第二节 求导法则与基本 初等函数求导公式 一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与求导公式 五、小结思考题 经济数学一微积分
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 第二节 求导法则与基本 初等函数求导公式 四、基本求导法则与求导公式 五、小结 思考题
、 函数的和、差、积、商的 求导法则 定理1如果函数u(x),v(x)在点x处可导，则它 们的和、差、积、商（除分母不为零外）在点x 处也可导，并且 (I)[u(x)±v(x)'=W(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)'=W(x)v(x)+u(x)y'(x); 8r-am元er0, (v(x)≠0)， v2(x) 经济数学一微积分
一、函数的和、差、积、商的 求导法则 定理1 处也可导 并且 们的和、差、积、商 除分母不为零外 在点 如果函数 在点 处可导 则它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x , ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x
证(1)、(2)略. 证@)设-图o国0 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) h→0 h u(x+h)u(x) v(x+)(x) =lim h→0 u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) lim h-→0 v(x+h)v(x)h 经济数学—一微积分
证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + + = → 证(1)、(2)略
=lim-u(x)()-u(x)v(x-v(x) h→0 v(x+h)v(x)h ).())- =四 h h v(x+h)v(x) ='x)v(r)-u(x)p'(x) [v(x)2 ∴f(x)在x处可导. 经济数学一微积分
v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = f (x)在x处可导
推论 (1) f- i=1 (2) [Cf(x)'=Cf'(x),C为常数； (3) IIf(x)(x)(x).f (x) i-1 +…+f(x)f2(x)…f(x) )f() =) i=1k=1 k≠i 经济数学 微积分
推论 (1) [ ( )] ( ); 1 1 = = = n i i n i fi x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x),C为常数; ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = + + = = = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x
下面看一些例子 例1求y=x3-2x2+sinx的导数. 解y'=3x2-4x+c0sx. 例2求y=sin2xlnx的导数. 解 .'y=2sin x.cos x.Inx y=2cosx.cosx.Inx+2sinx.(-sinx).Inx +2sinx.c0sx·- =2cos 2xInx+sin 2x. 经济数学—一微积分
例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x ln x的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x + 下面看一些例子
例3求y=tanx的导数. 解 y'=(tanx)=(sinxy cOSx (sin x)'cosx-sinx(cosx)' cos2 x =cosx+sin2x 1 cosx =see2x cos2x 即 (tanx)'=sec2x. 同理可得(cotx)}'=-csc2x. 经济数学—一微积分
例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin = (tan ) = ( x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x
例4求y=secx的导数. 解 y'=(seexy=(-1y cosx -(cos x)=sinx =sccxtan.x. cos2x cos2 x 同理可得(cscx)/=-cscxcotx. 例5求y=sinhx的导数. y'=(simnh.x)=(e*-e (e*+e*)=coshx. 同理可得(cosh.x)=-sinhx(tanhx)=I cosh2 x 经济数学一微积分
例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 (csc x) = −csc x cot x. 例5 求 y = sinh x 的导数 . 解 ( )] 2 1 = (sinh ) = [ − x − x y x e e ( ) 2 1 x x e e − = + = cosh x. 同理可得 (cosh x) = sinh x x x 2 cosh 1 (tanh ) =
例6 设f(x)= x, x0时， f'(x)=lim In(1+x+)-In(1+x) h-→0 h lim In(1+ h-→0h 1+x 1 1+x 经济数学—一微积分
例 6 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x + 设 = 求 解 当 x 0 时 , f ( x ) = 1 , 当 x 0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − + = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =
当x=0时， f(0)=lim (0+)-ln(1+0)=1, h→0 h f:(0)=lim ln1+0+-ln(1+0)=1, >0* h ∴.f'(0)=1. 1,x≤0 .f'(x)= (1+x>0 经济数学一微积分
当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − + = → − − = 1, h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − + = + → + = 1, f (0) = 1. . , 0 1 1 1, 0 ( ) + = x x x f x