第八节定积分的经济应用 一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值 四、小结思考题 经济数学一微积分
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 第八节 定积分的经济应用 三、收益流的现值和将来值 四、小结 思考题
、 由边际函数求原函数 例1已知边际成本为c(x)=7+25 固定成本为1000，求总成本函数. 解 c(x)=c0)+c(x) =io0++2w =1000+[7x+50Wxl6 =1000+7x+50Vx 经济数学 微积分
一、由边际函数求原函数 x c x 25 ( ) = 7 + = + x c x c c x dx 0 ( ) (0) ( ) dx x x ) 25 1000 (7 0 = + + 例1 已知边际成本为 , 固定成本为1000,求总成本函数． x x x 0 = 1000+[7 + 50 ] = 1000 + 7x + 50 x 解
二、由变化率求总量 例2某工厂生产某商品在时刻t的总产量的变 化率为x't)=100+12t（单位小时). 求t=2由到t=4这两小时的总产量. 解 0=x'()t =∫(100+2)k =[100+6t2]2=272. 经济数学—一微积分
二、由变化率求总量 = 4 2 Q x (t)dt [100 6 ] 272. 4 2 2 = + t = 解 ( t)dt 4 2 ＝ 100＋2 例2 某工厂生产某商品在时刻 的总产量的变 化率为 （单位∕小时）. 求 由到 这两小时的总产量. t x'(t) = 100 +12t t = 2 t = 4
三、收益流的现值和将来值 。 收益流收益若是连续地获得，则收益被 看作是一种随时间连续变化的收益流。 ·收益流量收益流对时间的变化率。 收益流将来值将收益流存入银行并加上 利息之后的存款值。 收益流现值收益流的现值是这样一笔款 项，若将它存入银行，将来从收益流中 获得的总收益，与包括利息在内的银行 存款值有相同的价值。 经济数学一微积分
三、收益流的现值和将来值 收益若是连续地获得，则收益被 看作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流的现值是这样一笔款 项，若将它存入银行，将来从收益流中 获得的总收益，与包括利息在内的银行 存款值有相同的价值。 将收益流存入银行并加上 利息之后的存款值。 收益流对时间的变化率。 • 收益流 • 收益流量 • 收益流将来值 • 收益流现值
若有一笔收益流的收益流量为p)(元/年) 考虑从现在开始=0到T年后这一时间段的 将来值和现值（似连续复利率计息 分析在区间0，T内任取一小区间，t+], 在[，t+d]内所获得的金额近似为t)t,从 t=0开始，pd)这一金额是在t年后的将来 获得，从而在t,t+d]内 收益现值≈[p(t)dt]e"=p(t)e"dt 总现值=p(e)e". 经济数学一微积分
收益现值 总 现 值 p t dt e p t e dt −rt −rt [ ( ) ] = ( ) ( ) . 0 − = T rt p t e dt ( )( ) ( ) 将来值和现值 (以连续复利率计息) 考虑从现在开始 到 年后这一时间段的 若有一笔收益流的收益流量为 元 年 . 0 / , t T p t = 分析 ( ) ( ) 获 得 从而在 内 开 始 这一金额是在 年后的将来 在 内所获得的金额近似为 从 在区间 内任取一小区间 t t dt t p t dt t t t dt p t dt T t t dt + = + + , , 0 , , , 0, ,
对于将来值p(d)在T-t年后获得利息 从而在[上，t+d内 收益流的将来值≈[p(t)t]eT-)=p(t)eT-dt, 故，总的将来值=p(t)eT-d. 经济数学一微积分
收益流的将来值 故，总的将来值 [ p(t)dt]e r(T−t) = p(t)e r(T−t) dt， ( ) . 0 ( ) p t e dt T r T t − = ( ) 从而在 内 对于将来值 在 年后获得利息 t t dt p t dt T t + − , ,
例3 假设以年连续复利率0.1计息，求收益 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值 解 现值- 100e-0vdt =1000(1-e2) ≈864.66； 将来位=”10 no-ngj =1000e2(1-e2) ≈6389.06. 经济数学一微积分
例3 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值. 解 现值 将来值 e dt t − = 20 0 0.1 100 1000(1 ) −2 = − e 864.66； e dt t − = 20 0 0.1(20 ) 100 1000 (1 ) 2 −2 = e − e 6389.06
四、小结 •由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值 经济数学一微积分
四、 小结 •由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题 设有一项计划现在（即t=0)需一项投入1（元），可 获得一项在[0，T]中的常数收益流量b(元)，若连续 复利的利率为”，求收益的资本价值. 经济数学—一微积分
思考题 设有一项计划现在(即 t = 0 )需一项投入 a (元)，可 获得一项在 0,T 中的常数收益流量 b (元)，若连续 复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答 v=pMta-a-b(1-e")_a 即收入的资本价值岁(1-er)-a。 当收益流量是无限期时即T→∞时， =-”-]4 经济数学一微积分
a r b e v b t e a r T r t T − − = − = − − (1 ) ( ) 0 即收入的资本价值为 e a。 r b r T − − − (1 ) A r b e a r b v r T T = − = − − − → lim (1 ) 思考题解答 当收益流量是无限期时， 即T → 时