在变异性，是保险赖以存在的基础： 所谓同质性是指一个保单组合中每份保单具有相同的 2.在风险集合内，风险子集的方差（即风险子集内不同索赔频率，且各自相互独立。由于个体保单的风险事故属于 个体风险之间的方差)的平均数，它代表着不同个体风险之稀有事件，因此可以假定它的索赔次数过程N()具有如下 间的变异性，在费率结构中没有得到具体体现，因此也造成特性： 互助性保费的变异性； 1.在时间起点，它的索赔次数为零，即N(0)=0。 3.在风险集合内，各个风险子集之间的方差，它代表着 2.在一个足够短的时间区间内，最多只能发生一次索 不同风险子集之间的变异性，费率结构就是这种变异性的具 赔，且发生一次索赔的概率与此时间区间的长度成正比，而 体体现。 发生两次或两次以上索赔的概率是时间长度的高级无穷小 量，即 偏度系数(Biased Exponent) P N(t)=1 At+o(1) 偏度系数反映了损失分布关于均值不对称的程度，它的 P{N(t)=0}=1-At+o(t) (1) 大小受到巨灾风险的影响。随机变量X的偏度系数被定 P{N(t)≥2}=o(t) 义为 3.在两个不相交的时间区间内发生的索赔次数相互独 y=4,/a3 (1) 立，也就是说，N(t)是一平稳独立增量过程，有 式中4，=E[X-E(K)]3一X的三阶中心矩： p{N(t,1+s)=k}=PN(s)= (2) 一X的标准差。 且N(s)与N(t,t+s)相互独立。 对于对称分布（譬如正态分布），偏度系数为零：对于右 可以证明，满足上述三个条件的随机过程为泊松过 偏分布，偏度系数大于零：对于左偏分布，偏度系数小于零。 程，有 非寿险中的大多数损失分布属于右偏型的，即有较长较厚的 P10===0.1,2. (3) 右尾。 如时间长度为1，即令t=1,则上式可简化为 n个独立同分布的随机变量之和的偏度系数是单个随机 变量的偏度系数的1/Wn。这是因为，n个独立同分布的随机 PN=对=行 (4) 变量之和的三阶中心矩为： 由此可见，在一个单位时间内，同质性保单组合的索赔
1152第六篇保险实务定量分析 次数服从参数为入的泊松分布。 保单组合存在某种程度的非同质性。而且方差越是大于均 泊松分布具有如下特性： 值，这种非同质性越严重。这从混合泊松分布的方差与均值 (1)m个相互独立且参数分别为入，的泊松随机变量之 的差项Var(A)很容易看出，因为Var(∧)正是反映保单组 和仍然服从泊松分布，参数为∑A:。但这并不意味着m个 合非同质性程度的结构函数的方差。 相互独立的同质性保单组合的集合的索赔次数仍服从泊松 逆高斯结构函数：泊松一逆高斯模型(Contradictory 分布，因为这个保单集合有可能是非同质的，除非原m个同 Goss Structure Function:Poisson -Contradictory 质性保单组合的索赔频率相等。这里需要强调的是，所谓保 单组合的索赔次数分布是指此保单组合中发生k(k=1,2, Goss Model) 逆高斯分布的密度函数为： …)次索赔的保单数，或者是从此保单组合中随机抽取的一 份保单发生k-1次索赔的概率。 wep)-te-a2] r>0,β>0 (2)泊松分布的均值和方差都等于入，分布参数入的矩 (1) 估计和极大似然估计都是其样本均值X。偏数系数y随着入 相应的泊松一逆高斯分布的概率函数为 的增大逐渐减小，其中y=1/W。 B=脚{-合1+29-} 伽玛结构函数：负二项分布模型(Gamma Structure 月后么浩(9刿 2」 Function Negative Binomial Distribution Model) k=1,23,… (2) 在假定一个保单组合的泊松参数A服从参数为（α，B)的 泊松一逆高斯分布与负二项分布一样也有两个参数，其 伽玛分布的前提下，从此保单组合中随机抽取的任意一份保 均值、方差和偏度系数分别为 单在单位时间内发生k次索赔的概率为 均值μ=r (3) u(A)da (1) 方差G2=r(1+B) (4) 偏度系数y=o[32-2μ+3g二】 (5) =(作+e广( a>0,B>0 其中y就是结构函数一逆高斯分布的均值，方差大于均 此即负二项分布的概率函数。其均值、方差和偏度系数 值的差项yB就是逆高斯分布的方差。 分别为 泊松一逆高斯分布参数的矩估计为 均值u= (2) 子=元 (6) B a=黄-1 (7) 方老d=合1+合) (3) 泊松一逆高斯分布参数r的极大似然估计仍然是？