第三节 第十二章 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 等HIGH EDUCATION PRESS
齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第十二章
一、 齐次方程 形如d业= 的方程叫做齐次方程 dx 解法令u=,则y=代， dy du =u+x dx dx du 代入原方程得 u+x =0(u) _dx dudx 分离变量 p(u）-ux 两边积分，得 du r dx p(u）-u 积分后再用y代替”，便得原方程的通解 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结味
一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.解微分方程y'=y+tanY 解：令u=y,则y=u+x,代入原方程得 u+xu'u+tanu 分离变量 cosu du= dx sinu x 两边积分 r coS u rdx "du= sinu 得 In sinu Inx+In C,sinu=Cx 故原方程的通解为sin二=Cx(C为任意常数) X (当C=0时，y=0也是方程的解) 等HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⑧
例1. 解微分方程 tan . x y x y y = + 解: , x y 令u = 则y = u + xu , 代入原方程得 u + xu = u + tanu 分离变量 x x u u u d d sin cos = 两边积分 = x x u u u d d sin cos 得 ln sin u = ln x + ln C , 即 sinu = C x 故原方程的通解为 C x x y sin = ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.解微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0 解：方程变形为业=2上-()户，令u=,则有 dx x u+x'=2u- 分离变量 du=_dx u2-u x 即(1-1)du=-d 2-12u 积分得■ n-=-lnx+1nC,即-）=C u 代回原变量得通解x(y-x)=Cy(C为任意常数) 说明：显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解，但在 求解过程中丢失了 等HIGH EDUCATION PRESS
例2. 解微分方程 解: 2 ( ) , d d 2 x y x y x y 方程变形为 = − , x y 令 u = 则有 2 u + xu = 2u − u 分离变量 x x u u du d 2 = − − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 代回原变量得通解 即 C u x u = ( −1) x ( y − x ) = Cy 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性，试求反射镜面的形状 解：设光源在坐标原点，取x轴平行于光线反射方向， 则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线MT, 由光的反射定律：入射角=反射角 可得 ∠OMA=∠OAM=C 从而 AO=OM 而AO=AP-OP=ycota-x= OM=x2+y2 于是得微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结
o y x 可得 OMA = OAM = 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y − = 2 2 OM = x + y T M A P y 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP −OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y − 2 2 = x + y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
利用曲线的对称性，不妨设y>0,于是方程化为 d=+1+( ”(齐次方程) d 令y=X,则x=w dx=v+y dv dy dv 2 =1+v1 dy 积盼得n(v+V1+v2)=ny-nC +1+= 故有 y2 2y/=1 C2 C (-2=1+2 代入=得=2C(x+) (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面！ 等HIGH EDUCATION PRESS 周金000
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, , y x 令 v = 2 1 d d v y v y = + y v v y y x d d d d = + ln (v 1 v ) ln y ln C 2 积分得 + + = − 故有 1 2 2 2 − = C y v C y 得 ) 2 2 ( 2 C y = C x + (抛物线) 2 2 ( v ) 1 v C y − = + 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y2=2C(x+) 说明： 若已知反射镜面的底面直径为d, 顶到底的距离为h,则将 x+C=h,y- 代入通解表达式得C= 3 8h 这时旋转曲面方程为 2+Ξ2 3 x+ 4h 16h 等HIGH EDUCATION PRESS
顶到底的距离为 h , h d C 8 2 = 说明: 2 ( ) 2 2 C y = C x + 则将 这时旋转曲面方程为 + + = h d x h d y z 4 16 2 2 2 2 h 若已知反射镜面的底面直径为 d , d 代入通解表达式得 ( , 0) 2 C − o y x A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
*二、可化为齐次方程的方程 dy ax+by+c (c2+c7≠0) dx ax+by+cl 1.当≠么时，作变换x=X+h,y=Y+k(h,k为待 a b 定常数)，则dx=dX,dy=dY,原方程化为 dY ax+bY+ah+bk+c dx ax+bY+ah+bk+c1 令Jah+bk+c=0 解出h,k Lah+bk+c =0 dY ax+bY (齐次方程 dx ax+bY 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 ( 0) 2 1 2 c + c 1. , 当 1 1 时 b b a a 作变换 x = X + h, y = Y + k 则d x = d X , d y = dY, 原方程化为 + a h + bk + c 1 1 1 + a h + b k +c 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束
求出其解后，将X=x-h,Y=y-k代入，即得原方 程的解 2当4==2时，原方程可化为 a b dy ax+by+c (b≠0) dx,λ(ax+by)+c1 令v=ax+by,则 x =atbdy dx =a+b_v+c d (可分离变量方程) dx Av+c 注：上述方法可适用于下述更一般的方程 dy =f( ax+by+c )(c2+2≠0) dx ax+by+c 等HIGH EDUCATION PRESS 周金0008
求出其解后, 即得原方 程的解. 2. , 当 1 = 1 = 时 b b a a 原方程可化为 1 d ( ) d a x by c a x by c x y + + + + = 令 v = a x + by, x y a b x v d d d d 则 = + 1 d d v c v c a b x v + + = + (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 ( 0) 2 1 2 c + c (b 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy x+y+4 例4.求解 dx x-y-6 yx=2=-5 解：令 h+k+4=0 得h=1,k=5 h-k-6=0 令x=X+1,y=Y-5,得 dy X+Y dx X-Y 再令Y=Xu,得 2 du= 1-u x 1+2u X 积分得 arctanu-jIn(1+u2)=In CX 代回原变量，得原方程的通解 等HIGH EDUCATION PRESS
例4. 求解 解: h + k + 4 = 0 令 x = X +1, y = Y − 5 , X Y X Y X Y − + = d d 得 再令 Y＝X u , 得 令 h − k − 6 = 0 得 h =1, k = 5 X X u u u d d 1 1 2 = + − 积分得 arctanu ln (1 ) 2 2 1 − + u = ln C X 代回原变量, 得原方程的通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束