第一节 多元函数的基本概念 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结 思考题 经济数学一微积分
三、多元函数的极限 二、多元函数的概念 四、多元函数的连续性 五、小结 思考题 第一节 多元函数的基本概念 一、区域
、 区域 (region) 1.邻域(neighborhood) 设P(x0,y)是x0y平面上的一个点，6是某 一正数，与点P(x,y)距离小于6的点P(x,y) 的全体，称为点P的6邻域，记为U(P,δ)， U(,δ)={P|PPlk6} =《x,y川V(x-x)2+y-)2<6y 经济数学一微积分
设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点 P0的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， 1.邻域(neighborhood) P0 ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y 一、区域 • (region)
2.内点(inner point)、边界点和聚点 设E是平面上的一个点集，P是平面上的 一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点 如果点P的任一个邻域内既有属 于E的点，也有不属于E的点 (点P本身可以属于E,也可以不 属于E),则称P为E的边界点. E的边界点的全体称为E的边界(boundary). 经济数学一微积分
2.内点(inner point)、边界点和聚点 . ( ) 则 称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P 属 于 ）则 称 为 的边界点． （ 点 本身可以属于 ，也可以不 于 的 点 也有不属于 的 点 如果点 的任一个邻域内既有属 E P E P E E E P , , E 的边界点的全体称为E 的边界(boundary)． E P •P •
如果对于任意给定>0，P的去心邻域 0(P,6)总有E中的点P本身可属于E,也可不属于E), 则称P为E的聚点(Point of accumulation) 举例 设点集E=《,y1≤x2+y2<4点P(x,,)eR2 1若1<x2+2<4, 则点P为E的内点，也是E的聚点 2若x2+八2=1或x2+八2=4， 则点P为E的边界点也是E的聚点 3.E的边界E=《x,yx2+,2=1或，2+八2=4} 经济数学—一微积分
( ) ( ) 3. ( , ) 1 4. , ; 2. 1 4, , ; 1. 1 4, , 1 4 , , 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2 0 0 2 2 = + = + = + = + = + = + E E x y x y x y P E E x y x y P E E x y E x y x y P x y R 的边界 或 则 点 为 的边界点也 是 的聚点 若 或 则 点 为 的内点 也 是 的聚点 若 设点集 点 举 例 ( ) ( ) . , , 0 0 则 称 为 的聚点 总 有 中的点 本身可属于 也可不属于 ， 如果对于任意给定的 ， 的去心邻域 P E U P E P E E P (Point of accumulation)
3.开集(opener)与闭集(closed set) 设集合EcR 如果点集E的点都是内点， 则称E是R中的开集 如果E的余集E是R中的开集 则称E是R中的闭集 例如E,={(x,y)1<x2+y2<4}即为开集； E2={(x,y)1≤x2+y2≤4}即为闭集： E3={(x,y)1≤x2+y2<4} 即非开集 也非闭集 经济数学一微积分
3.开集(opener)与闭集(closed set) E •P {( , )1 4} 2 2 例如 E1 = x y x + y 即为开集； ; 则 称 是 2 中的开集 如果点集 的点都是内点， E R E . 2 2 则 称 是 中的闭集 如 果 的余集 是 中的开集， E R E E R c {( , )1 4} 2 2 E2 = x y x + y 即为闭集； {( , )1 4} 2 2 E3 = x y x + y 即非开集 也非闭集. , 2 设集合 E R
4.有界集(bounded set)与无界集 设集合EcR2, 如果存在常数>0，使得对所有的P(x,y)eE, 都有OP=Vx2+y2≤k,则称E是R中的有界集 一个集合如果不是有界集，就称为无界集， 5.区域、闭区域 设D是开集.如果对于D内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的， 经济数学 微积分
4.有界集(bounded set)与无界集 ( ) , . 0, , , , 2 2 2 2 都 有 则 称 是 中的有界集 如果存在常数 使得对所有的 设集合 O P x y k E R k P x y E E R = + 一个集合如果不是有界集，就称为无界集. 5.区域、闭区域 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •
连通的开集称为区域region)或开区域1少 例如，{(，y)川1<x2+y2<4. 开区域连同它的边界一起称为闭区域。 例如，{(x,y)川1≤x2+y2≤4. 经济数学一微积分 ■
连通的开集称为区域(region)或开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o
注：n维空间中邻域、区域等概念 邻域：U(P,δ)=P|PPk6,P∈R" 内点、边界点、区域等概念也可定义 经济数学一微积分
注：n维空间中邻域、区域等概念 n U(P0 , ) = P | PP0 | ,P R 内点、边界点、区域等概念也可定义． 邻域：
二、多元函数的概念 (functions of several variables) 定义 设D是R"的一个非空子集，D到实数集R 的任一映射f称为定义在D上的一个元（实 值)函数，记仟：DcR"→R 或y=f)=f(x1,x2,…,xn)x∈D 其中x1,水2，，xn称为自变量，称为因变量， D称为函数的定义域，f(D)={f(x)x∈D} 称为函数的值域，并且称"+中的子集 《x,x2,,xn,yy=f(x人x∈D为函数 y=f(x火在D上)的图形（或图像）。 经济数学一微积分 OOO
二、多元函数的概念 (functions of several variables) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( （ 在) 上）的图形（或图像）。 为函数 称为函数 的值域，并且称 中的子集 称为函数 的定义域， 其 中 称为自变量， 称为因变量， 或 值）函数，记作 的任一映射称为定义在 上的一个 元（实 设 是 的一个非空子集，从 到实数集 y f x D x x x y y f x x D f R D f f D f x x D x x x y y f x f x x x x D f D R R f D n D R D R n n n n n n = = = = = → + , , , , , , , , , , , , : 1 2 1 1 2 1 2 定义
在n等于2与3时，习惯上将点x1,x2)与(x1,x2,x3) 分别写成x,y)与(x,y,z)这时若用字母表 或R中的点，则通常写(x,y或M(x,y,z等. 二元函数与三元函数坷简记灰=f(P或u=f(M) 例1求f(x,)=aresin(3-x2-y) 的定义域， Vx-y2 解 3-x2-y2≤1 (x-y2>0 2≤x2+y2≤4 → (x>y2 所求定义域为D={(x,y)川2≤x2+y2≤4，x>y2. 经济数学—一微积分
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). , , , . , , , . 2 3 , , , 3 2 1 2 1 2 3 z f P u f M R P x y M x y z x y x y z R n x x x x x 二元函数与三元函数也可简记为 = 或 = 或 中的点，则通常写成 或 等 分别写成 与 这时若用字母表示 在 等 于 与 时，习惯上将点 与 例1 求 2 的定义域． 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y x y f x y − − − = 解 − − − 0 3 1 2 2 2 x y x y + 2 2 2 2 4 x y x y 所求定义域为 {( , )| 2 4, }. 2 2 2 D = x y x + y x y