=元 偏度系数y=3{3o2-2μ+2(2-u)2} (4) 参数B的极大似然估计是下述方程的正解 若令x和2分别为样本均值和样本方差，则负二项分布 参数的矩估计为 7@- (8) a=- (5) 式中，T(B)—(1+28)n (6) Te1+k-1B+7ie] k=1,2,… 泊松一逆高斯分布与负二项分布的一个相似性质是对 参数的极大似然估计为B=兰，其中α是下述方程 卷积运算的封闭性，即若N,服从参数为(，，β)的泊松一逆高 的解： 斯分布，且相互独立，则∑N,也服从泊松一逆高斯分布，参 i 含（日++含+）) 数为（立，B)。同样地，若N服从参数为(a,B)的负二项分 由于负二项分布是泊松公布在伽玛分布作为结构函数 时的混合分布，因此它属于混合泊松分布。混合泊松分布的 布，且相互独立，则∑N也服从负二项分布，参数为 一个显著特点是其方差大于均值，即 方差2=Var(A)+E(A) 均值μ=E(∧) 式中，∧一泊松参数，代表结构函数的随机变量。 我们知道，泊松分布的均值等于方差，因此当保单组合 的索赔次数观察分布的样本方差大于其均值时，即可断定此
第1章财产保险业务1153 离散型结构函数：二元和三元风险模型(Dispersion 表6-1-6 索赔次数的拟合值：泊松分布 Construction Function Binary and Ternary Risk 索赔次数k 观察值nk 拟合值 Model) 0 96978 96689.6 假设保单组合由两种类型的风险构成，其中高风险的保 1 9240 9773.5 单（泊松参数为入，）占α，低风险的保单（泊松参数为入2）占 2 704 493.9 a2,且α，+a2=1,则从保单组合中任意抽取的随机个体保单 3 为 16.6 的索赔次数分布为 4 9 0.4 >4 0 0 k=0,1,2,…(1) 合计 106974 106974.0 二元风险模型有4个未知参数，可用如下方程组求得其 从表6-1-6可以看出，这一拟合结果不甚理想，在x 矩估计值： 检验中被拒绝，因为计算值x2=191.41大于查表值x.。5= [a+a=1 5.991。这表明此保单组合是非同质的。 01入1+C2A2=1 2.负二项分布。若令负二项分布的均值和方差分别等于 (2) a(A+入1)+a2(A2+A2)=2 观察值x=0.1011和s2=0.1074,则可得参数的矩估计值为 1(A+3A7+A1)+a2(A2+3A径+A2)=a 2 其中α，2，a3为各级样本原点矩。当然，极大似然估 a=-i =1.6049 计值也是容易求得的。 =15.878 B-x 同理，假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风 参数的极大似然估计值为 险的保单（泊松参数为入1）占α，中等风险的保单（泊松参数 &=1.6313,p=16.1384 为A2)占2，低风险的保单（泊松参数为入，）占am,且a1+ 用负二项分布的拟合结果如表6-1-7所示。 %2+a=1,则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索 赔次数分布为 表6-1-7 索赔次数的拟合值：负二项分布 Aie-a Aie-2 索赔次数k 观察值k 拟合值（矩估计）拟合值（极大似然估计） P=a++ k=0.1,2.… 0 96978 96985.5 96980.8 (3) 9240 9222.5 9230.9 三元风险模型的参数估计与二元风险模型类似。 2 704 711.7 708.6 表6-1-5给出了一家保险公司1976年汽车第三者责 43 50.7 50.1 任保险索赔的观察分布。它包括106974辆被保险汽车，每 4 9 3.6 3.4 辆汽车签订一份保单，因此保单数也就是被保险的汽车数。 >4 0 0 0.2 每辆汽车的保险责任都是1976年全年，即没有中途退保的汽 合计 106974 106974.0 106974.0 车，也没有未及时续保的汽车。从表6-1-5的数据容易计 从表6-1-7可以看出，与泊松分布相比，负二项分布的 算出索赔次数的均值为x=0.1011.方差为s2=0.1074。 拟合效果较好。 表6-1-5 索赔次数的观察值 3.泊松一逆高斯分布。泊松一逆高斯分布参数的矩估 计值为 索赔次数 保单数nk f=0.101081,p=0.062979 0 96978 极大似然估计值为7=0.101081，B=0.062698。 