第四节 第七章 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、 空间曲线的参数方程 三、 空间曲线在坐标面上的投影 等HIGH EDUCATION PRESS
第七章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 [F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如，方程组 2=a2-x2-y2 x2+y2-ax=0 表示上半球面与圆柱面的交线C. 等HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y表示成参数：的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的 参数方程 Z=z(t) 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot 令0=01，b= x=acos0 z=vt y=asin z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
z x y o 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . M 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.将下列曲线化为参数方程表示： 0/+2=1 =a2-x2-y 2x+3z=6 +y2-ax=0 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x=coSt y sint (0≤t≤2π) z=3(6-2c0s1) (2)将第二方程变形为(x-)2+y2=,故所求为 x=号+号c0s1 y=号sinl (0≤t≤2π) z=a cost HIGH EDUCATION PRESS -008 机动目录上页下页返回结束
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x=g(t) 例2.求空间曲线T: y=v(t) (α≤1≤B)绕z轴旋转 z=0(t) 时的旋转曲面方程 解：任取点M1(p(t),W(t),o(t)eT,点M绕z轴旋转， 转过角度0后到点M(x,y,z),则 x=vo-(t)+w2(t)cos0 a≤t≤B y=-(t)+w-(t)sine 0≤0≤2π z=0(t) 这就是旋转曲面满足的参数方程 》HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
例2. 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程
X三 例如，直线 y=1绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 z=21 x=V1+12 cos0 -00<t<+00 y=v1+12 sin 0≤0≤2π z=21 消去1和0，得旋转曲面方程为 4(x2+y2)-z2=4 等HIGH EDUCATION PRESS
例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x=asino 又如，x0z面上的半圆周 y=0 (0≤0≤π) z=acos 绕z轴旋转所得旋转曲面（即球面）方程为 x=asino cose 0≤0≤π y=asino sin 0≤0≤2π z=acos 说明：一般曲面的参数方程含两个参数，形如 [x=x(s,t) y=y(s,t) z=z(s,t) 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xoy面上的投影曲线C为 H(x,y)=0 2=0 消去x得C在oz面上的投影曲线方程 Ry,)=0 x=0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 T(x,z)=0 y=0 考HIGH EDUCATION PRESS
三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 = = 0 ( , ) 0 z H x y = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如， x2+y2+2=1 cx2+0-1+e-=1 在xoy面上的投影曲线方程为 Jx2+2y2-2y=0 2=0 等HIGH EDUCATION PRESS
z y x C 1 o 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C 机动 目录 上页 下页 返回 结束