第七节定积分的几何应用 一、问题的提出 二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积 经济数学一微积分
一、问题的提出 二、平面图形的面积 第七节 定积分的几何应用 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积
一、定积分的元素法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线忄 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=M、 ol a x=b所围成。 b x A=心fx)c 经济数学一微积分
回顾 曲边梯形求面积的问题 = b a A f (x)dx 一、定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n个长度为x,的小区间， 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小 曲边梯形的面积为△4，则A=∑△4. (2)计算△4，的近似值△4≈f(传；)△x,5:∈△， (3)求和，得A的近似值A≈∑f()△x: i-1 (4)求极限，得A的精确值 A=lim∑f5)△x,=fx)d 2→0e1 经济数学一微积分
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间，相 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄 曲边梯形的面积为Ai ，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx
提示 积 若用△A表示任一小区间 [比，x+△上的窄曲边梯形的面积， dA 则A=∑△A,并取△A≈f(x)d 于是A≈∑f(x)d A=lim∑f(x)dc d axx+dbx -fd. 经济数学一微积分
a b x yo y = f ( x ) 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是 A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = ba f x dx x x + dx dA 面积元素
当所求量U符合下列条件： (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如 果把区间，b]分成许多部分区间，则V相应地分 成许多部分量，而U等于所有部分量之和； (3)部分量△U,的近似值可表示为f(5:)△x;: 就可以考虑用定积分来表达这个量 经济数学一微积分
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x的变化区间a,b有关的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说，如 果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相应地分 成许多部分量，而U 等于所有部分量之和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤： 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间，b]; 2)设想把区间[4，b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,x+x],求出相应于这 小区间的部分量△U的近似值.如果AU能近 似地表示为a,b]上的一个连续函数在x处的 值f(x)与k的乘积，就把f(x)k称为量 的元素且记作dU,即dU=f(x); 经济数学—一微积分
元素法的一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2) 设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这 小区间的部分量U 的近似值.如果U 能近 似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的 值 f ( x)与dx的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作dU ，即dU = f ( x)dx；
3)以所求量U的元素f(x)c为被积表达式，在 区间a,b1上作定积分，得U=fx)dk,即 为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法， 应用方向： 平面图形的面积，体积。 经济应用。其他应用。 经济数学—一微积分
3) 以所求量U 的元素 f (x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx，即 为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积，体积。 经济应用。其他应用
二、平面图形的面积 y↑ y=f(x) 第一步：取其中任 一小区间并记为 [x,x+,求出 相应于这小区间的 部分量△4的近似 值，记作A; 0 x+Ax 如何用元素法分析？ dA=f(x)dx 经济数学一微积分
x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析？ dA＝f (x)dx 第一步：取其中任 一小区间并记为 [x, x + dx]，求出 相应于这小区间的 部分量A 的近似 值，记作dA ；
'↑y=f(x) 第二步：写出面积 表达式。 A=["f(x)dx o a xx+△x 如何用元素法分析？ dA=f(x)dx 经济数学一微积分
x y o y = f (x) a b 第二步：写出面积 表达式。 = b a A f (x)dx x x + x 如何用元素法分析？ dA＝f (x)dx
y=f(x) 第一步：取其中任 一小区间并记为 [x,x+x,求出 相应于这小区间的 f(x) 部分量△4的近似 值，记作A; x+△x 如何用元素法分析？ dA= 经济数学一微积分
x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b x x + x 第一步：取其中任 一小区间并记为 [x, x + dx]，求出 相应于这小区间的 部分量A 的近似 值，记作dA ； 如何用元素法分析？ dA＝？