第三节无穷小与无穷大 一、无穷小(infinitesimal)) 1.定义：如果函数f(x)当x→x(或x→o) 时的极限为零，那么称f(x)为当x→x。(或 x→o)时的无穷小. f(x)为当x→x。（或x→∞)时的无穷小 台ε>0,36>0，当0<x-x<6时，有 f(x)<a 经济数学—一微积分
) . ( ) ( ( ) ( ) 0 0 时的无穷小 时的极限为零，那么称 为 当 或 如果函数 当 或 → → → → x f x x x f x x x x 一、无穷小(infinitesimal) 1. 定义: f ( x) 为 当 0 x → x ( 或 x → ) 时的无穷小 − ( ) 0 , 0 , 0 0 f x 当 x x 时， 有 第三节 无穷小与无穷大
例如， limsinx=0,∴.函数sinx是当x→0时的无穷小 x→0 1 :lim-=0, .函数是当x→0时的无穷小 x→0X n-”=0,.÷数列-是当n→∞时的无穷小 lim n-→on 注意(1)无穷小是变量，不能与很小的数混淆； (2)零是可以作为无穷小的唯一的数. 经济数学一微积分
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
2.无穷小与函数极限的关系： 定理1limf(x)=A台f(x)=A+(x), →n 其中o(x)是当x→x时的无穷小. 证必要性设Iimf(x)=A,令o(x)=f(x)-A, 0 则有Iimo(x)=0,∴.f(x)=A+o(x). 充分性设f(x)=A+o(x), 其中(x)是当x→x,时的无穷小， 则1imf(x)=Iim(A+(x)》=A+Iim(x)=A. 经济数学一微积分
2. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小
意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小) (2)给出了函数f(x)在x附近的近似表达 式f(x)≈A,误差为(x). 3.无穷小的运算性质： 定理2在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小 的代数和仍是无穷小。 证设a及B是当x→∞时的两个无穷小， 廿6>0,3X1>0,X2>0,使得 经济数学—一微积分
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,X1 0, X2 0,使得
当>X时恒有aX时恒有BX时，恒有 a±B≤a+B<号+ 22 ∴.0±B→0(x→∞) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如，n→o时，1是无穷小， 但个1之和为机不是无穷小 经济数学一微积分
; 2 1 当 x X 时恒有 ; 2 2 当 x X 时恒有 max{ , }, 取X = X1 X2 当 x X时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证设函数u在U(x,6)内有界， 则]M>0,δ1>0，使得当00,382>0，使得当0<x-x0<6,时 恒有a< 经济数学 一微积分
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数 在 ( 0 , 1 )内有界， 0 u U x . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒 有 使得当 时
取8=min{81,δ2}，则当0<x-x<δ时，恒有 ua=u-a<MM=8 .当x→x时，Wo为无穷小 推论1在自变量的同一变化过程中，有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小， 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小. 例如，当x→0时，xsin1,x2 arctan 都是无穷小 经济数学一微积分
推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 = 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
二、无穷大((infinite) 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2设函数f(x)在x某一去心邻域内有定义（或 x大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数 M(不论它多么大)，总存在正数δ（或正数X),使得 对于适合不等式0X)的一切 x,对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)>M, 则称函数f(x)当x→x(或x→o)时为无穷大， 记作 lim f(x)=co (或limf(x)=o): x→x0 →00 经济数学—一微积分
二、无穷大(infinite) 定义 2 设函数 f (x)在 x0 某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使 得 对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M , 则称函数 f ( x)当x → x0 (或x → )时为无穷大, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大。 lim f(x)=+co lim f(x)=-o0) x→xg x→x0 (x→o) (x→oo) 注意(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆； (2)imf(x)=o是极限不存在的一 种特殊情形. (3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无 界变量未必是无穷大， 经济数学 一微积分
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = + = − → → → → f x f x x x x x x x 或 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. . lim ( ) 0 种特殊情形 （２） = 是极限不存在的一 → f x x x
例如，当x→0a时，y='sin1 sin xx 是一个无界变量，但不是无穷大 1 ()取xk= (k=0,1,2,3, 2km+π 2 川)=2k红+受当充分大时x,)>M.无界， (2)取xK= 1 2k'元 (k'=0,1,2,3,) 当k'充分大时，x<δ， 但y(x)=2k'元sin2k'元=0<M.不是无穷大. 经济数学一微积分
x x y 1 sin 1 = , . 1 sin 1 , 0 , 是一个无界变量 但不是无穷大 例如 当 时 x x x → y = ( 0,1,2,3, ) 2 2 1 (1) = + = k k 取 xk , 2 ( ) 2 y xk = k + k , y(x ) M. 当 充分大时 k ( 0,1,2,3, ) 2 1 (2) = = k k 取 xk , , 当 k 充分大时 xk 但 y(xk ) = 2ksin 2k = 0 M. 不是无穷大． 无界