第五节泰勒(Taylor)公式 一、问题的提出 二、Pn和Rn的确定 三、泰勒中值定理 四、简单应用 五、小结思考题 经济数学—一微积分
一、问题的提出 二、Pn和Rn的确定 四、简单应用 五、小结 思考题 三、泰勒中值定理 第五节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出 1.设f(x)在x,处连续，则有 f(x)≈f(x) [f(x)=f(x)+a] 2.设f(x)在x处可导，则有 f(x)f(xo)+f(xo)(x-xo) [f(x)=f(xo)+f(xo)(x-xo)+o(x-xo)] 例如，当x很小时，e*≈1+x,In(1+x)≈x (如下图) 经济数学一微积分 o
一、问题的提出 1.设 f (x)在x0处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
=x y=In(1+x) 0.5 0=1+ 0.6 0.8 经济数学一微积分
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足：1、精确度不高；2、误差不能估计. 问题：寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 ●设函数f(x)在含有x的开区间(a,b)内 具有直到(n+1)阶导数， ●P(x)为多项式函数 P()=+4(x-)+42(x-)2+…+4n(c-)” ●误差Rn(x)=f(x)-Pn(x) 如何确定P,和R,? 经济数学一微积分
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. ●设函数 f (x)在含有x0的开区间(a,b)内 具有直到(n + 1) 阶导数, ●P(x)为多项式函数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − ●误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 如何确定 Pn 和 Rn ？
二、Pn和Rn的确定 分析： 1.若在xo点相交 近 P,(xo)=f(xo) f(x) 度 2.若有相同的切线 P(x)=f'(x) 3若弯曲方向相同 P"(x)=f"(x) 0 。。。。。。 。。。。。0 经济数学—一微积分
二、Pn和Rn的确定 0 x y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交
假设P()=f(x)k=1,2,,n a。=f(x),1a,=f'(x),2a,=f"(x) ……,n=fm(x) =fx)k=0,2,D 得 代入Pn(x)中得 P.(x)=f)+f(x-x)+(-x+ 2 +((x-x n! 经济数学一微积分
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 x0 a = f 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x。 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则 当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x-x)的一个 n次多项式与一个余项R(x)之和： f()=f()+f(-)+(x-x) 2 +…+fx-x”+R,() n! 其中RN=(x-x传奋，与之间. (n+1)! 经济数学 微积分
三、泰勒( Taylor )中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b) 内具有直到(n + 1) 阶的导数,则 当x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的一个 n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0 与x 之间)
证明：由假设，R(x)在(a,b)内具有直到n+1)阶导数， 且 R(xo)=Ri(xo)=RI(xo) =…=Rm)(xo)=0 两函数Rn(x)及(x-x)+1在以x及x为端点的区间上 满足柯西中值定理的条件，得 R,(x)R,(x)-R,(xo) (K-七)* (x-x)+1-0 R(5) (n+1(5-x)” (5在x与x之间) 经济数学—一微积分
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1) 阶导数, 且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以x0及x为端点的区间上 满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 = = = = = R x R x R x R x n n n n n
两函数R,(x)及(n+1)(x-xn)”在以x及贴，为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 R(5) P(5)-P(x) (n+10(5-)”(n+10(5-x)”-0 R”(52) 21 (n+10(52-x) (52在x与51之间可 如此下去，经过(n+1)次后，得 R,(x) R+(5) (x-七) (n+1为 (5在x,与5m之间，也在x与x之间) 经济数学一微积分
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以x0及 1 为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在 0 x 与x之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之 间 x n n x R n n − + − =
P(D(x)=0,.R(mD(x)=f((x) 则由上式得 Rx=包x-x)5在与之间 (n+1 -2x-xw 称为fx)按(x一x)的幂展开的n次近似多项式 -含x-y+四 称为.f(x)按(x-x)的幂展开的n阶泰勒公式 经济数学一微积分
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =