第四节可降阶的二阶微分方程 一、y”=f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y')型的微分方程 三y”=f(y,y)型的微分方程 四、小结思考题 经济数学—一微积分
四、小结 思考题 第四节 可降阶的二阶微分方程 二、y = f (x, y )型的微分方程 三、 yy ==ff ((yy,,yy )) 型的微分方程 一 、y f x = ( )型的微分方程
y”=f(x)型 特点：等式右端仅含有自变量 解法：将y视为新的未知函数， 则y'=∫f(x)+C 同理可得y=∫f(x)+C]+C, 可得通解. 经济数学一微积分
解法： 特点： 等式右端仅含有自变量x. 将 y 视为新的未知函数， 1 2 1 [ ( ) ] ( ) . y f x dx C dx C y f x dx C = + + = + 同理可得 则 可得通解. 一、 y = f (x) 型
例求微分方稻”=e2-sin式的通解 解 对所给方程连续积分两次，得 y'= e2x+3cos 2 +C1 比 e2x+9sin 4 +cx+C2 3 经济数学一微积分
例1 . 3 sin 求微分方程 2 的通解 x y e x = − 解 对所给方程连续积分两次，得 1 2 3 3cos 2 1 c x y e x = + + 1 2 2 3 9sin 4 1 c x c x y e x = + + +
二、y”=f(x,y)型 特点：右端不显含未知函数y. 解法：设y=p则y=血=p, 方程变为p=f(x,p).一关于x,p的一 阶微分方程，设其通解为p=p(x,C) p=少=p(x,C) 即 故方程的通解为：y=了p(x,C,)k+C, 经济数学—一微积分
设 y = p p , dx dp 则 y = = 特点： 右端不显含未知函数 y. 解法： 方程变为 p = f（x，p）. 二、 y = f (x, y) 型 关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 ( , ) p = x C1 即 ( , ) x C1 dx dy p = = 故方程的 通解为： x C1 dx C2 y = ( , ) +
例2.求微分方程(1+x2)y”=2y'满足初 始条件y=1,y=3的特解。 解：设y'=p,代入方程并分离变量南得 迎=2x dx. p1+x2 两端积分得 Inp=In(1+x2)+C 即 p=y'=C1(1+x2) (C1=±ec) 经济数学一微积分
例2. 求微分方程 1+ x y = 2xy 2 ( ) 满足初 始条件 y x = 0 =1, y x = 0 = 3 的特解 . (1 ) ( ) ln ln( 1 ) . 1 2 , 1 2 1 2 2 C p y C x C e p x C dx xx p dp y p = = + = = + + + = = 即 两端积分得 解 ： 设 代入方程并分离变量后可 得
由条件yk=0=3,得C1=3 故y'=31+x2) 积分得y=x3+3x+C2 又由条件制xo=1得C2=1 ∴.所求特解为y=x3+3x+1. 经济数学 一微积分
3 1. 3 所求特解为 y = x + x + 3 3 由条件y x=0 = ， 得C1 = 2 3 积分得 y = x + 3x +C 3(1 ) 2 故 y = + x 又由条件y x=0 = 1得C2 = 1
三、y”=f(y,y)型 特点：方程中不明显地含有自变量x 解法：设y=py)则y=中.=pP =P dy dx 方程化为关于y,p的一阶微分方程卫 =f,P 设它的通解为：y'=p=p(y,C) 分离变量并积分，可得原方程的通解为： =x+C2: o(y,C) 经济数学一微积分
三、 y = f ( y, y) 型 特点：方程中不明显地含有自变量x. 解法： 设 y = p( y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = 方程化为关于y , p 的一阶微分方程 f ( y, p) dy dp p = 设它的通解为： ( , ) C1 y = p = y 分离变量并积分，可得原方程的通解为： . ( , ) 2 1 x C y C dy = +
例3求方程y”-y2=0的通解. p 解一设y'=py),则y”=p y 代入原方程得P业-p=0,即PU.心-P)=D, dy 由y dP_P=0, 可得P=Cy, 即=Cy,所以原方程的通解为 y=C,eci 经济数学—一微积分
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解一 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x 即 C y， 所以原方程的通解为 y = C e dx dy = 1 例 3
解二 两端同乘不为零因千 w”-y心)=0， y 故y'=Cy, 从而通解为y=C,eS 解三 原方程变为”=y y'-y 两边积分，得ny'=lny+lnC,即y'=Cy, 原方程的通解为y=C,eC. 经济数学一微积分 0o O
解二 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 ( ) 0, 2 2 = = − y y dx d y yy y , 1 故 y = C y 从而通解为 . 1 2 C x y = C e 解三 原方程变为 , y y y y = 两边积分,得 ln y = ln y + lnC1， 即 y = C1 y， 原方程的通解为 . 1 2 C x y = C e
※例4求方程y”-y2=y'的通解， 解设y=e流， 代入原方程，得 a'x=z, 解其通解为z=Cx, 原方程通解为 y-Cecw 经济数学—一微积分
. 求方程 xyy − xy 2 = yy的通解 解 , = zdx 设 y e z x = z， 解其通解为 z = C x, . 2 1 2 C x Cxdx y = e = C e 原方程通解为 代入原方程,得 ※例4