第五节定积分的分部积分法 一、分部积分公式 二、小结思考题 经济数学一微积分
一、分部积分公式 二、小结 思考题 第五节 定积分的分部积分法
一、分部积分公式 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续 导数，则有udw=[ev时-da 定积分的分部积分公式 推导 (w)=uv+w,S(wydx=[wvJ, [uvl止=awk+'k, :.fadw=aw-∫心wda. 经济数学 微积分 )o
设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b uv a u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式
计算∫arcsinx. 例1 解 令w=arcsinx,w=dk, 则du= dx V1-x2, v=x, 广ana做rn时-，流 经济数学—一微积分
例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 则
例2 计算1+Co2x x 解1+c0s2x=2c0s2七， 42e-心，ox-an时 =cam闲月-2 于tan,d 经济数学一微积分
例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − =
例3 计*侣 解 ln1tyk=-lal+xwa2 Jo (2+x) 2+x =+2a1+ +[n(1+x)-ln(2+xl=n2-ln3. 经济数学一微积分
例3 计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
例4 设)=sk,求 解 因为（没有初等形式的原函数。 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 fe=2fxax) -2fx-2x2断(x) =2f四-erx)s 经济数学—一微积分
例 4 设 求 解 = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x dx
- 0=‘=0 I(x)=sin 2sinx2 -.2x= =0rxd --2xsinx'ds=-sinx'de -oscos1-1) 经济数学一微积分
= 2 1 , sin ( ) x dt t t f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x dx 1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 0, sin (1) 1 1 = dt = t t f
例5证明定积分公式 sin"xde=cos"xux 'n-1n-331π n为正偶数 n i n-2422’ n-1n-342 为大于1的正奇数 (nn-253’ 证设u=sin"-lx,dw=sinxdx, du=(n-1)sin"2xcosxdx,v=-cosx, 经济数学一微积分
例5 证明定积分公式 = = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n − − − − − − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv = sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x
I=[-sin-1xcosx(n-1sin-2xcos'xdx 0 1-sin2x I=(n-1)sin"-2xdx-(n-1)sin"xdx =(n-1)Im-2-(n-1)Im 积分I关于下标的递推公式 n-3 1n-2 1 n-2n-4 …,直到下标减到0或1为止 经济数学—一微积分
I x x n x xdx n n n − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1− sin I n xdx n xdx n n n = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 In 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到0或1为止
1n-2m12m-353 2m2m-2642 (m=1,2,…) 12012孤-9 =-受4=sm=l 于是I2m= 2m-12m-3531元 2m2m-264221 2m2m-2642 L2m+1= 2m+12m-1753 经济数学一微积分
, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + = (m = 1,2, ) , 2 2 0 0 = = I dx sin 1, 2 0 1 = = I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m 于是