1 9240 泊松一逆高斯分布的拟合结果如表6-1-8所示。 2 704 表6-1-8 索赔次数的拟合值：泊松一逆高斯分布 3 43 索赔次数k 观察值d 拟合值（矩估计）拟合值（极大似然估计） 4 9 0 96978 96979.8 96978.5 >4 0 9240 9238.2 9240.4 合计 106974 704 698.4 697.6 下面用各种索赔次数模型对此观察分布进行拟合。 43 53.0 52.9 1.泊松分布。泊松分布参数的矩估计和极大似然估计 9 4.2 4.2 >4 都是观察分布的均值，即无=0.1011。将这一估计值代入泊 0 0 0.4 106974 106974.0 106974.0 松分布的密度函数即得泊松分布的概率P.(k=0,1,2, 合计 ),用此概率乘以样本容量即得索赔次数的拟合值，如表 泊松一逆高斯分布的拟合效果也不错。 6-1-6所示。 4.二元风险模型。二元风险模型参数的矩估计值为
1154第六篇保险实务定量分析 a=0.0888,i,=0.3567 分布，Paretoe分布、对数伽玛分布和Weibull分布。 c2=0.9112,i2=0.0762 指数分布(ludex Distribution)假设某种随机事件在一 上述结果表明，在这一组保单中，有8.88%是高风险的 定时期内发生的次数服从泊松分布，则相邻两次随机事件的 司机，索赔频率为0.3576：有91.12%是低风险的司机，索赔 间隔时间服从指数分布。指数分布的密度函数为 频率为0.0762。 f(x)=Ae x>0 (1) 二元风险模型的拟合结果如表6-1-9所示。 分布函数为 表6-1-9 索赔次数的拟合值：二元风险模型 F(x)=1-e x>0 (2) 指数分布是伽玛分布当x=1,B=A时的特例，因此有关 索赔次数k 观察值k 拟合值（矩估计） 性质可以参见关于伽玛分布。 0 96978 96975.0 伽玛分布(Gamma Distribution)假设某种随机事件在 9240 9252.2 2 704 685.0 一定时期内发生的次数服从泊松分布，则第，次随机事件发 3 43 56.9 生所需的间隔时间服从参数为(T,β)的伽玛分布，密度函 9 4.6 数为 >4 0.3 (3) 合计 106974 106974.0 若将，的取值范围从整数域推广到正实数域即得通常的 从表6-1-9可以看出二元风险模型的拟合效果较好。 伽玛分布，其密度函数为 八x)sEx a>0,B>0 (4) 索赔频率(Claim Frequency) (a)e 索赔频率是指每一危险单位在一定保险期限内（通常 伽玛分布的k阶原点矩为 A- 为1年)发生的期望索赔次数，可以通过索赔次数与危险单 E[X]= +i (5) 位数之比进行估计。假设保险公司承保的某个险种包含N d B 个危险单位，实际发生了次索赔，那么索赔频率的点估计 因此伽玛分布的均值和方差分别为 值则为 E[X]a/B (6) p n/N ar)-合 (7) 例：某保险公司1996年汽车第三者责任保险的有效保 伽玛分布的矩估计量为 单数如表6-1-10所示，假设1996年发生了10820次索赔， 试计算索赔频率的点估计值。 (8) m2-mi 表6-1-10 1996年各季初的有效保单数 B=- m (9) 时 间 有效保单数 m2 -mi 1996年1月1日 106954 对数正态分布(Logrithm Normal Distribution）假设随机 1996年4月1日 106988 变量X取对数后服从正态分布N(μ，2)，则X服从对数正态 1996年7月1日 107452 分布，参数为μ和σ。对数正态分布的密度函数为 1996年10月1日 107231 f(x)=- _(lnx-)2 1997年1月1日 107694 一exp{ 2rx 22 x>0(10) 根据表6-1-10的数据，可以首先计算各个季度的平均 分布函数为 有效保单数： )=。) (11) 第一季度： (106954+106988)/2=106971 式中，中(·)一标准正态分布函数。 