第四节极限运算法则 经济数学一微积分
第四节 极限运算法则
、 极限运算法则 定理设imf(x)=A,img(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)川=A±B; (2) limf(x)·g(x)川=A·B; (3)1 mf(x)4 其中B≠0. g(x)B .lim f(x)=A,limg(x)=B. ∴f(x)=A+,g(x)=B+B.其中a→0，B→0. 由无穷小运算法则，得 经济数学一微积分
一、极限运算法则 定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
[f(x)±g(x川-(A±B)=±B→0.∴(1)成立. Lf(x)·g(x)】-(A·B)=(A+o)(B+B)-AB =(Aβ+Ba)+0B→0. .(2)成立. f(x)AA+aA Ba-AB g(x)BB+BBB(B+B) .B0-AB→0. 又：B→0，B≠0,38>0，当0B-B-网 2 经济数学—一微积分
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
:BB+9y>, 12 B(B+B)<B2,有界， ∴(3)成立. 推论1如果imf(x)存在，而c为常数，则 lim[cf(x)]=clim f(x). 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2如果Iimf(x)存在，而n是正整数，则 Iim[f(x)”=limf(x)". 经济数学一微积分
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
二、求极限方法举例 例1求im x3-1 x2x2-3x+5 lim(x2-3x+5)limx2-lim3x+lim5 x→2 x→2 x→2 x->2 =(limx)2-3limx+lim5 x→2 x→2 x→2 =22-3.2+5=3≠0， .'lim- x3-1 limx3 lim1 23-17 x→2 →2 2x2-3x+5lim(x2-3x+5)33 x→2 经济数学 一微积分
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =
小结：1.设f(x)=x”+a1x"-1+…+4,则有 limf(x)=a,(Iimx)”+a,(Iimx)"-1+…+an x→xo =ax"+ax,m-1+…+0n=fx, 2.设fe)=P,且2x,)≠0，则有 2(x) lim P(x) lim f(x)= P(xo)=f(xo). x→x0 lim 2(x)(xo) x→xo 若2(x)=0, 则商的法则不能应用. 经济数学—一微积分
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
3.设f(x)为基本初等函数，其定义域为D, 当x。∈D时，limf()=f(xo)h x→x 经济数学一微积分
当 时， 设 为基本初等函数 其定义域为 x D f x D 0 3. ( ) , , = → lim ( ) 0 f x x x ( ). x0 f
例2求lim 4x-1 1x2+2x-3 解lim(x2+2x-3)=0, 商的法则不能用 x1 又lim(4x-1)=3≠0， x→1 x2+2x-30 .'lim =0. x→1 4x-1-3 由无穷小与无穷大的关系，得 4x-1 lim- =00. x1x2+2x-3 经济数学一微积分
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
例3求lim x2-1 x1x2+2x-3 解 x→时，分子，分母的极限都是零（日型） 0 先约去不为零的无穷小因子x一1后再求极限. x2-1 lim- -lim (x+1)(x-1) 1x2+2x-3x1(x+3)(x-1) x+11 lim x1+3=21 (消去零因子法) 经济数学一微积分
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)
例4 设im x2+ax+b 1x2+2x-3 =2,求a、b. 解x→时，分母的极限是零而商的极限存在 lim(x2+ax+b)=1+a+b=0. x→1 于是im x'ax+b=lim (+1+a)(x-1) 1x2+2x-3x1(x+3(x-1) x+1+a2+a =lim =2. x→1 x+3 4 故a=6,b=-7. 经济数学一微积分
解 2, . 2 3 4 lim 2 2 1 a b x x x ax b x 求 、 ＋ 例 设 = + − + → x →1时,分母的极限是零,而商的极限存在. lim( ) 1 0. 2 1 + + = + + = → x ax b a b x 则 ( 3)( 1) ( 1 )( 1) lim 2 3 lim 1 2 2 1 + − + + − = + − + → → x x x a x x x x ax b x x ＋ 于 是 2. 4 2 3 1 lim 1 = + = + + + = → a x x a x 故a = 6,b = −7