第三章导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 经济数学—一微积分
主要内容 典型例题 第三章 导数与微分 习 题 课
一、 主要内容 关 =y'→=y'→△y=+0(△x) 系 dx 导数 基本公式 微分 lim △y △x→0△x 高阶导数 dy=y'△x 求导法则 经济数学—一微积分
求 导 法 则 导 数 基本公式 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 一、主要内容
1.导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义， 当自变量x在x,处取得增量△x(点x。+△仍在该邻域 内)时，相应地函数y取得增量△y=f(x。+△x)-f(x)； 如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数 y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x,处的导数记为 y 或) x=x0 dx x,即 △y y =lim f(x,+△x)-f(x) x=x=lim △r→0△x △r→0 △x 经济数学—一微积分
1.导数的定义 在点 处的导数 记为 或 即 在点 处可导 并称这个极限为函数 如果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在点 的某个邻域内有定义 , ( ) , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx df x dx dy x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = = = = → = + − + 定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → =
单侧导数 1.左导数： f'(xo)=lim -n+a-f, -0x-X0 2.右导数： f:(xo)=lim f)-f）=imf,+△)-fx; r→x+ x-Xo △r→+ △x 函数f(x)在点x,处可导台左导数f'(x)和右 导数f(x)都存在且相等. 经济数学一微积分
2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f − 和右 导数 ( ) x0 f + 都存在且相等
2.基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式） (C)'=0 (x")'=ux#-1 (sin x)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=sec2 x (cotx)'=-csc2x (sec x)'=sec xtgx (cscx)'=-csc xctgx (ax)'=ax Ina (ex)'=ex (logx)'=- 1 Ina (nxy=1 1 1 (arcsin x)'=- 1-x2 (arccosx)'=-- 1-x2 1 (arctanx)=+x 1 (arecotx)=-1+x 经济数学—一微积分
2.基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x + = − = = = = = = = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x + = − − = − = = = − = − = − = − arc
3.求导法则 ()函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),y=v(x)可导，则 (1)(u±v)'=u'±v',（2)(cw)'=c'(是常数)， (3)(uy'=v+uw',(4)y=v- 2(v≠0). (2)反函数的求导法则 如果函数x=p(y)的反函数为y=f(x),则有 1 f'(x)= p'(x) 经济数学一微积分
3.求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u v) = u v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2 − = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x = 如果函数 = 的反函数为 = 则有
(5)隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6)参变量函数的求导法则 若参数方程 x=p() 确定y与x间的函数关系， y=v(t) y == () 'y_y"(t)p'()-'(t)p"( dx dx p'(t) 2 p3() dt 经济数学 微积分
(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. , ( ) ( ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 y t x t = = ; ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dy = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = (6) 参变量函数的求导法则
(3)复合函数的求导法则 设y=f(w),而u=p(x)则复合函数y=f孔p(x)的导数为 dydy du dx du dx 或y'(x)=f'(u)p'(x (4)对数求导法 先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法 求出导数 适用范围： 多个函数相乘和幂指函数u(x)(x)的情形. 经济数学一微积分
(3) 复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x = = = = = 或 设 而 则复合函数 的导数为 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形
4.高阶导数（二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数） 二阶导数(f'(x)》=im f'(x+△x)-f'(x) △x→0 △x 记作 ”xy八，y或f 42 2 二阶导数的导数称为三阶导数，了“(，%，心 3 一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数，记作 f(x,y,"y或“f) dcn 经济数学一微积分
4.高阶导数 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 x f x x f x f x x + − = → 二阶导数 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
5.微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，x及x。+△x 在这区间内，如果 △y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+0(△x) 成立（其中A是与△x无关的常数），则称函数y=f(x) 在点x,可微，并且称A·△x为函数y=f(x)在点x相应 于自变量增量△的微分，记作x=x,或f(x),即 yx=n=A·△x. 微分叫做函数增量△y的线性主部.（微分的实质） 经济数学一微积分
5. 微分的定义 定义 . , ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy A x x dy df x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x = = = = + − = + = + = 于自变量增量 的微分 记作 = 或 即 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)