第二季度： (106988+107452)/2=107220 对数正态分布的k阶原点矩为 第三季度： (107452+107231)/2=107342 E[X exp(uk +0.5) (12) 第四季度： (107231+107694)/2=107463 因此对数正态分布的均值和方差分别为 因此全年平均的有效保单数为 E[X]exp(u +0.52) (13) (106971+107220+107342+107463)/4=107249 Var[X]=exp(2μ)·exp(o2)·[exp(c2)-1](14) 索赔频率的估计值为 对数正态分布的矩估计量为 10820/107249=0.1009 μ=m'1,心=√m'2-m (15) 其中 损失理论分布模型(Loss Theory Distribution Model) 常见的损失分布模型有指数分布、伽玛分布、对数正态 m=(m) n
第1章财产保险业务1155 对数正态分布有一个很好的性质：设a和b是正实数，X k阶原点矩为 是参数为u和2的对数正态分布，则Y=a仍是对数正态 =(-合)B> (31) 分布，参数为u+lna和g2。 Paretoe分布(Paretoe Distribution)Paretoe分布的密度函 由此可见，对数伽玛分布只存在有限阶矩，这是由其密 数为 度函数的厚尾性所决定的。对数伽玛分布的均值和方差分 cB 别为 x)=(B+)丽 x>0 (16) (32) 分布函数为 F(x)=1- B (B+x) (17) a0-(g是广-(6品)》产B>2 (33) k阶原点矩为 α和B的矩估计量为 m'经 a s- m'2-m'月 ELX]-B'k/(a-i) k1 (19) 其中 aB ar[x=(a-1产(a-2 a>2 (20) m,=i1,2 n Paretoe分布的矩估计量为 2(2-m) 损失分布模型的通货膨胀影响(Inflation Effect of = (21)） m2-2m Loss Distribution Model) m m2 B=- (22) 若令X代表历史损失额的随机变量，Y代表模型应用时 m2-2m 期损失额的随机变量，为前后两期之间的通货膨胀率，即Y 其中 =(1+)X,则X与Y的分布函数之间存在如下关系： m,=立 F(y)=P[Y≤y] 分n =P[(x)X≤y] (1) 可以证明，当均值μ=E[X门保持不变，并令a→时，Pa retoe分布收敛到指数分布，分布参数为l/μ。参数为(a,B) =Px≤+] 的Paretoe分布乘以正实数c之后仍然服从Paretoe分布，相 应的分布参数为（α，B)。 J Weibull分布(Weibull Distribution)Weibull分布的概 如果X为连续型随机变量，则X与Y的密度函数之间有 率密度函数为 如下关系： f(x)=crx"-exp(-ex'),c >0,T >0 x >0 (23) (2) 分布函数为 )=, F(x)1-exp(-cx') (24) =(制 Weibull分布的k阶原点矩为 E[X]=cr(/灯+1)k=1,2,… 根据X与Y之间的上述关系式，容易由X的分布函数求 (25) 得Y的分布函数。事实上，除对数伽玛分布以外Y=(1+r)X 因此均值和方差分别为 具有与X相同的分布形式，只是分布参数有如表6-1-11 E[X]=cT(1/F+1) (26) Vam[X]=c2[r(2/x+1)-r2(1/x+1)](27) 所示的变化。 关于τ的矩估计方程为： 表6-1-11 通货膨胀对理论分布模型的影响 lnT(1+2/r)-2lnT(1+1/x）-nm2+lnm1=0 分 布 X的分布参数 Y=(1+r)X的分布参数 (28) 对数正态 μ，r 4+ln(1+r）,c Paretoe c的矩估计为 a,B a,(1+r)B 伽玛 e=[I1+] a,B a,B/(1+r) (29) 对数伽玛 a,B 非对数伽玛 m Weibull c.T c/(1+r)1,T 对数伽玛分布(Logrithm Gamma Distribution)对数伽玛 分布的分布函数为F(x)=T(a:lx),密度函数为 fx)=B(Int)a 复合分布(Compound Distribution) x8"r(a) ，a>0,β>0 (30) 索赔次数与赔付额的合成分布在统计学中称作复合分
