第七节 函数的连续性 一、 函数的连续性(continuity) L.函数的增量(increment) 设变量u从它的初值w,变到终值山，则 △u=W2-u1 称为变量u的增量. 注意：(I)△u可正可负； (2)△w是一个整体，不能看作△ 与u的乘积. 经济数学一微积分
一、函数的连续性(continuity) 1.函数的增量(increment) . 2 1 1 2 称为变量 的增量 设变量 从它的初值 变到终值 则 u u u u u u u = − 注意： (1) u 可正可负； . (2) 与 的乘积 是一个整体，不能看作 u u 第七节 函数的连续性
设函数f(x)在U(x,6)内有定义，当x在U(,6) 内由x,变到x。+△x时，称△x为自变量x在点x, 的增量；相应地，函数y从f(x)变到f(x,+△x), △y=f(x,+△x)-f(x) 称为函数f(x)相应于△x的增量， y=f(x) y=f(x) △y △ △ 0 Xo xO+△rx 0x0 xo+△rx 经济数学一微积分
的增量；相应地，函数 从 变到 ， 内由 变到 时，称 为自变量 在点 设函数 在 内有定义 当 在 ( ) ( ) ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y f x f x x x x x x x x f x U x x U x + + ( ) . ( ) ( ) 0 0 称为函数 f x 相应于 x的增量 y f x x f x = + − x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
2.连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x,6)内有定义，如果当 自变量的增量△x趋向于零时，对应的函数的增量 △y也趋向于零，即Iim△y=0或 mf(,+△)-f(x川=0，那末就称函数f)在 点x连续，x称为f(x)的连续点 设x=x,十△x, △y=f(x)-f(x), △x→0就是x→x,△y→0就是f(x)→f(x). 经济数学—一微积分
2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果当 自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量 y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x)的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U(x,6)内有定义，如果 函数f(x)当x→七时的极限存在，且等于它在 点x,处的函数值f(x),即Iimf(x)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x,连续， "e-6"定义： 8>0,36>0,使当x-x,<6时， 恒有f(x)-f(x)<&. 经济数学一微积分
定义 2 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果 函 数 f (x)当x → x0时的极限存在,且等于它在 点x 0处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连 续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点x。 处连续，必须满足以下三个条件： (1)函数f(x)在点x,处有定义； (2)极限limf(x)存在，即 lim f(x)=lim f(x) x→x1 x→x0 (3)lim f(x)=f(x) 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值 经济数学 微积分
从这个定义我们可以看出，函数f (x) 在点 0 x 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 x0 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x − + → → = （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值
例1 试证函数f()= xsin,x≠0，在x=0 0,x=0, 处连续. 1 证limxsin-=0, x->0 又f0)=0, limf(x)=f(0), 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续. 经济数学—一微积分
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
例2证明函数y=sinx在区间(-oo,+oo)内连续 证任取x∈(-o0,+o), Aysin()sin =2sin co) x+1则1s22 对任意的a,当a≠0时，有sino<o, 故4ys2 sin Ax <△， 2 .当△x→0时，△y→0. 即函数y=sinx对任意x∈(-o,+oo)都是连续的. 经济数学—一微积分
例 2 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(−,+)都是连续的
3.单侧连续 若函数f(x)在(a,x内有定义，且f(x。-0)=f(x), 则称f(x)在点x处左连续； 若函数f(x)在[x,b)内有定义，且f(x+0)=f(x), 则称f(x)在点x处右连续， 定理 lim f(x)=f(xo)f(xo-0)=f(xo+0)=f(xo) x→x0 经济数学 微积分
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim 0 f x f x f x f x f x x x = − = + = →
例3讨论函数f(x)= [x+2,x≥0， 在x=0处的 x-2,x<0, 连续性。 解1imf(x)=lim(x+2)=2=f(0), lim f(x)=lim(x-2)=-2 f(0), 0 0 右连续但不左连续， 故函数f(x)在点=0处不连续 经济数学一微积分
例3 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上 的连续函数，或者说函数在该区间上连续. 函数f(x)在闭区间[a,b]上连续： (1)函数在开区间(a,b)内连续； (2)在左端点x=a处右连续； (3)在右端点x=b处左连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 经济数学一微积分
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 3 . 2 1 ( , ) ( ) [ , ] （ ）在右端点 处左连续 （ ）在左端点 处右连续； （）函数在开区间 内连续； 函数 在闭区间 上连续： x b x a a b f x a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线