第四节有理函数的积分 一、六个基本积分 二、待定系数法举例 三、小结 经济数学一微积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例 三、小结 第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分 定义有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数， P(x)aox"+ax++ax+an 2(x)boxm+bxmx+bm 其中m、n都是非负整数；ao,a1,…,an及 b,b1,…,bnm都是实数，并且a≠0，b。≠0. 经济数学—一微积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、六个基本积分 定义
假定分子与分母之间没有公因式 (①)n<m,这有理函数是真分式： (2)n≥m,这有理函数是假分式： 利用多项式除法，假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例3+x+1 .1 =X+ x2+1 x2+1 难点将有理函数化为部分分式之和. 经济数学一微积分
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
理论上，任何一个有理函数（真分式）都可分为 以下六个类型的基本积分的代数和： 1.f d=I+a+e x+a 2. 人 (x+a (x+a+c (n≥2) dx =-arctan ~+c (x2+a2)a 经济数学一微积分
理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为 以下六个类型的基本积分的代数和: x a c x a dx = + + + ln c x a n x a dx n n + − + = + −1 (1 )( ) 1 ( ) c a x x a a dx = + + arctan 1 ( ) 2 2 1. 2. 3. (n 2)
4. xdx 1 x2+a2 =In(x2+a2)+c 2 5. ∫ xdx x2+a2)” 2(1-0x2+a2y+ca≥2) dx 6. (n≥2)可用递推法求出 (x2+a2)" 经济数学—一微积分
4. 5. 6. x a c x a xdx = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 c x a n x a xdx n n + − + = + 2 2 2 2 −1 2(1 )( ) 1 ( ) + n x a dx ( ) 2 2 (n 2) (n 2) 可用递推法求出
※二、待定系数法举例 有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x一)，则分解后为 (-a) A A x-a 其中A1,A2,,A都是常数 A 特殊地：k=1,分解后为 x-a 经济数学一微积分
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A − ※二、待定系数法举例
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 Mx+N Mx+N2 Mx+N (x2+x+0+(x2+r+g+…+ x2+px+q 其中M,N都是常数(i=1,2,…,k). 特殊地：k=1,分解后为x十r+g Mx+N 经济数学 微积分
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法 x+3 x+3 A 例1x-5x+6x-20x-3》x-2+x-3 x+3=A(x-3)+B(x-2), .x+3=(A+B)x-(3A+2B), 「A+B=1, A=-5 → → -(3A+2B)=3, 1B=6’ x+3 -5 6 x2-5x+6 x-2x-3 经济数学—一微积分
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
A B C 例2 x(x-1)2-x(x-1)2x-1' 1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) (1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1I)→C=-1 1 1 1 1 x(x-1)2-x(x-1)2x-1 经济数学一微积分
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
1 A Bx+C 例31+2x1+x2)1+2x+1+x2’ 1=A(1+x2)+(Bx+C)1+2x), 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 4 B+2C=0,→A= A+C=1, 5 4 21 1 x+ 5 5 (1+2x1+x2)1+2x1+x2 经济数学一微积分
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得