第五节 极限存在准则 两个重要极限 连续复利 一、 夹逼准则 二、单调有界收敛准则 三、连续复利 四、小结思考题 经济数学 微积分
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 四、小结 思考题 极限存在准则 两个重要极限 第五节 三、连续复利 连续复利
、 夹逼准则 准则I如果数列xn,yn及乙m满足下列条件： (1)yn≤xn≤zm(n=1,2,3) (2)lim y a,limzn=a, n→0o 那末数列xn的极限存在，且imxn=a. 1c0 证yn→4，飞m→a, 廿ε>0,3N1>0,N2>0,使得 经济数学 微积分
一、夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列 n x 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-dN,时恒有zn-dN时，恒有a-g<yn≤xn≤zm<a+8, 即xn-d<e成立， ∴.limx=a. n-→co 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 经济数学—一微积分
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
0 准则I'如果当x∈U(x,6)(或x>M)时，有 (1I)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A,lim h(x)=A, r-→Xa X→Xo (x→o) (x→0) 那末limf(x)存在，且等于A. 】 准则和准则称为夹逼准则. 注意：利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zm, 并且yn与zn的极限是容易求的. 经济数学一微积分
准则Ⅰ′ 如果当 ( , ) 0 0 x U x (或 x M)时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那 末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存 在, 且等于 A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则
1 例1求lim( 1 nVn2+1√n2+2 n2+n n 1 n 解 ，1 n2+nvn2+1n2+nn2+1 又lim 1 -lim- √n2+nw ,7-1, /1+ 1 lim lim =1, n→0√n2+1n→0 1 由夹逼定理得 1+ lim( 十…十 )=1 nw√n2+1√n2+2 n2+n 经济数学 微积分
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
作为准则I'的应用，下面证明一个重要的极限 sin x lim x→0 如右图，设单位圆O, 圆心角∠A0B=x,(0<x<2 作单位圆的切线，得△4C0 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, 经济数学—一微积分
A C 作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限 1 sin lim 0 = → x x x 如右图，设单位圆 O, 于是有 sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD, ) 2 , (0 圆心角AOB = x x
sinx ∴.sinx<<tanx, 即cosx< <1, b 上式对于-乃<<地成立 当0<<时， 0<leos-1=1-cosx=2sin 2 2 2, .'lim =0,∴.lim(1-cosx)=0, x-→02 x→0 .lim cosx=1,lim 1=1,.lim sinx =1. x→0 X→0 x→0 经济数学一微积分
sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x
例2求lim 1-cosx x→0 女3 2sin2 21 sin2 解原式=im 0K2 lim 2 2(52 x sin 1 lim( 22」 1. 2x→0 2 2 经济数学一微积分
例 2 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 = . 21 =
二、单调有界准测 如果数列x满足条件 七1≤X2…≤xn≤x+1≤…，单调增加 单调数列 七1之X2…≥Xn≥xm+1≥，单调减少 准则川单调有界数列必有极限 几何解释： x1尤2x3'nxn+1 A 经济数学—一微积分
x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M 二、单调有界准则
例3证明数列xn=√3+V3+√…+3(n重根 式)的极限存在. 证显然x+1>xn,·{x}是单调递增的； 又K,=3<3,假定xk<3,xk+1=3+x<3+3<3, {x}是有界的；limx存在。 1→0 xn+1=√3+xn,x2+1=3+xn,limx2+1=lim(3+xn)为 1→0 A2=3+A, 2B,A-1舍去 解得A=1+3 2 ∴.limx= 1+√13 1-→0 经济数学—一微积分
) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 例 3 证明数列 xn = + + + n重根 证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; xn 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; xn lim 存在. n n x → 3 , xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去 ) . 2 1 13 lim + = → n n x