
第七节定积分的几何应用 一、问题的提出 二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积 经济数学一微积分
一、问题的提出 二、平面图形的面积 第七节 定积分的几何应用 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积

一、定积分的元素法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线忄 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=M、 ol a x=b所围成。 b x A=心fx)c 经济数学一微积分
回顾 曲边梯形求面积的问题 = b a A f (x)dx 一、定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n个长度为x,的小区间, 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第个小 曲边梯形的面积为△4,则A=∑△4. (2)计算△4,的近似值△4≈f(传;)△x,5:∈△, (3)求和,得A的近似值A≈∑f()△x: i-1 (4)求极限,得A的精确值 A=lim∑f5)△x,=fx)d 2→0e1 经济数学一微积分
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间,相 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i 个小窄 曲边梯形的面积为Ai ,则 = = n i A Ai 1 . (2)计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi (3) 求和,得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = (4) 求极限,得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx

提示 积 若用△A表示任一小区间 [比,x+△上的窄曲边梯形的面积, dA 则A=∑△A,并取△A≈f(x)d 于是A≈∑f(x)d A=lim∑f(x)dc d axx+dbx -fd. 经济数学一微积分
a b x yo y = f ( x ) 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积, 则A = A,并取A f ( x)dx, 于是 A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = ba f x dx x x + dx dA 面积元素

当所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说,如 果把区间,b]分成许多部分区间,则V相应地分 成许多部分量,而U等于所有部分量之和; (3)部分量△U,的近似值可表示为f(5:)△x;: 就可以考虑用定积分来表达这个量 经济数学一微积分
当所求量U 符合下列条件: (1)U 是与一个变量x的变化区间a,b有关的量; (2)U 对于区间a,b具有可加性,就是说,如 果把区间a,b分成许多部分区间,则U 相应地分 成许多部分量,而U 等于所有部分量之和; (3)部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ; 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x 为积分变量,并确定它的变化区间,b]; 2)设想把区间[4,b]分成n个小区间,取其中任 一小区间并记为[x,x+x],求出相应于这 小区间的部分量△U的近似值.如果AU能近 似地表示为a,b]上的一个连续函数在x处的 值f(x)与k的乘积,就把f(x)k称为量 的元素且记作dU,即dU=f(x); 经济数学—一微积分
元素法的一般步骤: 1) 根据问题的具体情况,选取一个变量例如x 为积分变量,并确定它的变化区间[a,b]; 2) 设想把区间[a,b]分成n 个小区间,取其中任 一小区间并记为[x, x + dx],求出相应于这 小区间的部分量U 的近似值.如果U 能近 似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的 值 f ( x)与dx的乘积,就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作dU ,即dU = f ( x)dx;

3)以所求量U的元素f(x)c为被积表达式,在 区间a,b1上作定积分,得U=fx)dk,即 为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法, 应用方向: 平面图形的面积,体积。 经济应用。其他应用。 经济数学—一微积分
3) 以所求量U 的元素 f (x)dx为被积表达式,在 区间[a,b]上作定积分,得 = b a U f (x)dx,即 为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法. 应用方向: 平面图形的面积,体积。 经济应用。其他应用

二、平面图形的面积 y↑ y=f(x) 第一步:取其中任 一小区间并记为 [x,x+,求出 相应于这小区间的 部分量△4的近似 值,记作A; 0 x+Ax 如何用元素法分析? dA=f(x)dx 经济数学一微积分
x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析? dA=f (x)dx 第一步:取其中任 一小区间并记为 [x, x + dx],求出 相应于这小区间的 部分量A 的近似 值,记作dA ;

'↑y=f(x) 第二步:写出面积 表达式。 A=["f(x)dx o a xx+△x 如何用元素法分析? dA=f(x)dx 经济数学一微积分
x y o y = f (x) a b 第二步:写出面积 表达式。 = b a A f (x)dx x x + x 如何用元素法分析? dA=f (x)dx

y=f(x) 第一步:取其中任 一小区间并记为 [x,x+x,求出 相应于这小区间的 f(x) 部分量△4的近似 值,记作A; x+△x 如何用元素法分析? dA= 经济数学一微积分
x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b x x + x 第一步:取其中任 一小区间并记为 [x, x + dx],求出 相应于这小区间的 部分量A 的近似 值,记作dA ; 如何用元素法分析? dA=?