第三节复合函数与反函数 一、复合函数(compound function)) 设y=vu,w=1-x2,→y=V1-x2 定义：设有函数f和g,D,∩R。≠西，则称 定义在 {x|x∈Dg,g(x)∈Dr} 上的函数f。g为f和g的复合函数，其中 (fog)(x)=f[g(x川 x→自变量，山→中间变量，y→因变量 经济数学一微积分
一、复合函数(compound function) 设 y = u, 1 , 2 u = − x 2 y = 1 − x 定义: x →自变量, u →中间变量, y →因变量 上的函数 为 和 的 定义在 设有函数 和 ， ，则称 f g f g x x D g x D f g D R g f f g { | , ( ) } 复合函数，其中 ( f g)(x) = f[g(x)] 第三节 复合函数与反函数
1 u=g(x)=2+x2,y=f(u)=Inu, 则R。=[2,+o)CDf, 因此能够形成复合函数 fog(x)=In(2+x2) 经济数学 微积分
例1 ( ) 2 , ( ) ln , 2 u = g x = + x y = f u = u [2, ) , 则 Rg = + Df 因此能够形成复合函数 ( ) ln(2 ) 2 f g x = + x
注意：1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的； 例如y=arcsinu,u=2+x2;y≠arcsin(2+x2) 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成 例如y=cot 空y=e,h=cotP= 经济数学—一微积分 ■
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 例如 y = arcsinu, 2 ; 2 u = + x arcsin(2 ) 2 y + x 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. , 2 cot x 例如 y = y = u, u = cot v, . 2 x v =
二、反函数(inverse function) 设函数f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射 :f(D)→D,称此映射f为函数f的反函数， y y 函数y=f(x) 反函数x=p(y) o W W Xo D D 经济数学一微积分
二、反函数(inverse function) 0 x 0 y 0 x 0 y x y D W 函数 y = f (x) o x y D W 反函数 x = ( y) o 设函数 f : D → f (D)是单射，则它存在逆映射 : ( ) , 1 f f D → D − 称此映射f −1为函数f的 反函数
y反函数y=f-(x) Q(b, 直接函数y=f(x) P(a,b 0 ◆X 直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称. 经济数学一微积分
直接函数y = f (x) x y o Q(b,a) P(a,b) ( ) 1 y f x − 反函数 = 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称
定理（反函数存在定理)：单调函数f必存在单调 的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性. 例2 求函数y=√e*+1的反函数. 解e*=y2-1 .x=ln(y2-1) y=√e+1>1,即原函数的值域为(1，+o) .反函数为y=ln(x2-1) D=(1,+o) 经济数学—一微积分
定理（反函数存在定理）：单调函数 f 必存在单调 的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性. 例2 求函数 = + 1的反函数 . x y e (1 , ) ln( 1) 1 1 (1 , ) ln( 1) 1 1 2 2 2 = + = − = + + = − = − − f x x D y x y e x y e y 反函数为 ，即原函数的值域为 解
三、函数的运算 设函数f(x),g(x)的定义域分别是D,1、D2, D=D,∩D,≠Φ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算： 函数的和（差）f±g (f±g)x)=f(x)±g(x),x∈D 函数的积f·g （f·8)x)=f(x)g(x),x∈D 函数的商了 ()=f田 g(x) x∈D\{x|g(x)=0} 经济数学一微积分
三、函数的运算 的下列运算： ( ) , ( ) , x g x D1 D2 设函数 f 的定义域分别是 、 D = D1 D2 ，则我们可以定义这两个函数 函数的和（差） 函数的积 函数的商 f g ( f g)(x) = f (x) g(x)，x D ( f g)(x) = f (x) g(x)，x D g f f g ( ) ( ) ( )( ) g x f x x g f = x D \{x | g(x) = 0} 函数的和（差）
例3 设函数f(x)的定义域为(-l,),证明必 定存在(-l,1)上的偶函数g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析如果这样的g(x)和(x)存在，于是有 [f(x)=g(x)+h(x) f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) 经济数学 一微积分
例3 ( ) ( ) ( ) . ( ) , ( , ) ( ) ( ) ( , ) f x g x h x h x l l g x f x l l = + − − 使得 定存在 上的偶函数 及奇函数 设函数 的定义域为 ，证明必 − = − + − = − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x g x h x f x g x h x 分析 如果这样的 g x 和 h x 存 在，于是有
证明 设 8=go+-划 )=2U6)-f-xI 显然f(x)=g(x)+h(x). 8-)=U(-)+fx=8y是偶函数， )=2f-)-fx训=M-)是奇函数. 经济数学一微积分
证明 = − − = + − [ ( ) ( )] 2 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 ( ) h x f x f x g x f x f x 设 显然 f (x) = g(x) + h(x) . [ ( ) ( )] ( ) . 2 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 1 ( ) 是奇函数 是偶函数， h x f x f x h x g x f x f x g x = − − = − − = − + =
四、小结思考题 1.复合函数：复合函数的形成与复合过程的分解. 2.反函数：反函数的基本求法. 3.函数的运算：简单函数的四则运算 经济数学一微积分
四、小结 思考题 1.复合函数： 复合函数的形成与复合过程的分解. 2.反函数： 反函数的基本求法. 3.函数的运算： 简单函数的四则运算