第八章多元函数微分法 及其应用 习题课 主要内容 典型例题 经济数学 微积分 O
主要内容 典型例题 第八章 多元函数微分法 及其应用 习 题 课
一、主要内容 平面点集 多元函数概念 和区域 多元函数 极限运算 的极限 多元连续函数 多元函数 的性质 连续的概念 经济数学一微积分
平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 一、主要内容
偏导数在 全微分 全微分 经济上的应用 概念 的应用 复合函数 高阶偏导数 求导法则 偏导数 全微分形式 概念 隐函数 的不变性 求导法则 多元函数的极值 经济数学—一微积分
全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 偏导数在 经济上的应用 多元函数的极值 全微分 概念 偏导数 概念
1.区域 (1)邻域 设P(xo,yo)是x0y平面上的一个点，6是某 一正数，与点P(x0,y0)距离小于6的点P(x,y) 的全体，称为点P的δ邻域，记为U(P,δ)， U(P,δ)={PPPK6} Po =《x,y)川V(x-)2+(y-)2<6} 经济数学 微积分 ⊙
1.区域 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， （1）邻域 ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y P0
(2)区域 连通的开集称为区域或开区域. (3)n维空间 设n为取定的一个自然数，我们称n元数 组(K1,x2,,xn)的全体为n维空间，而每个n 元数组(x1,x2,,xn)称为n维空间中的一个 点，数七，称为该点的第i个坐标 经济数学—一微积分
（3）n维空间 设 n为取定的一个自然数，我们称 n 元 数 组( , , , ) x1 x2 xn 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组( , , , ) x1 x2 xn 称 为 n 维空间中的一个 点，数 xi 称为该点的第 i 个坐标. （2）区域 连通的开集称为区域或开区域．
2.多元函数概念 定义设D是R的一个非空子集，D到实数集R 的任一映射称为定义在D上的一个元（实 值)函数，记何：DcR”→R 或y=f(x)=f(x1,x2,…,xnx∈D 其中x,x2,,心n称为自变量，称为因变量， D称为函数的定义域，f(D)={f(x)x∈D} 称为函数的值域，并且+中的子集 {《x,x2,,xn,yy=f(x人x∈D为函数 y=f(x水在D上)的图形（或图像）。 经济数学一微积分
2.多元函数概念 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( （ 在) 上）的图形（或图像）。 为函数 称为函数 的值域，并且称 中的子集 称为函数 的定义域， 其 中 称为自变量， 称为因变量， 或 值）函数，记作 的任一映射称为定义在 上的一个 元（实 设 是 的一个非空子集，从 到实数集 y f x D x x x y y f x x D f R D f f D f x x D x x x y y f x f x x x x D f D R R f D n D R D R n n n n n n = = = = = → + , , , , , , , , , , , , : 1 2 1 1 2 1 2 定义
3.多元函数的极限 定义设函数z=f(比，y)的定义域为 D,P(xo,y)是其内点或边界点，如果对于任意 给定的正数8，总存在正数6，使得对于适合不 等式0<PP=V(x-x)2+(y-y)2<6的一 切点，都有f(x,y)-AK成立，则称A为函 数z=f(x,y)当x→xo,y→yo时的极限， 记为limf(x,y)=A x→x0 Jy→Jyo (或f(x,y)→A(p→0)这里p=PPI). 经济数学一微积分
3.多元函数的极限 定 义 设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 , ( , ) 0 0 0 D P x y 是其内点或边界点，如果对于任意 给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不 等式 = − + − 2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) ( y y ) 的一 切点，都有| f ( x, y) − A | 成立，则称 A 为函 数z = f ( x, y)当 0 x → x ， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f ( x, y) → A ( → 0)这里 | | = PP0 ）
说明： （1)定义中P→P,的方式是任意的： (2)二元函数的极限也叫二重极限limf(x,y) y→y0 (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. 4.极限的运算 设P→B时，f(P)→A,f(P)→B,则 (I).f(P)±g(P)→A±B;(2)f(P)g(P)→AB; (3.f(P)/g(P)→A/B(B≠0) 经济数学—一微积分
说明： （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 4.极限的运算 (3). ( ) ( ) ( 0). (1). ( ) ( ) ; (2). ( ) ( ) ; ( ) , ( ) , 0 → → → → → → f P g P A B B f P g P A B f P g P A B 设 P P 时，f P A f P B 则
5.多元函数的连续性 定义 设函数f(x,y)的定义域为点集 D,P(xy)是D的内点或边界点且P∈D, 如果imf(P)=f(P)则称函数f(x,y)在点 处连续. 如果f(x,y)在点P(x,y)处不连续，则称 P是函数f(x,y)的间断点. 经济数学一微积分
5.多元函数的连续性 定 义 设 函 数 f ( x, y) 的 定 义 域 为 点 集 , ( ) 0 , 0 0 D P x y 是D的内点或边界点且P0 D ， 如果lim ( ) ( )0 0 f P f P P P = → 则称函数 f ( x, y)在点P0 处连续. 如果 f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处不连续，则称 P0是函数 f (x, y)的间断点
6.闭区域上连续函数的性质 (1)有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的 有界函数. (2)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值. (3)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次. 经济数学 微积分
6.闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值． （2）最大值和最小值定理 （1）有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的 有界函数． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次． （3）介值定理