1156第六篇保险实务定量分析 布。复合分布的名称通常采用原索赔次数分布的名称，譬如 额由游戏人抛掷骰子确定，骰子出现几点，游戏人即得几元 当索赔次数分布为泊松分布时，相应的复合分布被称作复合 钱。如果游戏人只能抛掷两次硬币，试确定游戏人所得的奖 泊松分布：当索赔次数分布为负二项分布时，相应的复合分 励金额服从什么分布？ 布被称作复合负二项分布。分析复合分布的目的是为分析 抛掷两次硬币，正面朝上的次数及其概率分别为 总赔付成本的分布。 正面朝上的次数 0 假设某保险人签发了两份保单A和B,每份保单可能发 1/4 1/2 1/4 生的损失额及相应的概率如表6-1-12所示。 每次奖励的金额服从如下分布： 表6-1-12 个体保单的损失额及其概率 奖励金额 1 2 3 4 5 6 6 概 率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 损失额 概率 损失额 概率 0 0.60 0 0.70 游戏人获奖结果的复合分布见表6-1-15。 2000 0.30 200 0.20 表6-1-15 游戏人获奖结果的复合分布 20000 0.10 2000 0.06 获奖金额 正面朝上的次数 20000 0.04 f(x) F(x) 0 1 2 根据表6-1-12可以求出，保险公司对这两份保单的总 0 4 1/4 36/144 赔付成本及其相应的概率如表6-1-13所示。 1/2×1/6 1/12 48/144 表6-1-13 保险公司的总赔付成本及其概率 2 1/2×1/6 1/4×1/36 13/144 61/144 3 1/2×1/6 1/4×2/36 14/144 75/144 总黯付成本 概 率 4 1/2×1/6 1/4×3/36 15/144 90/144 B A+B AxB 1/2×1/6 1/4×4/36 16/144 106/144 0 0 0 0.60 0.70 0.42 6 1/2×1/6 1/4×5/36 17/144 123/144 0 200 200 0.60 0.20 0.12 7 1/4×6/36 6/144 129/144 0 2000 2000 0.60 0.06 0.036 8 1/4×5/36 5/144 134/144 0 20000 20000 0.60 0.04 0.024 1/4×4/36 4/144 138/144 2000 2000 0.30 0.70 0.21 o 1/4×3/36 3/144 141/144 2000 200 2200 0.30 0.20 0.06 11 1/4×2/36 2/144 143/144 12 1/144 2000 2000 4000 0.30 0.06 0.018 1/4×1/36 144/144 2000 20000 22000 0.30 0.04 0.012 当所有个体风险的损失额具有相同的分布函数时，复合 20000 20000 0.10 0.70 0.07 分布的密度函数和分布函数的一般表达式分别为 20000 200 20200 0.10 0.20 0.02 20000 2000 22000 0.10 0.06 0.006 fx)=∑p.f(x) n0 20000 20000 40000 0.10 0.04 0.004 和 将表6-1-13相同的总赔付成本所对应的概率相加即 F)=A.·F() (2) 得总赔付成本的复合分布如表6-1-14所示。 n=0 式中，x一总赔付成本： 表6-1-14 复合分布 f(x)一总赔付成本为x的概率： 总赔付成本 概率 累积概率 F(x)一总赔付成本小于或等于x的概率： 0 0.420 0.420 P。一在一年内发生n次索赔的概率： 200 0.120 0.540 “(x)一在一年内发生n次索赔后总赔付成本为x 2000 0.246 0.786 的概率： 2200 0.060 0.846 F“(x)一在一年内发生n次索赔后总赔付成本小于 4000 0.018 0.864 或等于x的概率。 20000 0.094 0.958 f"(x)和F(x)通常称作f(x)和F(x)的n重卷积，其 20200 0.020 0.978 中x为个体风险的损失额∫(x)为个体风险的损失额等于x 22000 0.018 0.996 的概率：F(x)为个体风险的损失额小于或等于x的概率。 40000 0.004 1.000 复合分布函数(Compound Distribution Function) 如果抛 复合分布的n重卷积(Compound Distribution Mul- 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5。游戏 tiple Rolling Accumulation) 规则是，每出现一次正面朝上，游戏人可得一次奖励，奖励金 关于复合分布，n重卷积可以定义为，首先计算使得n次
