第三节竖曲线 1.定义 纵断面上两个坡段的转折处,为了便于行车用一段 曲线来缓和,称为竖曲线。 变坡点:相邻两条坡度线的交点。 变坡角:相邻两条坡度线的坡角差,通常用坡度值 之差代替,用ω表示,即 a1≈tga2-tga1=12 凹型竖曲线 G>0 凸型竖曲线 G<0
第三节 竖曲线 ⚫ 1．定义： ⚫ 纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 α1 α2 ω i1 i2 i3 变坡点：相邻两条坡度线的交点。 变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值 之差代替，用ω表示，即 ω=α2 -α1≈tgα2 - tgα1 =i2 -i1 凹型竖曲线 ω>0 凸型竖曲线 ω<0
2.竖曲线的作用 (1)其缓冲作用:以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。 (2)保证公路纵向的行车视距: 凸形:纵坡变化大时,盲区较大。 凹形:下穿式立体交叉的下线。 3.竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 抛物线的纵轴保持直立,且与两相邻纵坡线相切
⚫ 2．竖曲线的作用： （1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。 （2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 3. 竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切
竖曲线要素的计算公式 1.竖曲线的基本方程式:设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2抛物线竖曲线有两种可能的形式: (1)包含抛物线底(顶)部; (2)不含抛物线底(顶)部 2R 式中:R抛物线顶点 A B 处的曲率半径 BPD T T
一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）包含抛物线底（顶）部； （2）不含抛物线底（顶）部。 2 2 1 x R y = 式中：R——抛物线顶点 处的曲率半径 A B
竖曲线要素的计算公式 1.竖曲线的基本方程式:设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2抛物线竖曲线有两种可能的形式: (1)包含抛物线底(顶)部; (2)不含抛物线底(顶)部 x-十l1x 2k T T2 式中:k抛物线顶点 B 处的曲率半径; 竖曲线顶 (底)点处切线的坡度
A B x i x k y 1 2 2 1 = + 一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）包含抛物线底（顶）部； （2）不含抛物线底（顶）部。 式中：k——抛物线顶点 处的曲率半径 ； i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度
对竖曲线上任一点P,其切线的斜率(纵坡)为 P x k 当x=0时,in=i1; 当x=L时, P k 抛物线顶点曲率半径:k L 竖曲线半径R系指竖曲线顶(底)部的曲率半径。 若竖曲线包含抛物线顶点,则R=k 若竖曲线不包含抛物线顶点,则竖曲线半径指竖曲 线的顶(凸竖曲线)或底(凹竖曲线)部的曲率半 径。可按下面的方法计算:
对竖曲线上任一点P，其切线的斜率（纵坡）为 当x=0时，ip=i1； 当x=L时， 竖曲线半径R系指竖曲线顶（底）部的曲率半径。 若竖曲线包含抛物线顶点，则 R=k。 若竖曲线不包含抛物线顶点，则竖曲线半径指竖曲 线的顶（凸竖曲线）或底（凹竖曲线）部的曲率半 径。可按下面的方法计算：1 i k x dx dy i P = = + 1 2 i i k L i p = + = L i i L k = − = 2 1 抛物线顶点曲率半径：
抛物线上任一点的曲率半径为r, 2p3/2/ay dx ax 2 x k 抛物线上任一点的曲率半径r=k(1+i2)3/2 竖曲线底部的切线坡度i1较小,故i12可略去不 计,则竖曲线底部的曲率半径R为: R=r≈k 二次抛物线竖曲线基本方程式(通式)为 x+lIx 2R
抛物线上任一点的曲率半径为r， 抛物线上任一点的曲率半径 r = k（1+i2）3/2 竖曲线底部的切线坡度i1较小，故i 1 2可略去不 计 ，则竖曲线底部的曲率半径R为： R = r ≈ k 2 2 2 3/ 2 1 ( ) / dx d y dx dy r = + i, dx dy = dx k d y 1 2 2 = 二次抛物线竖曲线基本方程式（通式）为 x i x R y 1 2 2 1 = +
2.竖曲线诸要素计算公式 (1)竖曲线长度L或竖曲线半径R: L=X B L= Ro. R (2)竖曲线切线长T 因头N2物 L l Ro TI T 2 (3)竖曲线外距E: Le E 2R A AI
2 8 4 2 L T E R T E = ， = = 2．竖曲线诸要素计算公式 （1）竖曲线长度L或竖曲线半径R： L = xA - xB L L = R , R = （2）竖曲线切线长T： 因为T = T1 = T2，则 2 2 L R T = = i 2 A B （3）竖曲线外距E：
(4)竖曲线上任一点竖距h: h=P@=yp-yo +lx-lix 2R 2R 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h为: h (L-x) L 2R T2 h
i2 （4）竖曲线上任一点竖距h： R x i x i x R x h PQ yP y Q 2 2 2 1 1 2 = = − = + − = 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’为： R L x h 2 ( ) 2 ' − = h L-x h’
(3)竖曲线上任一点竖距h: h=P@=yp-yo +lx-lix 2R 2R 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h为: (L-x 2R 为简单起见,将两式合并写成下式, 2R 式中:x竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离, 与坡线的高影线上在点到切的级距,即影线上任点
（3）竖曲线上任一点竖距h： R x i x i x R x h PQ yP y Q 2 2 2 1 1 2 = = − = + − = 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’为： R L x h 2 ( ) 2 ' − = 为简单起见，将两式合并写成下式， R x y 2 2 = 式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离， y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差
竖曲线外距E: 上半支曲线x=T时: E 2R 下半支曲线x=T时 2R n由于外距是边坡点处的竖距,则E1=E2=E, 放T1=T,=T Ro Lo To E 或E 2R 4
竖曲线外距E： ▪ 上半支曲线x = T1时： R T E 2 2 1 1 = R T E 2 2 2 2 = 故 T1 = T2 = T 2 8 8 4 2 2 R L T E R T E = 或 = = = ▪ 由于外距是边坡点处的竖距，则E1 = E2 = E， ▪下半支曲线x = T2时：