第二为 第四章 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 毫HIGH EDUCATION PRESS
二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章
基本思路 设F'(u)=f(wu=2(x可导，则有 dF[o(x)]=f[o(x)]o'(x)dx ∫fIo(xo'(x)dr=F[p(x】+C=F(u+Cu= =∫f(w)duu=px) 第一类换元法 ∫flp(x]p'(x)dr f(u)du 第二类换元法 音HIGH EDUCATION PRESS
第二类换元法 第一类换元法 f [(x)](x)dx f (u)du 基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 F(u) f (u), u (x) 可导, f [(x)] (x)dx F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u ( ) ( ) C u x F u dF[(x)] f [(x)](x)dx 则有
一、第一类换元法 定理1.设f()有原函数，u=p(x)可导，则有换元 公式 ∫Tpwlg'cx=fu u=p(x) 即 ∫fLp(x】p'(x)dx=∫f(p(x)dp(x) (也称配元法，凑微分法) 等HIGH EDUCATION PRESS 周e9098
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u (x)可导, 则有换元 公式 f [(x)] (x)dx f (u)du u (x) f ((x))d(x) (也称配元法 即 f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求(ax+b)mdx(m≠-l) 解：令u=ax+b,则du=adx,故 原式=w”du=1.1 u+C a m+1 (ax+b)m+1+C a(m+1 注：当m=-1时 dx -Inax+b+C ax+b a 毫HIGH EDUCATION PRESS
例1. 求 ( ) d ( 1). ax b x m m 解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故 原式 = m u u a d 1 a 1 u C m m 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 m ax b a m C 注: 当m 1时 ax b d x ax b C a ln 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求 dx 想到公式 a du 解： d dx a2+x2 J1+2 a 1+() arctan u C =x,则du=dx 令u a =-arctan u+C a1+ a =-arctan(~)C a a 等HIGH EDUCATION PRESS
2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2. 求 . d 2 2 a x x 解: 2 2 d a x x , a x 令 u 则 x a u d 1 d 2 1 u du a 1 u C a arctan 1 C a x a arctan( ) 1 想到公式 2 1 d u u arctan u C ( ) a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
d 例3.求 a2-x2 (a>0) 解： d dx d() 1-()2 =arcsin≌+C a du 想到 arcsin u+C -2 [f(x)]'(x)dx=f(x)dp(x) (直接配元) 等HIGH EDUCATION PRESS 8e9098
例3. 求 ( 0). d 2 2 a a x x 2 1 d u u 想到 arcsin u C 解: 2 1 ( ) d a x a x f ((x))d(x) (直接配元) f [(x)] (x)dx 2 1 ( ) d ( ) a x a x C a x arcsin 2 2 d a x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求「tanxdx 解： f sin x r dcos x tan xdx "dx = COSX COSX -In cosx C 类似 r cos xdx r dsin x cot xdx sin x sinx In sin x+C 毫HIGH EDUCATION PRESS
例4. 求 tan d . x x 解: x x xd cos sin x x cos dcos ln cos x C cot d ? x x x x x sin cos d ln sin x C x x sin dsin tan xdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似
例5.求 dx 2-a2 解： 1x+a)--0_1(1-1 x2-a2 =2a (x-a)x+a) 2ax-ax+a 原式。」a -9 2[x-al-stal x-a 2ax+a 等HIGH EDUCATION PRESS 下宜返回结
C x a x a a ln 2 1 例5. 求 . d 2 2 x a x 解: 2 2 1 x a (x a)(x a) (x a) (x a) 2a 1 ) 1 1 ( 2 1 a x a x a ∴ 原式 = 2a 1 x a x x a dx d 2a 1 x a d(x a) 2a 1 ln x a ln x a C x a d(x a) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
常用的几种配元形式： (f(x+)d(ax+b) ajxwdx=hredx 能 凑 fri 幂 法 (4)f(sin x)cosxdx=f(sinx)dsinx (5)∫f(cosx)sinxdx=-∫f(cosx)dcosx 音HIGH EDUCATION PRESS
常用的几种配元形式: (1) f (ax b)dx f (ax b) d(ax b) a 1 f x x x n n (2) ( ) d 1 ( ) n f x n dx n 1 x x f x n d 1 (3) ( ) ( ) n f x n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 (4) f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x (5) f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(6)f(tanx)sec2 xdx=f(tanx)dtanx (7)∫fe')edx=∫fe'de (8 ffx=可ra)anx dx 例6.求 x(1+2Inx) 解：原式= dInx 1 d(1+2Inx) 1+21nx In1+21nx C 毫HIGH EDUCATION PRESS
(6) f (tan x)sec xdx 2 f (tan x) dtan x f e e x x x (7) ( ) d ( ) x f e x de x x f x d 1 (8) (ln ) f (ln x) dln x 例6. 求 . (1 2ln ) d x x x 1 2ln x dln x 解: 原式 = 2 1 2ln x 1 d(1 2ln x) ln 1 2ln x C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束