第1章财产保险业务1157 索赔的总赔付成本为x的各种可能组合，然后将各种可能组 F“(x)=F*Fa-)(x) (2) 合出现的概率相加。 我们这里以游戏人抛掷三次骰子为例，试计算他的获奖 上述定义既适用于个体风险的损失额为同分布的情形， 金额服从什么分布。 也适用于非同分布的情形，对于两个不同的分布∫(x)和 若记一次抛掷结果的获奖金额服从概率函数为∫(x)的 g(x),它们的卷积可记为f(x)'g(x)。因此n重卷积也可 分布，则三次抛掷的获奖金额服从∫(x)的三重卷积。∫(x) 以分解为 的二重卷积在表6-1-15第4栏已得到，因此f(x)的三重 产“(x)=f*fa-)(x) (1) 卷积可以通过计算f(x)的二重卷积与∫(x)的卷积得到。具 和 体结果如表6-1-16所示。 表6-1-16 f(x)的三重卷积 f(x) 广2(x) f(x)"f2(x) f3(x) 1 1/6 1/6 1/36 3 1/6 2/36 1/6×1/36 1/216 4 1/6 3/36 1/6×2/36+1/6×1/36 3/216 5 1/6 4/36 1/6×3/36+1/6×2/36+1/6×1/36 6/216 6 1/6 5/36 1,/6×4/36+1/6×3/36+1/6×2/36+1/6×1/36 10/216 > 6/36 1/6×5/36+1/6×4/36+1/6×3/36+1/6×2/36+1/6×1/36 15/216 8 5/36 1/6×6/36+1/6×5/36+1/6×4/36+1/6×3/36+1/6×2/36+1/6×1/36 21/216 9 4/36 1/6x×5/36+1/6×6/36+1/6×5/36+1/6×4/36+1/6×3/36+1/6×2/36 25/216 0 3/36 1/6×4/36+1/6×5/36+1/6×6/36+1/6×5/36+1/6×4/36+1/6×3/36 27/216 11 2/36 1/6×3/36+1/6×4/36+1/6×5/36+1/6×6/36+1/6×5/36+1/6×4/36 27/216 12 1/36 1/6×2/36+1/6×3/36+1/6×4/36+1/6×5/36+1/6×6/36+1/6×536 25/216 13 1/6×2/36+1/6×2/36+1/6×3/36+1/6×4/36+1/6×5/36+1/6×6/36 21/216 14 1/6×2/36+1/6×2/36+1/6×3/36+1/6×4/36+1/6×5/36 15/216 的 1/6×2/36+1/6×2/36+1/6×3/36+1/6×4/36 10/216 16 1/6×2/36+1/6×2/36+1/6×3/36 6/216 公 1/6×2/36+1/6×2/36 3/216 18 1/6×1/36 1/216 下面我们给出卷积的数学定义。对于两个离散型的概 xe 率函数f(x)和g(x),它们的卷积厂g(x)被定义为 因此 fg(x)=∑fy)g(x-y) (3) F2(x)=2(y)d山 同样，两个连续型密度函数的卷积可定义为 =[yedy (7) fg(x)=fy)g(x-y)山 (4) =1-(1+x)e 应用Stieltjes积分，上两个卷积公式可表述为 计算复合分布的均值需要应用条件概率的一些结果。 若令N表示索赔次数的随机变量；X(i=1,2,…,N)表示 fg(x)=g(x-y)dF(y） (5) 每次赔付额的随机变量，且X,(i=1,2,…,N)独立同分布， 指数分布的二重卷积(Duplicate Rolling Accumulation of 则关于总赔付成本的随机变量可以表述为 Index Distribution)指数分布的密度函数为f(x)=e, S=X1+X2+…+X。 (8) x>0。由卷积的计算公式(4)式得 若记E[N]=n,E[X[X,]]=m,则有 E[S]=EE[SI N] fr2(x)=f)x-y)d西y =EINE[X, (9) E[mN] feve-(dy (6) nm 复合泊松分布的均值等于其方差，即E[N]=Var[N]= n,同时若令Var[X,]=c2,则有 Var[S]Var E[SI N]+E Var[SI N]